第02章 重点突破训练：整式运算及其应用（解析版）（人教版）.docx

第02章 重点突破训练：整式运算及其应用 考点体系 考点1：常规整式运算 典例：（2020·河南省初一期末）先化简再求值：2()()()，其中 且a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3． 【答案】， 【解析】 2()()() 2 ， ∵、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是3． ∴ 0 ， ∴原式=， 方法或规律点拨 本题考查了整式的化简求值和整式的混合运算，解决本题的关键是掌握整式的运算顺序和运算法则．注意互为相反数的两数的和为0，互为倒数的两数的积为1． 巩固练习 1．（2020·吉林省初一期末）先化简，再求值：，其中 【答案】3x2y，-3 【解析】解：原式 = 2x2y+2xy-2xy+x2y = 3x2y ， 把x=1，y=-1代入 原式 = 3x2y = 3×12×（-1）= -3 2．（2020·广东省初一期末）先化简，再求值：已知6x2﹣3（2x2﹣4y）+2（x2﹣y），其中x＝﹣1，y＝． 【答案】2x2+10y；7 【解析】解：原式＝6x2﹣6x2+12y+2x2﹣2y ＝2x2+10y， 当x＝﹣1，y＝时， 原式＝2×（﹣1）2+10× ＝2+5 ＝7． 3．（2020·上饶市广信区第七中学初二月考）某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？ 【答案】﹣12x4+12x3﹣3x2 【解析】解：这个多项式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）=4x2﹣4x+1，（3分） 正确的计算结果是：（4x2﹣4x+1）•（﹣3x2）=﹣12x4+12x3﹣3x2．（3分） 4．（2019·河北省初三三模）均为多项式，小元在计算“”时，误将符号抄错而计算成了“”，得到结果是，其中，请正确计算． 【答案】 【解析】根据题意，得， = =， ∴ = =． 5．（2019·苏州市景范中学校初一期末）已知：，． （1）求B；(用含a、b的代数式表示) （2）比较A与B的大小． 【答案】（1）-5a2+2ab-6；（2）A＞B． 【解析】（1）∵2A-B=3a2+2ab，A=-a2+2ab-3， ∴B=2A-（3a2+2ab）=2（-a2+2ab-3）-（3a2+2ab） =-2a2+4ab-6-3a2-2ab =-5a2+2ab-6， （2）∵A=，B=-5a2+2ab-6， ∴A-B =（）-（-5a2+2ab-6） =-a2+2ab-3+5a2-2ab+6 =4a2+3， ∵无论a取何值，a2≥0，所以4a2+3＞0， ∴A＞B． 6．（2017·江西省初一期末）已知代数式 （1）求的值； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【答案】（1）；（2）3 【解析】（1） ； （2）由（1）得：， ∵A-2B的值与x的取值无关， ∴2y-6=0， ∴y=3. 7．（2020·南京市金陵中学河西分校初一期中）已知A=2+3xy-2x-l，B= -+xy-l． (1)求3A+6B； (2)若3A+6B的值与x无关，求y的值． 【答案】(1) 15xy－6x－9 ;(2). 解：（1）3A+6B=3（2x2+3xy﹣2x﹣1）+6（﹣x2+xy﹣1） =6x2+9xy﹣6x﹣3﹣6x2+6xy﹣6 =15xy﹣6x﹣9； （2）原式=15xy﹣6x﹣9=（15y﹣6）x﹣9 要使原式的值与x无关，则15y﹣6=0， 解得：y=． 8．（2019·山西省初一期中）张老师给学生出了一道题： 当时， 求： 的值． 题目出完后，小明说：“老师给的条件是多余的．” 小红说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．” 你认为他们谁说的有道理？为什么？ 【答案】因为代数式与a、b的取值无关，故小明说得对 【解析】解：∵ ＝ ＝ ＝3 故代数式与a、b的取值无关，即小明说得对． 9．（2020·河北省初三零模）已知，，且化简的结果与无关． （1）求、的值； （2）求式子的值． 【答案】（1），；（2）-36. 【解析】（1）∵，， ∴ = = = ∵的结果与无关， ∴， 解得，，； （2） = = ∵， ∴原式==-36. 10．（2019·广西壮族自治区初一期中）有这样一道题：已知，，求代数式的值．小明认为：“已知”这个条件是多余的，你认为小明的说法有道理吗？为什么？ 【答案】小明的说法有道理． 【解析】解：小明的说法有道理． 理由：原式= = ∵代数式化简后与x无关 ∴小明的说法有道理． 11．