第03章 重点突破训练：一元一次方程应用举例（原卷版）（人教版）.docx

第03章 重点突破训练：一元一次方程应用举例 考点体系 考点1：古典文化中的一元一次方程 典例：（2020·安徽初三学业考试）《算法统宗》中有一首“以碗知僧”的趣味诗，原文如下：巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生明算者，算来寺内几多僧？ 译文为：寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，恰好把碗用完，请问寺内共有多少个和尚？请解答上述问题． 方法或规律点拨 考核知识点：一元一次方程应用.理解题意，根据等量关系列出方程是关键. 巩固练习 1．（2020·安徽合肥·初三三模）《计算之书》是意大利中世纪著名数学家斐波那契（公元1175-1250年）的经典之作．书中记载了一道非常有趣的“狐跑犬追”问题：在相同的时间里，猎犬每跑，狐狸跑．若狐狸与猎犬同时起跑时狐狸在猎犬前面，问狐狸跑多少距离后被猎犬追上？ 2．（2020·全国初一课时练习）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算法比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，灯光点点倍加增，共灯三百八十一，试问尖头几盏灯？”（“倍加增”指从塔的顶层到底层，每层灯的数量是上一层的2倍）那么，塔的顶层有几盏灯？ 3．（2020·湖北广水·初一期末）列方程解应用题． 程大位，明代商人，珠算发明家，被称为珠算之父、卷尺之父．少年时，读书极为广博，对数学颇感兴趣，60岁时完成其杰作《直指算法统宗》（简称《算法统宗》）． 在《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 4．（2020·河北初三其他）（阅读材料）“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①），是世界上最早的矩阵，又称幻方．用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方（如图②）． （1）观察图②，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是　 　； （2）若图③是一个幻方，求图中a，b的值． 5．（2020·安庆市教育体育局初三二模）中国古代算书《算法统宗》中有这样一道题：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半（注：四分之一的意思）群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁参透？大意是说：牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧，有一个过路人牵着1只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说你赶的这群羊大概有100只吧？牧羊人答道：如果这一群羊加上1倍，再加上原来羊群的一半，又加上原来这群羊的四分之一，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好满100只你知道牧羊人放牧的这群羊一共有多少只吗？ 6．（2020·合肥市五十中学东校初三一模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房.求该店有客房多少间？房客多少人？ 7．（2020·安徽滁州·初三其他）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺，问木头长多少尺？请你用一元一次方程的知识解决． 8．（2019·安徽初三月考）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载:“今有甲、乙二人，持钱各不知数.甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八。问甲、乙二人原持钱各几何?”译文:“甲，乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，问甲、乙二人原来各有多少钱?” 9．（2020·安徽安庆·初三其他）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 10．（2020·安徽蜀山·初三二模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，其中《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（注释：野鸭）起南海，九日至北海；雁起北海，六日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”译文：“野鸭从南海起飞，天飞到北海；大雁从北海起飞，天飞到南海．现野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞，问经过多少天相遇？请列方程解答上面问题． 考点2：一元一次方程中的营销问题 典例：（2020·四川大邑·初一期末）2019年双“11”期间，哈市各大商场掀起购物狂潮，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如下表所示： 根据以上活动信息，解决以下问题： （1）三个商场都同时出售一套（一件上衣和一条裤子为一套）同厂家、同面料、同款式的服装，其中上衣标价都为290元，裤子标价都为270元．试计算三个商场分别按照促销活动销售出这一套服装的售价是多少元？ （2）赵先生发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，最后付款额也一样，请问这条裤子的标价是多少元？ （3）如果某种品牌的巴西大豆在三所商场的标价都是5元／,请探究：是否存在分别在三所商场付同样多的一百多元，并且都能够够买同样重量同品牌的该大豆？如果存在请直接说明在乙商场该购买大豆的方案（并指出在三个商场购买大豆的重量是多少，支付的费用是多少元）；如果不存在请直接回答“不存在”． 