第01章 重点突破训练：有理数及其相关概念应用（原卷版）（人教版）.docx

第01章 重点突破训练：有理数及其相关概念应用 考点体系 考点1：绝对值、相反数概念的应用 典例：a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为6，求 的值． 方法或规律点拨 解这道题时，需注意“m的绝对值为6”表示m可能是6，也可能是-6，不要漏掉某种情况. 巩固练习 1．（2019·江苏省泰州中学附属初中初一期中）如图，数轴上的两点A，B分别表示有理数a，b， （1）（用“>”或“=”或“<”填空）： a+b 0， b-a 0 （2）分别求出|a+b|与| b-a |. 2．（2019·江西省初一期末）计算：有理数a、b，c在数轴上的对应点如图，且a、b，c满足条件． （1）求a、b，c的值；（2）求的值． 3．（2019·江西省初一期中）在下列各数中，负数的个数为m个，正数的个数为n个，绝对值最大的数为k. （1）m= __________．n=__________．K=__________． （2）求的值 4．（2019·浙江省初一月考）若|x－2|+|y+3|+|z－5|=0计算：(1)x，y，z的值.(2)求|x|+|y|+|z|的值. 5．（2019·江西省初一期中）有理数x，y在数轴上对应点如图所示： （1）在数轴上表示﹣x，|y|； （2）试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接， （3）化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|． 6．（2018·河南省初一期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m到原点的距离为2，求2（a+b）+3cd-|-m|的值． 7．（2019·浙江省初一月考）计算：已知|x|=，|y|=，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值． 考点2：有理数的混合计算 典例：（2019·句容市第二中学初一月考）计算 （1） ； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6）． 方法或规律点拨 有理数的四则运算中，利用分配律往往给计算带来简便。 巩固练习 1．（2019·全国初一课时练习）找到规律是解题最重要的步骤！先观察下面的式子： ，，，…， 你发现规律了吗？下一个式子应该是： ． 利用你发现的规律，计算： . 2．（2019·福建省厦门外国语学校初一月考）在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方． （1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方； （2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方． 3．（2020·浠水县兰溪镇兰溪中学初一期中）王红有5张写着以下数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是　 　． （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最大，最大值是　 　． （3）从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，如：23×[1﹣（﹣2）]），请另写出一种符合要求的运算式子　 　． 4．（2019·安陆市陈店乡初级中学初一月考）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：1－（1+）； 第2个数：2－（1+）[1+][1+]； 第3个数：3－（1+）[1+][1+][1+][1+]. … (1)分别计算这三个数的结果(直接写答案)； (2)写出第2 017个数的形式(中间部分用省略号，两端部分必须写详细)，然后推测出结果． 5．（2019·山东省招远市金岭镇邵家初级中学初一期中）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： （1）999×（-15）； （2）999×+999×（）-999×. 6．（2019·云南省鹿阜中学初二期中）观察下列各式： ，=﹣，=﹣ （1）填空：=___________. （2）计算：+++…+． 7．（2019·安徽省涡阳县丹城中心校初一月考）计算：−14−1−0.4÷13×−22−6； 8．（2019·河南省初一期中）计算： （1）5×（－2）＋（－8）÷（－2）； （2）； （3）； （4）－14－（1－0×4）÷×[（－2）2－6]. 考点3：定义新运算 典例：（2020·湖北省初一月考）现定义运算：对于任意有理数a、b，都有ab＝ab－b，如：23＝2×3－3，请根据以上定义解答下列各题： （1） 2（－3）＝___________，x（－2）＝___________； （2） 化简：[（－x）3] （－2）； （3） 若x＝3（－x），求x的值． 方法或规律点拨 本题考查了求代数式的值和有理数的混合运算，能读懂题意是解此题的关键． 巩固练习 1．（2019·云南省鹿阜中学初一月考）若定义，其中符号“”是我们规定的一种运算符号．例如：．求：的值． 2．（2019·连云港外国语学校初一期中）（概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作， 读作“2 的圈3次方”，记作，读作“-3的圈4次方”，一般地，把记作©，读作“的圈c次方”． (1)（初步探究） 直接写出计算结果：________，________， (2)关于除方，下列说法错误的是      ． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，； C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)（深入思考） 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有 理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．  ________；________； ________． Ⅱ.想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； Ⅲ.算一算：________ 3．（2019·四川省初一期中）我们定义一种新运算：a*b=a2﹣b+ab．例如：1*3=12﹣3+1×3=1． （1）求2*（﹣3）的值． （2）求（﹣2）*[2*（﹣3）]的值． 4．（2019·江苏省初一月考）定义☆运算 观察下列运算： （+3）☆（+15）＝+18（﹣14）☆（﹣7）＝+21， （﹣2）☆（+14）＝﹣16（+15）☆（﹣8）＝﹣23， 0☆（﹣15）＝+15（+13）☆0＝+13． （1）请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号_____，异号______． 特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，______． （2）计算：（+11）☆[0☆（﹣12）]＝_____． （3）若2×（2☆a）﹣1＝3a，求a的值． 5．（2018·安徽省初一期末）请观察下列定义新运算的各式： 1⊙3=1×4+3=7； 3⊙（﹣1）=3×4﹣1=11； 5⊙4=5×4+4=24； 4⊙（﹣3）=4×4﹣3=13． （1）请你归纳：a⊙b=　 　； （2）若a≠b，那么a⊙b　 　b⊙a（填“=”或“≠”）； （3）先化简，再求值：（a﹣b）⊙（2a+b），其中a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数． 6．（2019·四川省初一单元测试）我们规定“※”是一种数学运算符号，两数A、B通过“※”运算是A+2×2−B,即A※B=A+2×2−B， 例如：3※5=3+2×2−5=5 （1）求：7※9的值； （2）求：（7※9）※（-2）的值. 7．（2019·全国初一单元测试）规定一种新的运算：a★b=a×b﹣a﹣b2+1，例如3★（﹣4）=3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）2+1，请用上述规定计算下面各式： （1）2★8； （2）（﹣7）★[5★（﹣2）] 考点4：有理数计算的实际应用 典例：（2020·偃师市实验中学初一月考）某检修小组乘一辆汽车沿东西方向检修路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时行走记录（单位：km）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6，求： （1）收工时检修小组在A地的哪一边，距A地多远？ （2）若汽车耗油3升/每千米，开工时储存180升汽油，用到收工时中途是否需要加油，若加油最少加多少升？若不需要加油到收工时，还剩多少升汽油？ 方法或规律点拨 此题考查正数和负数，有理数的加法，解题关键在于掌握其定义和运算法则. 巩固练习 1．（2018·偃师市实验中学初一月考）某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为－39℃，求此处的高度是多少千米？ 2．（2019·台州市书生中学初一月考）在湖北抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： +14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 3．（2020·中卫市宣和中学初一期末）粮库3天内进出库的粮食记录日下（单位：吨．进库的吨数记为正数，出库的吨数记为负数）： +26，﹣32，﹣25，+34，﹣38，+10． （1）经过这3天，库里的粮食是增多了还是减少了？ （2）经过这3天，仓库管理员结算发现库存粮食480吨，那么3天前库存粮食是多少吨？ 4．（2020·宁波市江北区新城外国语学校初一期中）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： （1）写出该厂星期一生产工艺品的数量； （2）本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ （3）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； （4）已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 5．（2020·湖南省初一期末）一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：+6，﹣2，+10，﹣8，﹣7，+11，﹣10． (1)守门员是否回到了原来的位置？ (2)守门员离开球门的位置最远是多少？ (3)守门员一共走了多少路程？ 6．（2019·福建省初一期中）出租车司机李师傅一天下午的营运全是在东西走向的路上进行的，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：+8，+4，-10，-3，+6，-5，-2，-7，+4，+6 （1）李师傅将第几名乘客送到目的地时，刚好回到下午出发点？ （2）李师傅将最后一名乘客送抵目的地时，他距离出发点多少米？ （3）如果汽车耗油量为0.3升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 考点5：数轴上的动点问题 典例：（2020·山西省山西实验中学初一期中）（阅读理解） 点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点． 例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点． （知识运用） 如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5． （1）数　　　　 所表示的点是{M，N}的奇点；数　　　　 所表示的点是{N，M}的奇点； （2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，当P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？ 方法或规律点拨 本题考查数轴及数轴上两点的距离、动点问题，解题的关键是认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果． 巩固练习 1．（2020·靖江外国语学校初一月考）如图，数轴的单位长度为1． （1）如果点A，D表示的数互为相反数，那么点B表示的数是多少？ （2）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中表示的四个点中，哪一点表示的数的绝对值最大？为什么？ （3）当点B为原点时，若存在一点M到A的距离是点M到D的距离的2倍，则点M所表示的数是____. 2．（2018·广东省铁一中学初一期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x. （1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； （2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； （3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动.当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？ 3．（2020·山东省初一期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心” （1）如图1，点A表示的数为﹣1，则A的幸福点C所表示的数应该是　 　； （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是　 　（填一个即可）； （3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？ 4．（2019·内蒙古自治区初一期中）在数轴上标出下列各数：－1.5，2，+（-1），0，并用“＜”连接起来． 5．（2019·山东省初一期中）如图，在数轴上有三个点A，B，C，回答下列问题： (1)若将点B向右移动6个单位后，三个点所表示的数中最小的数是多少？ (2)在数轴上找一点D，使点D到A，C两点的距离相等，写出点D表示的数； (3)在点B左侧找一点E，使点E到点A的距离是到点B的距离的2倍，并写出点E表示的数． 6．（2020·河北省初一期末）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在左侧的一点，且A，B两点间的距离为10。动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒。 （1）数轴上点B表示的数是______；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是_____。 （2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 7．（2019·河南省实验学校英才中学初一开学考试）阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点衰示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB﹣b﹣a． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm． （1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置： （2）点C到点人的距离CA=　　cm；若数轴上有一点D，且AD=4，则点D表示的数为　　； （3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为　　；（用代数式表示） （4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒， 试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 8．（2018·四川省初一单元测试）在下面给出的数轴中，点 A 表示 1，点 B 表示－2，回答下面的问题： (1)A、B 之间的距离是 ； (2)观察数轴，与点 A 的距离为 5 的点表示的数是： ； (3)若将数轴折叠，使点 A 与－3 表示的点重合，则点 B 与数 表示的点重合； (4)若数轴上 M、N 两点之间的距离为 2018（M 在 N 的左侧），且 M、N 两点经过(3)中折 叠 后 互 相 重 合 ， 则 M 、 N 两 点 表 示 的 数 分 别 是 ： M ： ；N： ．