专题04 数轴中的动点问题 专项讲练（人教版）（原卷版）.docx

专题04 数轴中的动点问题 专项讲练 数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高。 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动。 题型1. 单动点问题 例1.（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（       ） ①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（       ） 甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为； 乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为； 丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确 题型2. 单动点问题（规律变化） 例2.（2021·浙江温州·七年级期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点． (1)求点A与点C的距离．(2)若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数．(3)动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，当点P满足PC＝2PA时，则点P移动 次． 变式2．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 题型3. 双动点问题（匀速） 例3.（2021·陕西·西安铁一中滨河学校七年级期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1． （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x　 　时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 　 　； （3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？ 变式3．（2022·江西·七年级期末）已知数轴上点在原点的左边，到原点的距离为4，点在原点右边，从点走到点，要经过16个单位长度．（1）写出、两点所对应的数；（2）若点也是数轴上的点，点到点的距离是点到原点距离的3倍，求对应的数；（3）已知点从点开始向右出发，速度每秒1个单位长度，同时从点开始向右出发，速度每秒2个单位长度，设线段的中点为，线段的值是否会发生变化？若会，请说明理由，若不会，请求出求其值． 题型4.双动点问题（变速） 例4.（2021·江苏·无锡市江南中学七年级期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 变式4.（2021·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 题型5.多动点问题 例5.（2022·福建·厦门市金鸡亭中学七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点； (1) a＝ ，b＝ .(2) 若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.） (3) 若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样　. 变式5．（2021·剑阁县公兴初级中学校七年级月考）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c-6）2+|a+b|=0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a=___，b=___，c=___． （2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A、B之间运动时，请化简式子：|x+1|-|x-1|-2|x+5|（请写出化简过程） （3）在（1）的条件下，数轴上的A，B，M表示的数为a，b，y，是否存在点M，使得点M到点A，点B的距离之和为5？若存在，请求出y的值；若不存在，请说明理由． （4）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒n（n>0）个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 题型6. 新定义问题 例6.（2021·江西赣州·七年级期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点． 例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？ 变式6．（2022·福建南平·七年级期末）【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，-1，那么． (1)若，则x的值为 ．(2)当x＝ （x是整数）时，式子成立． (3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：当时，点P叫点A的1倍伴随点， 当时，点P叫点A的2倍伴随点，……当时，点P叫点A的n倍伴随点． 试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由． 课后专项训练： 1．（2022·广东揭阳·七年级期末）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第2次从点向右移动6个单位长度到达点，第3次从点向左移动9个单位长度到达点，…，按照这种移动规律进行下去，第n次移动到达点，如果点与原点的距离不小于17，那么n的最小值是___________． 2．（2022·四川·宜宾八中七年级阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒． （1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ （2）问多少秒后甲到，，三点的距离之和为40个单位？． （3）若甲、乙两只电子蚂蚁（用表示甲蚂蚁、表示乙蚂蚁）分别从，两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点、甲蚂蚁与乙蚂蚁三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 3．（2022·全国·七年级专题练习）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴上﹣3和5的位置，沿数轴做移动游戏，规则如下：两人先猜硬币的正反面，依据猜的对错再移动，若都猜对或都猜错，则甲向右移动1个单位，同时乙向左移动1个单位；若甲猜对乙猜错，则甲向右移动4个单位，同时乙向右移动2个单位；若甲猜错乙猜对，则甲向左移动2个单位，同时乙向左移动4个单位． （1）第一次游戏时，若甲、乙都猜对，则移动后两人相距　 　个单位；若甲猜对乙猜错，则移动后两人相距　 　个单位；若甲猜错乙猜对，则移动后两人相距　 　个单位； （2）若连续（下次在上次的基础上）完成了10次移动游戏，且每次甲、乙所猜结果均为一对一错．游戏结束后，①乙会不会落在原点O处？为什么？②求甲、乙两人之间的距离． 4．（2022·山东济宁·七年级期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为-2，0，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． （1）填空： ； （2）点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度，5个单位长度的速度向右运动． ①设运动时间为，请用含有的算式分别表示出； ②在①的条件下，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 5．（2022·黑龙江·尚志市田家炳中学七年级期中）已知：且、、分别是点、、在数轴上对应的数. （1）求点与点的距离； （2）若甲、乙两个动点分别从、两点同时出发，沿数轴正方向运动，它们的速度分别是2和1（单位长度/秒），求甲追上乙时所用的时间； （3）在（2）的条件下，甲动点向数轴正方向运动，乙动点向数轴负方向运动.当甲动点开始运动时，丙动点以4个单位长度/秒的速度和甲动点同时从点向数轴正方向运动，当丙动点遇到乙动点时立即返回向数轴负方向运动，当遇到甲动点时也马上返回，如此往复直到甲乙两动点相遇则停止运动，设甲乙两动点在点处相遇，求从开始到停止运动，丙动点走的总路程以及点对应的数字. 