方法或规律点拨 此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 巩固练习 1．（2020·新疆生产建设兵团第六师教育局教学研究室期末）某超市用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ 2．（2020·全国单元测试）某服装店两件衣服都以900元卖出，其中一件赚了，而另一件亏了，这两件衣服合在一起是赚了还是亏了？赚或亏了多少？ 3．（2020·广东南海·石门中学初三其他）某镇枇杷园的枇杷除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去园内采摘购买，已知今年3月份该枇杷在市区、园内的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，一共销售了3000千克，总销售额为16000元，3月份该枇杷在市区、园内各销售了多少千克？ 4．（2020·云南文山·初一期末）农村义务教育学校学生营养改善计划是党中央、国务院及省委省政府实施的一项教育惠民工程文山州某校根据上级要求配备了一批营养早餐.某天早上七年级（1）班分到牛奶和面包共8件，每件牛奶32元，每件面包24元，共需232元问这天早上该班分到多少件牛奶，多少件面包？ 5．（2020·湖北枣阳·初一期末）小林在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买．三次购买商品A、B的数量和费用如下表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 3 5 870 第二次购物 3 7 1110 第三次购物 9 8 1062 （1）小林以折扣价购买商品A、B是第_____ 次购物； （2）求出商品A、B的标价； （3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 6．（2020·山西中考真题）年月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满元立减元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金元．求该电饭煲的进价． 7．（2020·安徽中考真题）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比．该超市2020年4月份销售总额增长其中线上销售额增长．线下销售额增长， 设2019年4月份的销售总额为元．线上销售额为元，请用含的代数式表示2020年4月份的线下销售额(直接在表格中填写结果)； 求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值． 8．（2020·重庆市凤鸣山中学初一月考）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？ 9．（2019·陕西延安·初一期末）某水果批发市场苹果的价格如表 购买苹果（千克） 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上 每千克的价格 6元 5元 4元 （1）小明分两次共购买40千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付出216元，小明第一次购买苹果_____千克，第二次购买_____千克． （2）小强分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买每千克苹果的单价不相同，共付出432元，请问小强第一次，第二次分别购买苹果多少千克？（列方程解应用题） 考点3：一元一次方程中的方案选择问题 典例：（2020·岳阳市第十中学初一期末）元旦节期间，各大商场纷纷推出优惠政策吸引顾客，下面是百盛和武商各自推出的优惠办法： 百盛：1．若一次购物不超过500元（不含500），不予优惠．2．若一次购物满500元（含500），但不超过1000元（不含1000），所有商品享受9折优惠．3．若一次购物超过1000元（含1000），超过部分享受6折； 武商：1、若一次购物不超过500元，不予优惠．2、若一次购物满500元，则所有商品享受8折．问 （1）王老师想到百盛买件标价为1800元的衣服，她应该付多少钱？ （2）请问当我们购买多少钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠？ （3）王老师元旦节打算消费3000元购买自己想要的商品，她有三个种打算：①到百盛武商各消费1500元；②全到百盛去消费；③全到武商去消费．假设王老师需要的商品百盛和武商都有，如果你是王老师，你会如何选择？请说明理由． 方法或规律点拨 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 巩固练习 1．（2019·黑龙江道外·初一期末）有A、B两家复印社，A4纸复印计费方式如表： A4纸复印计费方式 A复印社 复印页数不超过20页时，每页0.12元；复印页数超过20 页时，超过部分每页收费0.09元． B复印社 不论复印多少页，每页收费0.1元． （1）若要用A4纸复印30页，选哪家复印社划算？能便宜多少钱？ （2）用A4纸复印多少页时，两家复印社收费相同？ 2．（2020·河北饶阳·初一期末）某品牌西服标价元，领带标价元，若去甲商店购买可享受买一送一（即买一套西 服送一条领带）的优惠，去乙商店购买西服领带均可享受九折优惠；小李是公司的采购员，公司要采购套西服，外加条领带） 如果甲商店购买西服和领带，花费_____________元；如果乙商店购买西服和领带，花费_____________元 当为多少时，在甲乙两家商店费用一样多? 3．（2019·黑龙江甘南·初一期末）元旦假期，甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市当日累计购物超出了300元以后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市当日累计购物超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设某位顾客在元旦这天预计累计购物x元（其中x＞300）． （1）当x=400时，顾客到哪家超市购物优惠． （2）当x为何值时，顾客到这两家超市购物实际支付的钱数相同． 