专题02 数轴上的三种动点问题（原卷版）（人教版） .docx

专题02 数轴上的三种动点问题 数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。那么，本专题对其中常考的三种题型（求时间、求距离或者对应点、定值问题）做出详细分析与梳理。 【知识点梳理】 1.数轴上两点间的距离 数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|； 2.数轴上点移动规律 数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）； 当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b. 类型一、求值（速度、时间、距离） 例1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a，b满足＋＝0； (1)点A表示的数为 ；点B表示的数为 ； (2)若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则C点表示的数 ； (3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位／秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后 （忽略球的大小，可看作一点） 以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），请分别表示出甲，乙两小球到原点的距离 （用t表示）． 【答案】(1)-2；6；(2)或14 (3)甲球与原点的距离为：t+2；当时，乙球到原点的距离为；当时，乙球到原点的距离为 【解析】(1)解：∵|a+2|+|b−6|=0，∴a+2=0，b−6=0，解得，a=−2，b=6， ∴点A表示的数为−2，点B表示的数为6．故答案为：−2；6． (2)设数轴上点C表示的数为c， ∵AC=2BC，∴|c−a|=2|c−b|，即|c+2|=2|c−6|， ∵AC=2BC>BC，∴点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上， ①当C点在线段AB上时，则有−2⩽c⩽6， 得c+2=2(6−c)，解得：c=； ②当C点在线段AB的延长线上时，则有c>6，得c+2=2(c−6)，解得c=14， 故当AC=2BC时，c=或c=14；故答案为：或14． (3)∵甲球运动的路程为：1⋅t=t，OA=2，∴甲球与原点的距离为：t+2； 乙球到原点的距离分两种情况： 当0<t⩽3时，乙球从点B处开始向左运动，直到原点O， ∵OB=6，乙球运动的路程为：2⋅t=2t，乙到原点的距离：6−2t(0⩽t⩽3)； ②当t>3时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2t−6(t>3)． 例2．如图，数轴上两个动点A，B起始位置所表示的数分别为，4，A，B两点各自以一定的速度在数轴上运动，已知A点的运动速度为2个单位/秒． (1)若A，B两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B点的运动速度． (2)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8个单位长度？ (3)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，如果在运动过程中，始终有，求C点的运动速度． 【答案】(1)1个单位/秒；(2)4秒和20秒；(3)个单位/秒 【解析】(1)解：B点的运动速度为： =1个单位/秒． (2)∵OA+OB=8+4=12＞8，且A点运动速度大于B点的速度， ∴分两种情况， ①当点B在点A的右侧时，运动时间为=4秒． ②当点A在点B的右侧时，运动时间为=20秒， 综合①②得，4秒和20秒时，两点相距都是8个单位长度； (3)设点C的运动速度为x个单位/秒，运动时间为t，根据题意得知 8+（2-x）×t=[4+（x-1）×t]×2，整理，得2-x=2x-2，解得x=， 故C点的运动速度为个单位/秒． 【变式训练1】如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问： (1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？ (2)求P、Q两点相遇时，t的值和相遇点M所对应的数． 【答案】(1)动点P从点A运动至点C需要19秒； (2)P、Q两点相遇时，t的值为秒，相遇点M所对应的数是． 【解析】(1)解：由图可知：动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC， AO段时间为＝5，OB段时间为=10，BC段时间为=4， ∴动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4=19（秒）， 答：动点P从点A运动至点C需要19秒； (2)解：点Q经过8秒后从点B运动到OB段， 而点P经过5秒后从点A运动到OB段，经过3秒后还在OB段，∴P、Q两点在OB段相遇， 设点Q经过8秒后从点B运动到OB段，再经进y秒与点P在OB段相遇， 依题意得：3+y+2y=10，解得：y=，∴P、Q两点相遇时经过的时间为8+=（秒）， 此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是为3+=； 答：P、Q两点相遇时，t的值为秒，相遇点M所对应的数是． 【变式训练2】如图，已知、、是数轴上三点，点表示的数为4，，． (1)点表示的数是______，点表示的数是______． (2)动点、分别从、同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点的运动时间为（）秒． ①用含的代数式表示：点表示的数为______，点表示是数为______； ②当时，点、之间的距离为______； ③当点在上运动时，用含的代数式表示点、之间的距离； ④当点、到点的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)，6；(2)①，；②7；③；④t的值为或10 【解析】(1)解：A点在B点左边，B点表示4，AB=8，∴A点表示的数，4-8=-4； C点在B点右边，BC=2，∴C点表示的数为：4+2=6； (2)解：①P点向右运动，∴P点表示的数为-4+2t； Q点向左运动，∴Q点表示的数为6-t； ②t=1时，P点-2，Q点5，两点距离=5-（-2）=7； ③∵Q点在右，P点在左，∴两点距离=6-t-（-4+2t）=10-3t， ④当P，Q相遇时，两点到C点距离相等，此时2t+t=10，解得：t=， 当P点在C点右边，Q点在C点左边时，-4+2t-6=6-（6-t），解得：t=10， ∴t的值为或10； 【变式训练3】如图，点A、B为数轴上的点（点A在数轴的正半轴），，N为AB的中点，且点N表示的数为2． (1)点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)点M为数轴上一动点，点C是AM的中点，若，求点M表示的数，并画出点M的位置； (3)点P从点N出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，设运动时间为秒．在运动过程中，点P、Q之间的距离为3时，求运动时间t的值． 【答案】(1)6，﹣2；(2)8或4；(3)1秒或7秒． 【解析】(1)解：∵，N为AB的中点，∴AN＝BN＝AB＝4 ∵点N表示的数为2，点A在点N的右侧，点B在点N的左侧 ∴点A表示的数为2＋4＝6，点B表示的数为2－4＝﹣2，即点A表示的数为6，点B表示的数为﹣2， 故答案为：6，﹣2 (2)解：当点M在点A的右侧时，如图1所示， ∵ C是AM的中点，CM＝1，∴AM＝2CM＝2，∴点M表示的数是6＋2＝8； 当点M在点A的左侧时，如图2所示， ∵ C是AM的中点，CM＝1，∴AM＝2CM＝2， ∴点M表示的数是6－2＝4．故点M表示的数是8或4； (3)解：当点P在点Q的右侧，即点P还没追上点Q时，如图3， 由题意得t＋4－2t＝3，解得t＝1， 当点P在点Q的左侧，即点P追上点Q并超过点Q时，如图4所示， 由题意得2t－t－4＝3，解得t＝7， ∴点P、Q之间的距离为3时，运动时间t＝1秒或7秒． 类型二、定值问题 例1．已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题： (1)请直接写出a、b、c的值．a＝ ，b＝ ，c＝ ． (2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．    ①t秒钟过后，AC的长度为 （用含t的关系式表示）； ②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 【答案】(1)-1，1，5；(2)①4t＋6；②不会变化，2 【解析】(1)解：由题意得， 单项式-xy2的系数a＝-1，最小的正整数b＝1， 多项式2m2n-m3n2-m-2的次数c＝5；    故答案为：-1，1，5 (2)①t秒后点A对应的数为a-t，点B对应的数为b＋t，点C对应的数为c＋3t， 故AC＝|c＋3t-a＋t|＝|5＋4t＋1|＝6＋4t； 故答案为：6＋4t ②∵BC＝5＋3t-（1＋t）＝4＋2t， AB＝1＋t-（-1-t）＝2＋2t； ∴BC-AB＝4＋2t-2-2t＝2， 故BC-AB的值不会随时间t的变化而改变．其值为2． 【变式训练1】如图，已知数轴上点A表示的数为12，B是数轴上一点．且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数___，点P表示的数___（用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q； (3)若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长． 【答案】(1)﹣8，12﹣5t；(2)点P运动10秒时追上点Q； (3)线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由见解析． 【解析】(1)解：∵点A表示的数为12，B在A点左边，AB=20， ∴点B表示的数是12-20=-8， ∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t（t＞0）秒， ∴点P表示的数是12-5t．故答案为：-8，12-5t； (2)解：设点P运动x秒追上点Q，Q表示的数是-8-3t， 根据题意得：12-5x=-8-3x，解得：x=10， ∴点P运动10秒时追上点Q； (3)解：线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下： ∵点A表示的数为12，点P表示的数是12-5t，M为AP的中点， ∴M表示的数是， ∵点B表示的数是-8，点P表示的数是12-5t，N为PB的中点， ∴N表示的数是， ∴MN=（12-t）-（2-t）=10． 【变式训练2】如图，已知数轴上点A表示的数为9，B是数轴负方向上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数为_____，点P表示的数为________；（用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问t为何值时，点P追上点Q？此时P点表示的数是多少？ (3)若点M是线段的中点，点N是线段的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度； 【答案】(1)，；(2)－16；(3)不发生变化， 【解析】(1)解：∵数轴上点A表示的数为8，且AB=14， ∴点B表示的数为−6， 点P表示的数为， 故答案为：，． (2)解：设点P运动t秒时，在点C处追上点Q，如图，则， 因为，所以．解得．      所以点P运动5秒时，在点C处追上点Q． 当时，．此时P点表示的数是． (3)解：不发生变化．理由是： 因为M是线段的中点，N是线段的中点，所以． 分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时，如图所示， 所以．    ②当点P运动到点B的左侧时，如图所示， 所以．    综上所述，线段的长度不发生变化，其值为． 【变式训练3】点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足． (1)如图1，求线段AB的长； (2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由； (3)如图2，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值． 【答案】(1)4；(2)存在，当点P表示的数为-1.5或3.5时，；理由见解析 (3)结论①正确，=2 【解析】(1)解：∵|a+1|+（b-3）2=0，∴a+1=0，b-3=0，∴a=-1，b=3， ∴AB=|-1-3|=4．答：AB的长为4； (2)解：存在，∵，∴x=-2，∴BC==5． 设点P在数轴上对应的数是m，∵，∴|m+1|+|m-3|=5， 令m+1=0，m-3=0，∴m=-1或m=3． ①当m≤-1时，-m-1+3-m=5，m=-1.5； ②当-1＜m≤3时，m+1+3-m=5，（舍去）； ③当m＞3时，m+1+m-3=5，m=3.5．∴当点P表示的数为-1.5或3.5时，； (3)解：设P点所表示的数为n，∴PA=n+1，PB=n-3． ∵PA的中点为M，∴PM=PA=． ∵N为PB的四等分点且靠近于B点，∴BN=PB=，∴①PM-2BN=-2×=2（不变）， ②PM+BN=+×=（随点P的变化而变化）， ∴正确的结论为①，且PM-2BN=2． 类型三、点之间的位置关系问题 例1．如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒． (1)解决问题： ①当时，写出数轴上点B，P所表示的数； ②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？ (2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）． 【答案】(1)①点B表示-4，点P表示5；②1.8秒或3秒 (2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析 【解析】(1)解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，∴点B表示的数是8-12=-4， ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P表示的数是8-3×1=5． ②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度， 则AP=3x，BQ=2x， ∵AP+BQ=AB-3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8， ∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15，解得：x=3． ∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度． (2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下： P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ=AQ+BP-PQ=（AQ+BP-PQ）-PQ=AB-PQ=（12-PQ）， 即2MN+PQ=12． 同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12． 例2.如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止． (1)a＝　 　，b＝　 　； (2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值． (3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)﹣3，﹣1；(2)或1或或；(3)1，，，8． 【解析】(1)解：b是最大的负整数，即b=﹣1，|a+3|+（c﹣9）2＝0， ∴|a+3|=0，（c﹣9）2＝0，∴a=﹣3，c=9，故答案为：﹣3，﹣1； (2)解：AB=2，BC=10，AC=12，PA+PB+PC＝13，PA+PC=12，则PB=1， ∴此时P点位置为﹣2或0，根据P的运动轨迹得： 由B到A时：x=1÷3=，由A到B时：x=3÷3=1，由B到C时：x=5÷3=， 由C到B时：x=23÷3=；故x的值为:或1或或． (3)解：当P点由B到A运动时P=﹣3t－1（0≤t＜）， 当P点由A到C运动时P=﹣3＋（3t－2）=3t－5（≤t＜）， 当P点由C到B运动时P=9－（3t－14）=﹣3t＋23（≤t≤8）， 当M点由A到C运动时M=4t－3，当N点由C到A运动时N=﹣5t＋9， PM相遇时3t＋4t=2，t=，MN相遇时4t＋5t=12，t=，PN相遇时3t＋5t=12＋2，t=， 0≤t＜，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t－1）解得t=﹣舍去； ＜t＜，M在中间，则﹣5t＋9﹣3t－1=2（4t－3）解得t=舍去； ≤t＜，M在中间，则﹣5t＋9＋3t－5=2（4t－3）解得t=1； ＜t＜，N在中间，则4t－3＋3t－5=2（﹣5t＋9）解得t=； ＜t＜，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（3t－5）解得t=； ≤t≤8，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t＋23）解得t=8；故t的值为：1，，，8． 【变式训练1】如图，已知A、B、C是数轴上三点，点O为原点，点C表示的数为6，BC＝4， AB＝12． (1)写出数轴上点A、B表示的数； (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动．点P的速度是每秒6个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，点M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为t（t＞0）秒． ①求数轴上点M、N表示的数（用含t的式子表示）； ②当M、B、N三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，求t的值． 【答案】(1)A点表示-10， B表示2， (2)①点M表示的数为：-10+3t，点N表示的数为：6+t，②t的值为：2秒或秒或20秒； 【解析】(1)解：∵O为原点，C表示6，BC=4，∴B表示2，∵AB=12，∴A点表示-10； (2)解：①∵点P从A点以每秒6个单位长度沿数轴向右匀速运动，∴P点表示的数为-10+6t， ∵点M为AP的中点，∴点M表示的数为：（-10-10+6t）=-10+3t， ∵点Q从C点以每秒3个单位长度沿数轴向右匀速运动， ∴Q点表示的数为6+3t， ∵点N为CQ，∴点N表示的数为：6+×（6+3t-6）=6+t， ②当M是B、N中点，B点在左侧时，BM=MN，即-10+3t-2=6+t-（-10+3t），解得：t=， 当B是M、N中点，M点在左侧时，BM=BN，即2-（-10+3t）=6+t-2，解得：t=2， 当N是B、M中点，B点在左侧时，BN=MN，即6+t-2=-10+3t-（6+t），解得：t=20， ∴t的值为：2秒或秒或20秒； 【变式训练2】已知，如图1：数轴上有A、B、C三点，点A表示的数为－5， 点B表示的数为13， 点C表示的数为－2，将一条长为9个单位长度的线段MN放在该数轴上（点M在点N的左边）． (1)求线段AB中点表示的数； (2)如图2：若从点M与点A重合开始，将线段MN以0.3个单位长度/秒的速度沿数轴向右移动，经过x秒后，点N恰为线段BC的中点，求x的值； (3)如图3：在（2）的基础上，若线段MN向右移动的同时，动点P从点C开始以0.6个单位长度/秒的速度也沿数轴向右移动，设移动的时间为t秒，当P、N、B三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，求t的值． 【答案】(1)4；(2)5；(3)或 【解析】(1)解：线段AB中点表示的数为，∴线段AB中点表示的数为4； (2)解：点N表示的数为：-5+9=4 线段BC中点表示的数为： 根据题意，得4+0.3x=5.5，解得：x=5， ∴点N恰为线段BC的中点重合时，x的值为5； (3)解：当点N恰为线段BP的中点时，根据题意，得，方程无解， 当点P恰为线段BN的中点时，根据题意，得，解得：t=， 当点B恰为线段PN的中点时，根据题意，得，解得：t=， 综上，当P、N、B三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，t的值为或． 【变式训练3】已知A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是的优点． 例如：如图1，A，B为数轴上两点，点A表示的数为－1，点B表示的数为2，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的优点；表示数0的点D到点C的距离是1，到点B的距离是2，那么点D是的优点． (1)在图1中，点C是的优点，也是（A，_____________）的优点；点D是的优点，也是（B，_____________）的优点； (2)如图2，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为－2，点B所表示的数为4．设数所表示的点是的优点，求的值； (3)如图3，A，B为数轴两点，点A所表的数为－20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁Р从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，设点Р的运动时间为t秒，在点Р运动过程中，是否存在P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点﹖如果存在请求出t的值；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)D，A；(2)10或2；(3)当或或时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点 【解析】(1)解：A，B为数轴上两点，点A表示的数为－1，点D表示的数为0，表示数1的点C到点A的距离是2，到点D的距离是1，那么点C是的优点；表示数0的点D到点B的距离是2，到点A的距离是1，那么点D是A的优点， 故答案为：D；A； (2)解：由题意得， ∴或， 解得或； (3)解：由题意得运动t秒时点P表示的数为， ∴，，， 当A是（B，P）的优点时， ∴， 解得； 当B为（A，P）的优点时， 解得； 当P为（A、B）的优点时， 解得； 当P为（B，A）的优点时， 解得； 综上所述，当或或时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点