专题03 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练（人教版）（原卷版）.docx

专题03 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练 专题1. 最值问题 最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。 题型1. 两个绝对值的和的最值 【解题技巧】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为。 例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 变式1．（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5－（－2）|＝ _______．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7这样的负整数是_____________．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 例2.（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示 3 和 1 的两点之间的 距离；可以理解为数轴上表示 3 与﹣1 的两点之间的距离． 从“数”的角度看：数轴上表示 4 和﹣3 的两点之间的距离可用代数式表示为： 4-（-3） ． 根据以上阅读材料探索下列问题：(1)数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离是 ；（直接写出最终结果）(2)①若数轴上表示的数 x 和﹣2 的两点之间的距离是 4，则 x 的值为 ；②若 x 为数轴上某动点表示的数，则式子的最小值为 ． 变式2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝　 　．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是　 　．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 题型2. 两个绝对值的差的最值 【解题技巧】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例1.（2022·浙江·温州七年级开学考试）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（　　） A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在 变式1．（2022·上海七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 例2.（2022·湖北十堰·七年级期中）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__． 变式2．（2022·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______． 题型3. 多个绝对值的和的最值 【解题技巧】最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为。 例1.（2022·天津初一月考）若是有理数，则的最小值是________． 变式1．（2022•武侯区校级月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值为　 　，此时x的取值为　 　． 例2.（2022·北京市第四十四中学七年级期中）阅读下面一段文字：在数轴上点A，B分别表示数a，b．A，B两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离． 例如：当a＝2，b＝5时，＝5－2＝3；当a＝2，b＝－5时，＝＝7；当a＝－2，b＝－5时，＝＝3，综合上述过程，发现点A、B之间的距离＝（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题：（1）表示数a和－2的两点间距离是6，则a＝ ； （2）如果数轴上表示数a的点位于－4和3之间，则＝ （3）代数式的最小值是 ． （4）如图，若点A，B，C，D在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，d，则式子的最小值为 （用含有a，b，c，d的式子表示结果） 变式2.（2022•龙泉驿区期中）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题． 例，若|x+5|＝2，那么x为： ①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2． 文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2． ②图形语言： ③答案：x为﹣7和﹣3． 请你模仿上题的①②③，完成下列各题： （1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值； ①文字语言： ②图形语言： ③答案： （2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值： ①文字语言： ②图形语言： ③答案： （3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围： ①文字语言： ②图形语言： ③答案： （4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值． ①文字语言： ②图形语言： ③答案： 课后专项训练： 1．（2022·全国·七年级）若表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，当x取任意有理数时，代数式的最小值为（       ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）最小值为 ______． 3．（2022·陕西·西安交大阳光中学七年级阶段练习）阅读下列材料:我们知道a的几何意义是在数轴上数a对应的点与原点的距离.数轴上数a与数0对应点之间的距离，这 个结论可以推广为: |a- b|均表示在数轴上数a与b对应点之间的距离，例:已知|a-1|=2， 求a的值. 解:在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和-1，即a的值为3和-1. 仿照阅读材料的解法，解决下列问题 (1)已知，求a的值. (2)若数轴上表示a的点在-4与2之间，则|a+4|+|a-2|的值为___ (3)当a满足什么条件时，|a-1|+ |a+2|有最小值，最小值是多少? 4．（2021·贵州六盘水·七年级阶段练习）同学们都知道，根据绝对值的几何意义，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索： （1）|4﹣（﹣2）|＝　 　； （2）找出所有符合条件的整数x，使|x﹣4|+|x+2|＝6成立，并说明理由． （3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 5．（2021·北京市平谷区峪口中学七年级期中）同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求|5－（－2）|＝______． （2）若成立，则x＝_________． （3）请你写出的最小值为________．并确定相应的x的取值范围是______． 6．（2022·山东·济南七年级期中）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；… 解决问题： （1）数轴上有理数与3对应的两点之间的距离等于_________；数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为________；若数轴上有理数与1对应的两点、之间的距离，求的值； 联系拓广： （2）如图，点表示的数为4，点表示的数为，为数轴上的动点，动点表示的数为． ①若点在点、两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：当取最小值时，求整数的所有取值的和； ②当点到点的距离等于点到点的距离的2倍时，求的值． 7．（2022·重庆市铜梁区关溅初级中学校七年级期末）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程） （1）若，则_______，若，则_______； （2）若，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______； （3）若，则x能取到的最大值是_______； （4）关于x的式子的取值范围是_______． 8．（2022·云南·昆明七年级期中）阅读下面材料并解决有关问题，我们知道： ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，，称，分别为与的零点值在有理数范围内，零点值，，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ①；②；③ 从而化简代数式时可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上所述： 原式，通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）当时，______． （2）化简代数式： （3）直接写出的最大值______． 9．（2022·全国·七年级）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为|AB|．则数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|． 回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 　　；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 　　； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 　　，如果|AB|＝2，那么x为 　　； （3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，符合条件的整数x有 　　； （4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解． 10．（2021·福建·泉州七中七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与-1所对应的点之间的距离． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）若，则 ；的最小值是 ． （2）若，则的值为 ；若，则的值为 ． （3）是否存在使得取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时的取值情况；若不存在，请说明理由． 11．（2021·广东·西关外国语学校七年级期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________，表示和2两点之间的距离是________． （2）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么________． （3）若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为________； （4）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，这些点表示的数的和是　　． （5）当________时，的值最小，最小值是________． 12．（2022•绵阳市校级月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离：|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离，一般地，点A、点B在数轴上分别表示有理数a、b，那么点A、点B之间的距离可表示为|a﹣b|． （1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为　 　（用含绝对值的式子表示）； （2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是　 　．②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，P的值是不变的，此时P取最小值是　 　；|x|+|x﹣2|最小值是　 　． （3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值为　 　，此时x的值为　 　． 13．（2022·河南南阳·七年级期末）|x＋8|＋|x＋1|＋|x﹣3|＋|x﹣5|的最小值等于（       ） A．10 B．11 C．17 D．21 14．（2022·全国·七年级课时练习）利用数轴解决下面的问题：（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是　 　；（2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是　 　；（3）当式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最小值时，相应的x的取值范围或值是　 　，最小值是　 　． 15．（2021·福建省仙游县枫亭职业学校七年级期中）阅读理解；我们知道，若A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点间的距离表示为AB，则．所以的几何意义是数轴上表示X的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： （1）若点A表示－2，点B表示3，则AB＝ ． （2）若，则的值是 ． （3）如果数轴上表示数的点位于－4和2之间，求的值； （4）点取何值时，取最小值，最小值是多少？请说明理由； （5）直接回答：当式子取最小值时，相应的取值范围是多少？最小值是多少？ 16．（2022·四川·安岳县李家初级中学七年级阶段练习）我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么AB=|a-b|．(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5 的两点之间的距离是______，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_______； （2）数轴上表示x和－1的两点A、B之间的距离是_______，如果|AB|=2，那么x的值为_______； （3）当x取何值时，式子|x－1|+|x－2|+|x－3|+ |x－4|+|x－5|的值最小，并求出这个最小值． 17．（2022·全国·七年级期中）唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚．”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知P、Q在数轴上分别表示有理数p、q，P、Q两点的距离表示为． 阅读上述材料，回答下列问题： （1）若数轴上表示x与3的两点之间的距离是4，则___________． （2）当x的取值范围是多少时，代数式有最小值，最小值是多少？ （3）若未知数x，y满足，求代数式的最大值，最小值分别是多少？ 专题2. 绝对值化简问题 绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重点题型，考卷中会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型。希望通过本专题让大家熟练掌握这两类压轴题。 题型1. 已知范围的绝对值化简 【解题技巧】已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 例1.（2022·湖南长沙·七年级期末）有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（       ）． A． B． C．0 D． 变式2.（2022·河南周口·七年级期末）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是(     ) A．-1 B．1 C．3 D．-3 例2.（2021·长郡集团郡维学校初一月考）如果++=-1，那么+++的值为（　　） A． B． C．0 D．不确定 变式2．（2022·内蒙古赤峰·七年级期中）、、是有理数且，则的值是（       ） A． B．3或 C．1 D．或1 题型2. 未知范围的绝对值化简 【解题技巧】绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即。 例1.（2022•新都区校级月考）已知x为有理数，且|x﹣3|＝2x+3，则x的值为　 　． 变式1．（2022·河北·七年级期中）若a、b、c是有理数，|a|＝3，|b|＝10，|c|＝5，且a，b异号，b，c同号，求a﹣b﹣（﹣c）的值． 变式2．（2021·江苏·九年级）已知，求． 例2.（2022·福建福州·七年级期末）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2． 【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1． 根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|． 变式3．（2022·湖北咸宁·七年级期末）阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子（表示，例如：5和的距离可用或表示． (1)【知识应用】我们解方程时，可用把看作一个点x到5的距离，则该方程可看作在数轴上找一点P（P表示的数为x）与5的距离为2，所以该方程的解为或所以，方程的解为___（直接写答案，不离过程）． (2)【知识拓展】我们在解方，可以设A表示数5，B表示数，P表示数x，该方程可以看作在数轴上找一点P使得，因为，所以由可知，P在线段AB上都可，所以该方程有无数解，x的取值范围是．类似的，方程的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范围）； (3)【拓展应用】解方程 课后专项训练： 1．（2022•肇源县期末）当2≤x＜5时，化简：|2x﹣10|﹣|x﹣2|的值为 　． 2．（2022·陕西宝鸡·七年级期末）已知、两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（2021·河南周口·七年级期中）是有理数，它在数轴上的对应点的位置如图所示．则________． 4．（2022·四川广元·七年级期末）已知有理数，则化简的结果是_______． 5．（2022·四川眉山·七年级期末）已知，有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示，化简：． 6．（2022·云南昭通·七年级期末）阅读下面一段文字：在数轴上A，B两点之间的距离可以用符号表示，可以利用有理数减法和绝对值计算A，B两点之间的距离．若点A，B分别用数a，b表示，则当，时，；当，时，；当，时，．发现点A，B之间的距离（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题： (1)数轴上表示和7两点之间的距离是______； (2)如果数轴上表示a和1两点间的距离是7，那么______； (3)如果数轴上表示的数a的取值范围为，求的值． 7．（2021·山东·夏津县万隆实验中学七年级阶段练习）数轴上从左到右的三个点 A ，B ，C 所对应的数分别为 ．其中AB=2020，BC=1000，如图所示． （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算 的值．        （2）若原点 O 在 A，B 两点之间，求的值．        （3）若O是原点，且OB=20，求的值． 8．（2022·重庆一中七年级期中）有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，则化简______． 9．（2022·河北唐山·七年级期末）若有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则化简的结果是__________． 10．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·七年级期末）在数轴上表示三个数的点的位置如图所示，化简式子：结果为__________． 11．（2022·全国·七年级课时练习）已知非零有理数a，b，c，满足，则等于（       ） A．﹣1 B．0 C．±1 D．1 12．（2021·广西南宁·七年级期中）已知，，都是不等于0的有理数，且的最大值是，最小值是，则______． 13．（2022·全国·七年级）请利用绝对值的性质