6．（2022·山东·梁山县水泊街道初级中学七年级期中）已知，如图，、、分别为数轴上的三个点，点对应的数为60，点在点的左侧，并且与点的距离为30，点在点左侧，点到距离是点到点距离的4倍． （1）求出数轴上点对应的数及的距离． （2）点从点出发，以3单位/秒的速度项终点运动，运动时间为秒． ①点点在之间运动时，则_______．（用含的代数式表示） ②点在点向点运动过程中，何时、、三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间．③当点运动到点时，另一点以5单位/秒速度从点出发，也向点运动，点到达点后立即原速返回到点，那么点在往返过程中与点相遇几次？直接写出相遇是点在数轴上对应的数． 7．（2022·辽宁沈阳·七年级期中）解答下列问题: 画出数轴，并在数轴上表示与； 数轴上表示的点与表示的两点之间的距离为 ； 若，且点，点在数轴上表示的数分别是，则两点间的最大距离 ，最小距离是 数轴上的三点所表示的数分别为．点在点左侧，点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，如果两点同时出发，点以每分钟个单位长度的速度从点向右运动，点以每分钟个单位长度从点向左运动． ①如图1， 分钟后，点与点的距离和点与点的距离相等； ②如图2， 分钟后，点 与点的距离和点与点的距离相等． 8．（2021·广东·高州一中七年级阶段练习）如图，在数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为．点从点出发以每秒个单位长度的速度由运动，同时，点从点出发以每秒个单位长度的速度由运动，当点到达点时两点停止运动，设运动时间为(单位：秒)． （1）求时，求点和点表示的有理数； （2）求点与点第一次重合时的值； （3）当的值为多少时，点表示的有理数与点表示的有理数距离是个单位长度． 9．（2022·河南南阳·七年级期中）如图：在数轴上点表示数点表示数点表示数是最小的正整数，且满足． （1）求的值； （2）若将数轴折叠，使点与点重合，则点与数_______表示的点重合； （3）点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为 ①当时，求点表示的有理数； ②当点表示的有理数与点的距离为个单位长度时，直接写出所有满足条件的值． 10．（2022·四川·成都市青羊实验中学七年级阶段练习）如图，点和点在数轴上对应的数分别为和，且． （1）线段的长为 ； （2）点在数轴上所对应的数为，且是方程的解，在线段上是否存在点使得?若存在，请求出点在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由； （3）在(2)的条件下，线段和分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为秒，点为线段的中点，点为线段的中点，若，求的值． 11．（2022·河北唐山·七年级期末）如图，已知在数轴上有、两点，点表示的数是，点表示的数是．点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒． （1）_______；时，点表示的数是_______；当_______时，、两点相遇； （2）如图，若点为线段的中点，点为线段中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长； （3）如图，若点为线段的中点．点为线段中点，则直接写出用含的代数式表示的线段的长． 12．（2022·河北·七年级期中）如图：在数轴上，点A表示a, 点B表示b, 点C表示c,b是最大的负整数，且a,c满足 ________，_________，_____________ 若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数____________表示的点重合； 点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后， ①请问:的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． ②探究:若点向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 13．（2021·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12． （1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________． （2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，． （3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． 14．（2022·四川师范大学附属中学七年级阶段练习）已知，数轴上有两点A、 B对应的数分别为−1，5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）若点P到点A、B的距离相等，求点A、B的距离及x的值． （2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小？若存在，请求出最小值；并求出取得最小值时x可以取的整数值；若不存在，说明理由． （3）点A、 B分别以3个单位长度/秒，2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点P以4个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以不变的速度向右运动，当遇到B时，点P立即以不变的速度向左运动，并不停往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 15．（2022·湖北·武钢实验学校七年级阶段练习）已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1) ______，______，______； (2)①动点从点运动至点时，求的值； ②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点为线段中点，当________秒时，． 16．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别为－2、1、6（点A与点B之间的距离表示为AB）． （1）AB= ，BC= ，AC= ． （2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：2BC－AC的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求其值． （3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．求随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间的数量关系． 17．（2021·河南·郑州枫杨外国语学校七年级期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为70． （1）若数轴上有一点M，点M到点A的距离与点M到点B的距离相等，则M对应的数为 　 　； （2）若数轴上有一点N，点N表示的数为x，则|x+5|+|x+1|+|x﹣3|的最小值为 　 　，此时x的值是 　 　； （3）若当电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以2单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？ 18．（2021·北京·北大附中七年级期末）定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“平衡点”．请解答下列问题： （1）若点A表示的数为－3，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“平衡点”，则点M表示的数为_______； （2）若点A表示的数为－3，点A与点B的“平衡点”M表示的数为1，则点B表示的数为________； （3）点A表示的数为－5，点C，D表示的数分别是－3，－1，点O为数轴原点，点B为线段CD上一点． ①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“平衡点”，则m的取值范围是________； ②当点A以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点C同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．设移动的时间为t（）秒，求t的取值范围，使得点O可以为点A与点B的“平衡点”．