（2020·河北省石家庄新世纪外国语学校初三二模）（1）计算2﹣3﹣5+(﹣3) （2）某同学做一道数学题：“两个多项式A、B，B=3x2﹣2x﹣6，试求A+B”，这位同学把“A+B”看成“A﹣B”，结果求出答案是﹣8x2+7x+10，那么A+B的正确答案是多少？ 【答案】（1）﹣10；（2）﹣2x2+3x﹣2． 【解析】解：（1）2﹣3﹣5＋(﹣3) ＝2﹣3﹣5﹣3 ＝2﹣3﹣3﹣5 ＝﹣1﹣9 ＝﹣10． （2）∵A﹣B＝﹣8x2＋7x＋10，B＝3x2﹣2x﹣6， ∴A＝(﹣8x2＋7x＋10)＋(3x2﹣2x﹣6) ＝﹣5x2＋5x＋4， ∴A＋B＝(﹣5x2＋5x＋4)＋(3x2﹣2x﹣6) ＝﹣2x2＋3x﹣2． 12．（2018·天津初一期末）已知，． 化简：； 已知与的同类项，求的值． 【答案】（1）（2）63或-13 【解析】∵，， ∴； ∵与的同类项， ∴，， 解得：或，， 当，时，原式； 当，时，原式． 考点2：与某项无关问题 典例：（2020·河北省初三三模）已知，． （1）求，并将结果整理成关于的整式； （2）若的结果与无关，求、的值； （3）在（2）基础上，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3）-36． 【解析】 解：（1）∵，， ∴ （2）∵的结果与无关， ∴， 解得，， （3）原式 ∵， ∴原式． 方法或规律点拨 此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 巩固练习 1．（2020·广东省绿翠现代实验学校初一期中）已知多项式与多项式． （1）当，时，计算的值； （2）如果与的差中不含和，求的值． 【答案】（1）9x2-y-11；（2）-8 【解析】解：（1）当，时，，, ∴A+B=4x2+y-12+5x2-2y+1=9x2-y-11； （2） -=4x2+my-12-2(nx2-2y+1)=(4-2n) x2+(m+4)y-14 ∵与的差中不含和y ∴4-2n=0，m+4=0, ∴n=2，m=-4 ∴mn=-8 2．（2020·甘州中学初一月考）（1）化简求值：已知|x−1|+y+122=0，求代数式−32x2−4y+2x2−y的值. （2）若化简2mx2−x+3−3x2−x−4的结果与x的取值无关，求m的值. 【答案】（1）−9；（2）m=1.5. 【解析】解：（1）由|x−1|+(y+12)2=0可得：x=1，y=−12. 原式=−6x2+12y+2x2−2y=−4x2+10y， 当x=1，y=−12时，原式=−4−5=−9 （2）原式=2mx2−x+3−3x2+x+4=(2m−3)x2+7， 由结果与x的取值无关，得到2m−3=0， 解得：m=1.5. 3．（2020·河北省育华中学初三一模）已知 若，求的值 若的值与的值无关，求的值 【答案】（1）-9；（2）x=-1 【解析】（1）A-2B=（2x2+xy+3y）-2（x2-xy） =2x2+xy+3y-2x2+2xy =3xy+3y． ∵（x+2）2+|y-3|=0， ∴x=-2，y=3． A-2B=3×（-2）×3+3×3 =-18+9 =-9． （2）∵A-2B的值与y的值无关， 即（3x+3）y与y的值无关， ∴3x+3=0． 解得x=-1． 4．（2019·广西壮族自治区初一期中）课堂上李老师给出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式(7a3－6a3b＋3a2b)－(－3a3－6a3b＋3a2b＋10a3－3)写完后，让王红同学顺便给出一组a，b的值，老师自己说答案，当王红说完：“a＝65，b＝－2 005”后，李老师不假思索，立刻就说出答案“3”．同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”，亲爱的同学你相信吗？你能说出其中的道理吗？ 【答案】相信，理由见解析. 【解析】相信，理由如下： (7a3－6a3b＋3a2b)－(－3a3－6a3b＋3a2b＋10a3－3) ＝7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3a2b－10a3＋3 ＝(7a3＋3a3－10a3)＋(－6a3b＋6a3b)＋(3a2b－3a2b)＋3＝3， 则不管a，b取何值，整式的值都为3. 考点3：整式运算的应用 典例：（2020·珠海市斗门区实验中学初一期中）今年秋季，长白山土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满．设装运甲种土特产的汽车有x辆，装运乙种土特产的汽车有y辆，根据下表提供的信息，解答以下问题． （1）装运丙种土特产的车辆数为（用含x、y的式子表示）； （2）用含x、y的式子表示这10辆汽车共装运土特产的吨数； （3）求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含x、y的式子表示）． 【答案】（1）装运丙种土特产的车辆数为10-x-y ；（2）这10辆汽车共装运土特产的吨数为60-2x-y；（3）销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为90000-4200x-4000y． 【解析】（1）由题意得，装运丙种土特产的车辆数为：10−x−y（辆） 答：装运丙种土特产的车辆数为（10−x−y）； （2）根据题意得：4x+5y+6(10-x-y)=4x+5y+60-6x-6y=60-2x-y 答：这10辆汽车共装运土特产的数量为（60-2x-y）吨； （3）根据题意得： =4800x+5000y+90000-9000x-9000y =90000-4200x-4000y． 答：销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为（90000-4200x-4000y）元． 方法或规律点拨 本题主要考查了列代数式，正确理解各种数量关系之间的运算关系是列代数式的关键所在． 巩固练习 1．（2019·广西壮族自治区初一期末）某商店在甲批发市场以每箱x元的价格进了30箱海鸭蛋，又在乙批发市场以每箱y元（x＞y）的价格进了同样的50箱海鸭蛋，如果商家以每箱 元的价格卖出这些海鸭蛋，卖完后，这家商店（ ） A．盈利了 B．亏损了 C．不赢不亏 D．盈亏不能确定 【答案】A 【解析】购买海鸭蛋的进价为：30x+50y 卖完海鸭蛋的收入为：80 ∵40x+40y－(30x+50y)=10(x－y)＞0 ∴收入＞进价 故选：A． 2．（2019·霍林郭勒市第五中学初一期中）如图所示，某长方形广场的四角都有一块半径相同的圆形的草地，已知圆形的半径为r米，长方形的长为a米，宽为b米． （1）请列式表示广场空地的面积； （2）若长方形的长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，计算广场空地的面积（计算结果保留π）． 【答案】(1)ab-πr2；（2）60 000-100π． 【解析】（1）广场空地的面积（单位：平方米）为：ab-πr2； （2）当a=300，b=200，r=10时，ab-πr2＝300×200-π×102＝60 000-100π. 所以广场空地的面积（单位：平方米）为：60 000-100π． 3．（2019·河南省初一期中）自我国实施“限塑令”起，开始有偿使用环保购物袋，为了满足市场需求，某厂家生产A、B两种款式的布质环保购物袋，每天生产4500个，两种购物袋的成本和售价如下表，若设每天生产A种购物袋x个. (1)用含x的整式表示每天的生产成本，并进行化简； (2)用含x的整式表示每天获得的利润，并进行化简（利润=售价-成本）； (3)当x＝1500时，求每天的生产成本与每天获得的利润. 【答案】（1）每天的生产成本为(－x＋13 500)元； （2）每天获得的利润为 （3）每天的生产成本为12 000元；每天获得的利润为1 950元． 【解析】解：（1）2x＋3(4500－x)＝－x＋13500， 即每天的生产成本为(－x＋13500)元． （2）(2.3－2)x＋(3.5－3)(4500－x)＝－0.2x＋2250， 即每天获得的利润为(－0.2x＋2250)元． （3）当x＝1 500时， 每天的生产成本：－x＋13500＝－1500＋13 500＝12000元； 每天获得的利润：－0.2x＋2250＝－0.2×1500＋2 250＝1950(元)． 4．（2019·内蒙古自治区初一期末）如图所示，一块正方形纸板剪去四个相同的三角形后留下了阴影部分的图形．已知正方形的边长为a，三角形的高为h． （1）用式子表示阴影部分的面积；（2）当a＝2，h＝时，求阴影部分的面积． 【答案】（1）（2）2 【解析】（1）阴影部分的面积为:； （2）当时， 原式22-． 5．（2020·黑龙江省初一期末）A、B两仓库分别有水泥15吨和35吨，C、D两工地分别需要水泥20吨和30吨．已知从A、B仓库到C、D工地的运价如表： 到C工地 到D工地 A仓库 每吨15元 每吨12元 B仓库 每吨10元 每吨9元 （1）若从A仓库运到C工地的水泥为x吨，则用含x的代数式表示从A仓库运到D工地的水泥为 吨，从B仓库将水泥运到D工地的运输费用为 元； （2）求把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运输费（用含x的代数式表示并化简）； （3）如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨时，那么总运输费为多少元？ 【答案】（1）15-x；9x+180；（2）（2x+515）元；（3）535元． 【解析】（1）从A仓库运到D工地的水泥为：（15-x）吨， 从B仓库将水泥运到D工地的运输费用为：[35-（15-x）]×9=（9x+180）元； （2）总运输费：15x+12×（15-x）+10×（15-x）+[35-（15-x）]×9=（2x+510）元； （3）当x=10时， 2x+510=530． 答：总运费为530元． 6．（2019·山西省初一期中）综合与探究 阅读理解：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题.例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用较大数与较小数的差来表示.例如： 在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数3与－2对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数－3与－2对应的两点之间的距离为. 解决问题：如图所示，已知点表示的数为－3，点表示的数为－1，点表示的数为2. （1）点和点之间的距离为______. （2）若数轴上动点表示的数为，当时，点和点之间的距离可表示为______；当时，点和点之间的距离可表示为______. （3）若数轴上动点表示的数为，点在点和点之间，点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，求（用含的代数式表示并进行化简） （4）若数轴上动点表示的数为－2，将点向右移动19个单位长度，再向左移动23个单位长度终点为，那么，两点之间的距离是______. 【答案】（1）5；（2） ，；（3）12-x；（4）4 【解析】解：（1）2-（-3）=5； （2）x-(-1)= ；； （3）∵PA=x-(-3)=x+3，PC=2-x， ∴ ； （4）∵-2+19-23=-6， ∴，两点之间的距离是-2-（-6）=4. 7．（2020·珠海市斗门区实验中学初一期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、b满足|a+2|+（c﹣7）2=0． （1）a=　　，b=　　，c=　　； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数　　表示的点重合； （3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB=　　，AC=　　，BC=　　．（用含t的代数式表示） （4）请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）-2， 1，c=7；（2）4；（3）3t+3， 5t+9， 2t+6；（4）不变，3BC﹣2AB=12． 【解析】（1）∵|a＋2|＋（c−7）2＝0， ∴a＋2＝0，c−7＝0， 解得a＝−2，c＝7， ∵b是最小的正整数， ∴b＝1； 故答案为：−2；1；7． （2）（7＋2）÷2＝4.5， 对称点为7−4.5＝2.5， 2.5＋（2.5−1）＝4； 故答案为：4． （3）依题意可得AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，BC＝2t＋6； 故答案为：3t＋3；5t＋9；2t＋6． （4）不变． 3BC−2AB＝3（2t＋6）−2（3t＋3）＝12． 8．（2020·四川省初一期中）小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计） （1）求a的值； （2）请用含x的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米； （3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米．装修公司有A，B两种活动方案，如表： 已知卧室2的面积为21平方米，则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 【答案】（1）3；（2）木地板：75﹣7x，地砖：7x+53；（3）B种活动方案 【解析】解：（1）根据题意，可得a+5＝4+4， 得a＝3； （2）铺设地面需要木地板： 4×2x+a[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]+6×4＝8x+3（17﹣5x）+24＝75﹣7x， 铺设地面需要地砖： 16×8﹣（75﹣7x）＝128﹣75+7x＝7x+53； （3）∵卧室2的面积为21平方米， ∴3[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]＝21， ∴3（17﹣5x）＝21， ∴x＝2， ∴铺设地面需要木地板：75﹣7x＝75﹣7×2＝61， 铺设地面需要地砖：7x+53＝7×2+53＝67， A种活动方案所需的费用：61×300×0.8+67×100×0.85+2000＝22335（元）， B种活动方案所需的费用：61×300×0.9+67×100×0.85＝22165（元）， 22335＞22165， 所以小方家应选择B种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低． 考点4：数字规律探究 典例：（2020·河北省初三一模）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣3，﹣2，﹣1，0，且任意相邻四个台阶上数的和都相等． （1）求第五个台阶上的数x是多少？ （2）求前21个台阶上的数的和是多少？ （3）发现：数的排列有一定的规律，第n个﹣2出现在第　 　个台阶上； （4）拓展：如果倩倩小同学一步只能上1个或者2个台阶，那么她上第一个台阶的方法有1种：1＝1，上第二个台阶的方法有2种：1+1＝2或2＝2，上第三个台阶的方祛有3种：1+1+1＝3、1+2＝3或2+1＝3，…，她上第五个台阶的方法可以有　 　种． 【答案】（1）第五个台阶上的数x是﹣3（2）-33（3）（4n﹣2）（4）8 【解析】（1）由题意得：﹣3﹣2﹣1+0＝﹣2﹣1+0+x， x＝﹣3， 答：第五个台阶上的数x是﹣3； （2）由题意知：台阶上的数字是每4个一循环， ﹣3﹣2﹣1+0＝﹣6， ∵21÷4＝5…1， ∴5×（﹣6）+（﹣3）＝﹣33， 答：前21个台阶上的数的和是﹣33； （3）第一个﹣2在第2个台阶上， 第二个﹣2在第6个台阶上， 第三个﹣2出现在第10个台阶上； … 第n个﹣2出现在第（4n﹣2）个台阶上； 故答案为（4n﹣2）； （4）上第五个台阶的方法：1+1+1+1+1＝5，1种， 1+1+1+2＝5，1+2+2＝5，1+2+1+1＝5，1+1+2+1＝5，4种， 2+2+1＝5，2+1+2＝5，2+1+1+1＝5，3种， ∴1+4+3＝8种， 答：她上第五个台阶的方法可以有8种． 故答案为8． 方法或规律点拨 本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题目中数字的变化特点，求出相应的结果． 巩固练习 1．（2020·绵竹市孝德中学初一期中）已知一个三位数：100a＋10b＋c，将它的百位数字与个位数字交换后得到一个新的三位数：100c＋10b＋a，试求这两个三位数的差，并求当a＝5，c＝7时，差的值是多少？ 【答案】差为99a-99c或99c-99a，差值分别为-198和198 【解析】解：由题意可得： ①100a＋10b＋c-（100c＋10b＋a）=99a-99c， 将a＝5，c＝7代入， 原式=99×（-2）=-198； ②100c＋10b＋a-（100a＋10b＋c）=99c-99a， 将a＝5，c＝7代入， 原式=99×2=198； 2．（2019·湖南省初一期中）定义：若，则称与是关于的平衡数，例如，，则与是关于的平衡数 （1）与 是关于的平衡数，与 （用含的式子表示）是关于的平衡数 （2）若，，判断与是否是关于的平衡数，并说明理由． 【答案】（1）-1，x-3；（2）与不是关于的平衡数，理由见详解 【解析】解：（1）∵ ∴与-1是关于的平衡数，与x-3是关于的平衡数； （2）与不是关于的平衡数，理由如下： ∵， ∴ ∴ 与不是关于的平衡数． 3．（2020·河北省初三二模）把正整数，，，，排成如下的一个数表． （1）在第_____行，第______列； （2）第行第列的数是_______（用含“”的代数式表示） （3）嘉嘉和淇淇玩数学游戏，嘉嘉对淇淇说：“你从数表中挑一个数，按如图所示的程序计算，只要你告诉我所得的数在第几行，我就知道你挑的数在第几行．”你认为嘉嘉说得有道理吗？计算说明理由． 【答案】（1），4；（2）；（3）嘉嘉说得有道理，见解析 【解析】（1）由图中可以得出规律，每一行共有8个数，每行最后的数是8的倍数， ∵2020÷8=252……4， ∴2020在第253行，第4列； （2）第n行第3列的数是： 8（n−1）+3=8n−5； （3）根据计算程序，可得： y=， 所以当知道数y在第几行时，则x必在它的上一行，所以嘉嘉说得有道理. 4．（2020·云南省初三学业考试）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，，，，． （1）利用以上运算的规律写出 ；（为正整数） （2）计算：的值． 【答案】（1）1+；（2）5151． 【解析】解：（1）∵f（1）＝1+，f（2）＝1+，f