4．（2020·黑龙江甘南·初一期末）某班将买一些乒乓球和乒乓球拍.了解信息如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍.乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元；经洽谈：甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙店全部按定价的9折优惠.该班需球拍5副，乒乓球若干盒(不小于5盒).问： (1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？ (2)如果要购买15盒或30盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？ 5．（2018·山西初一月考）光明中学七年级 1 班组织家长和学生去某红色景区参观学习，假设学生有 30 人，家长有 x 人．该红色景区为学生和家长提供了两种购买门票方案：方案一，成人票每张 100 元，学生票每张 50 元；方案二，团体超过 50 人，成人票和学生票每张都为 75 元． （1）按方案一购票，应付门票总价为 元；（用含 x 的代数式表示） （2）如果家长人数为 40 人，按方案一购票应付门票总价为多少元？ （3）如果家长人数为 40 人，按方案几购票更划算？ 6．（2020·全国初一课时练习）某中学到商店购买足球和排球，购买足球40个，排球30个共花费4000元，已知购买一个足球比购买一个排球多花30元． （1）求购买一个足球和一个排球各需多少元？ （2）学校决定第二次购买足球和排球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，一个足球售价比第一次购买时提高了10%，一个排球按第一次购买时售价的九折出售，如果学校第二次购买足球和排球的总费用是第一次购买总费用的86%，求学校第二次购买排球多少个？ 7．（2020·全国初一课时练习）小丽用的练习本可以从甲乙两家商店购买，已知两家商店 的标价都是每本 2 元，甲商店的优惠条件是：购买十本以上，从第 11 本开始按标价的 70％出售；乙商店的优惠条件是：从第一本起按标价的80％出售。 （1）设小丽要购买 x( x > 10) 本练习本，则小丽到甲、乙两商店购买 时，各须付款多少元？列代数式表示。 （2）买多少本练习本时，两家商店付款相同？ 8．（2020·全国初一课时练习）李老师准备购买一套小户型商品房，他去售楼处了解情况得知，该户型商品房的单价是5000元，如图所示(单位：m，卫生间的宽未定，设宽为xm)，售楼处为李老师提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价为5000元，其中卫生间可免费赠送一半的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9.5折出售． （1）用含x的代数式表示该户型商品房的面积及按方案一、方案二购买一套该户型商品房的总金额； （2）当时，通过计算说明哪种方案更优惠，优惠多少元． 9．（2020·全国初一课时练习）如表是中国电信两种“4G套餐”计费方式．(月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网流量超出部分加收超时费和超流量费) （1）若小萱某月主叫通话时间为220分钟，上网流量为800MB，则她按套餐1计费需________元，按套餐2计费需________元；若小花某月按套餐2计费需129元，主叫通话时间为240分钟，则上网流量为________MB． （2）若上网流量为540MB，是否存在某主叫通话时间t(分)，按套餐1和套餐2计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）若上网流量为540MB，直接写出当主叫通话时间t(分)满足什么条件时，选择套餐1省钱；当主叫通话时间t(分)满足什么条件时，选择套餐2省钱． 月基本费/元 主叫通话时间/分 上网流量/MB 套餐1 49 200 500 套餐2 69 250 600 接听 超时费(元/分) 超流量费(元/MB) 套餐1 免费 0.2 0.3 套餐2 免费 0.15 0.2 考点4：一元一次方程中的几何问题 典例：（2019·云南师范大学实验中学初一期中）如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为-1，正方形ABCD的面积为16． (1)数轴上点B表示的数为___； (2)将正方形ABCD沿数轴水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分的面积为S． ①当S=4时，画出图形，并求出数轴上点A′表示的数； ②设正方形ABCD的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段AA′的中点，点F在线段BB′上，且BF=BB′．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值． 方法或规律点拨 此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴以及两点间的距离公式的运用，解决问题的关键是正确理解题意，利用数形结合列出方程，注意要分类讨论，不要漏解． 巩固练习 1．（2020·全国单元测试）如图，长方形被分成六个大小不同的正方形，现在只知道中间一个最小的正方形的面积为1，求长方形的面积． 2．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学期末）如图所示，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积是多少？ 3．（2020·全国初一课时练习）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点表示-12，点表示10，点表示20，我们称点和点在数轴上相距32个长度单位．动点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．则： （1）动点从点运动至点需要时间多少秒？ （2）若，两点在点处相遇，则点在折线数轴上所表示的数是多少？ （3）求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 4．（2020·河南新蔡·初一月考）如图所示，长方形纸片的长为15厘米，在这张纸片的长和宽上各剪去一个宽为3厘米的纸条，剩余部分(阴影部分)的面积是60平方厘米，求原长方形纸片的宽． 5．（2019·江苏沛县·初一期末）如图在长方形中，，，点从点出发，沿路线运动，到点停止;点从点出发，沿运动，到点停止若点、点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，用（秒）表示运动时间． （1）当__________秒时，点和点相遇． （2）连接，当平分长方形的面积时，求此时的值 （3）若点、点运动到6秒时同时改变速度，点的速度变为每秒，点的速度变为每秒，求在整个运动过程中，点点在运动路线上相距路程为时运动时间的值． 6．（2018·山西初一月考）如图，学校有一块长方形空地，它的长和宽的比是3：1，面积为363. （1）求该长方形的长和宽； （2）如图所示，工人师傅要在这块空地上设计一个圆形区域和四个扇形区域进行绿化，其中四个扇形区域的半径与中间圆形区域半径相同，若绿化区域的总面积为，请你帮助工人师傅计算一下中间圆形区域的直径. 考点5：数轴上的动点问题 典例：（2020·西安市铁一中学初一期末）如图，为数轴上两条线段，其中与原点重合，，且． （1）当为中点时，求线段的长； （2）线段和以（1）中图形为初始位置，同时开展向右运动，线段的运动速度为每秒5个单位长度，线段运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为秒，请结合运动过程解决以下问题： ①当时，求的值； ②当时，请直接写出的值． 方法或规律点拨 本题考查数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握方程思想与分类讨论思想的应用． 巩固练习 1．（2018·湖南靖州·初一期末）如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时，点B也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度.已知点B的速度是点A的速度的4倍（速度单位：单位长度/秒）. （1）求出点A、点B运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置； （2）若A、B两点从(1)中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A、点B的正中间？ （3）若A、B两点从(1)中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点C同时从B点位置出发向A点运动，当遇到A点后，立即返回向B点运动，遇到B点后又立即返回向A点运动，如此往返，直到B点追上A点时，C点立即停止运动.若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 2．（2020·河北望都·初一期末）一条东西走向的马路旁，自西向东有一家书店和一家超市．已知书店和超市相距120m，如图数轴上A点表示书店的位置，超市在数轴上用B点表示， （1）请写出B点表示的数是_________________ （2）小红从A点以4m/s的速度走5分钟后，小刚才从B点以6m/s的速度出发，与小红相向而行，几分钟后二人相遇？ （3）在（2）的条件下，若相遇地点为P，则P点表示的数是____________ 3．（2020·内蒙古乌兰浩特·初一期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别是 6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位． （1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？ （2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？ 4．（2020·广东高明·初一期末）已知数轴上三点、、表示的数分别为4、0、，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向左匀速运动. （1）当点到点的距离与点到点的距离相等时，点在数轴上表示的数是 . （2）另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多长时间追上点？ （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度. 5．（2019·山西太原·初一一模）综合与实践 如图，根据给出的数轴，解答下面的问题： （1）已知点表示的数分别为6，-4，观察数轴，与点距离为5的点所表示的数是 ，两点之间的距离为 ； （2）若点到点，点的距离相等，观察数轴并结合所学知识求点表示的数； （3）在（2）的条件下，若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．则点表示的数是多少（用含字母的式子表示）；当等于多少秒时，之间的距离为3个单位长度． 6．（2019·中山大学附属中学初一期末）如图，若点A在数轴上对应的数为，点B在数轴上对应的数为b，且，b满足 （1）求线段AB的长； （2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解，在数轴上是否存在点P，使得PA+PB=PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由； （3）在（1）（2）条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：AB﹣BC的值是否随时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值． 7．（2020·吉林初一期中）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝20