专题07 探究与表达规律（八大题型） 专项讲练（解析版）.docx

专题07 探究与表达规律（八大题型） 专项讲练 1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型： 1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系. 2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系. 3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系. 4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数. 5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论. 2. 常见的数列规律： 1）1，3，5，7，9，… ，（为正整数）． 2） 2，4，6，8，10，…，（为正整数）． 3） 2，4，8，16，32，…，（为正整数）． 4）2， 6， 12， 20，…， （为正整数）． 5），，，，，，…，（为正整数）． 6）特殊数列： ①三角形数：1,3,6,10,15,21，…，. ②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和. 题型1：数列的规律 1．（2022·山东烟台·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先观察系数与指数的规律，再根据规律定出第n个单项式即可． 【详解】解：∵，，，，，……， ∴系数是奇数项为-1，偶数项为1，即系数的规律是(-1)n-1, 指数的规律为2n+1， ∴第n个单项式为， 故选：B． 【点睛】本题考查数式的变化规律，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键． 2．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，那么22021的个位数字是（   )． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】观察不难发现，2n的个位数字分别为2、4、8、6，每4个数为一个循环，用2021÷4，根据余数的情况确定答案即可． 【详解】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…， ∴个位数字分别为2、4、8、6依次循环， ∵2021÷4=505……1， ∴22021的个位数字与21个位数字相同，即22021的个位数字是2，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了尾数特征，观察数据发现每4个数为一个循环，个位数字依次循环，是解题的关键． 3．（2022·山东泰安·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．则第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和是（       ） A．35 B．40 C．45 D．50 【答案】B 【分析】分别探究“三角形数”与“正方形数”的存在规律，求出第5个“三角形数”与第5个“正方形数”，再求第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和． 【详解】第1个“三角形数”：1， 第2个“三角形数”：1+2=3， 第3个“三角形数”：1+2+3=6， 第4个“三角形数”：1+2+3+3=10， 第5个“三角形数”：1+2+3+4+5=15， 第1个“正方形数”：1， 第2个“正方形数”：22=4， 第3个“正方形数”：32=9， 第4个“正方形数”：42=16， 第5个“正方形数”：52=25， ∴15+25=40． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了“三角形数”与“正方形数”，解决问题的关键是探究“三角形数”与“正方形数”的规律，运用规律求数． 4．（2021·广西百色·二模）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第8个数是_____． 【答案】 【分析】不难看出，奇数项为负，偶数项为正，分子部分为2n+1，分母部分为：3n-1，据此即可作答． 【详解】解：∵， ， ， …， ∴第n个数为：， ∴第8个数为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． 5．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）边长为1的正方形OABC从如图所示的位置（点O对应数0，点A对应数－1）开始在数轴上顺时针滚动（无滑动）．当正方形的某个顶点落在数2023在数轴上对应的点处时停止运动，此时落在数2023在数轴上对应点的这个顶点是（       ） A．点A B．点B C．点C D．点O 【答案】A 【分析】滚动四次一个循环，用2023除以4，商即是循环的次数，由余数即可得到与2023重合的点． 【详解】解：∵2023＝505×4＋3， ∴与2023重合的点即是滚动后与3重合的点， 而与1重合的是C，与2重合的是B，与3重合的是A， ∴与2023重合的是A，故A正确．故选：A． 【点睛】本题主要考查图形类规律探究、数轴上点表示的数，解题的关键是理解与2023重合的点即是与3重合的点． 6.（2022·福建漳州七年级开学考试）观察下列各项：，，，，…，依此规律下去，则第7项是__________；第项是__________． 【答案】 【分析】观察可知：整数部分是从1开始的自然数，分数部分的分子为1，分母为从2开始的自然数的两倍，据此可得． 【详解】解：=，=，=，=，… ∴第7项是，第n项是，故答案为：，． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，利用规律解决问题． 题型2：数表的规律 1．（2022·山东济南·七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列，若用有序数对（a，b）表示第a行，从左至右第b个数，例如（4，3）表示的数是9，则（15，10）表示的数是（       ） A．115 B．114 C．113 D．112 【答案】A 【分析】观察图形可知，每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1，即可得出（15，1）表示的数，然后得出（15，10）表示的数即可． 【详解】解：因为（1，1）表示的数是：1， （2，1）表示的数是：1+1=2， （3，1）表示的数是：1+1+2=4， （4，1）表示的数是：1+1+2+3=7， （5，1）表示的数是：1+1+2+3+4=11， …… 所以（a，1）表示的数是：， 所以（15，1）表示的数是：， 所以（15，10）表示的数是：106+10-1=115， 故选A． 【点睛】本题考查了找图形和数字规律，从题目分析发现每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1是本题的关键． 2．（2022·山东烟台·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负数）的项数及各项系数的有关规律，例如： 请写出展开式中间一项的系数（       ） A．70 B．64 C．56 D．54 【答案】A 【分析】根据题意可得每行第一个和最后一个数都是1，其他位置的数下面的数等于上面两个数的和，即可求出展开式中间一项的系数． 【详解】解：由题意可得下面一个数等于上面两个数的和， ∴中，各项的系数分别为：1，7，21，35，35，21，7，1， ∴中，各项的系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1， ∴展开式中间一项的系数为70， 故选：A． 【点睛】此题考查了多项式的系数规律问题，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的有关规律． 3．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期中）将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对（a，b）表示第a排，从左至右第b个数．例如（4，3）表示的数是9，则（7，3）表示的数是（       ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】观察图形中的数据可知：第n排的最后一个数为：，第6排的最后一个数为21，因为（7，3）表示第7排第3个数，所以该数为：． 【详解】解：观察图形中的数据可知： 第n排的最后一个数为：， ∵第6排的最后一个数为： ∴（7，3）表示第7排第3个数， 即该数为：， 故选:C． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是观察数字的变化规律． 4．（2022·河北承德·七年级期末）观察下面的数： 按着上述的规律排下去，那么第12行从左边数第4个数是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据行数确定出最后一个数的变化规律，再根据得出的规律确定出第11行的数，然后用11行的最后一个数的绝对值与4相加即可． 【详解】解：因为行数是偶数时，它的最后一个数是每行数的平方， 当行数是奇数时，它的最后一个数是每行数的平方的相反数， 所以第11行最后一个数字是：-11×11=-121， 它的绝对值是121， 第12行从左边第4个数的绝对值是：121+4=125． 故第12行从左边第4个数是-125． 故选：C． 【点睛】此题考查了数字的变化类，找出最后一个数的变化规律，确定出第11行最后一个数是解题关键． 5．（2021·云南红河·七年级期末）将连续奇数1，3，5，7，9……排成如图所示的数表． 用长方形框在如图所示的数表中任意框出九个数，将长方形框上下左右移动，可框住另外九个数．若这九个数中最小的数是171，则最大的数是 _____． 【答案】207 【分析】先设九个数中最小的数为m，根据规律表示九个数m，m+2，m+4，m+16，m+18，m+20，m+32，m+34，m+36，其中最小的是m=171，求代数式的值即可． 【详解】解：设九个数中最小的为m，m+2，m+4，m+16，m+18，m+20，m+32，m+34，m+36， ∵这九个数中最小的数是171， ∴m=171， ∴这九个数中最大的数是171+36=207， 故答案为：207． 【点睛】本题考查数中排列规律，找出方框中九个数的规律，代数式的值，掌握数中排列规律，找出方框中九个数的规律，利用代数式的值求出最大数是解题关键． 6．（2021·四川成都·七年级期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”： 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为___． 【答案】102×299 【分析】分析得出第101行有1个数，即为最后一行的数，根据每行的第一个数字得到规律，从而判断． 【详解】解：由题意，第1行有101个数， 第2行有100个数， …， 第101行有1个数， 故第1行的第一个数为：1=2×2-1， 第2行的第一个数为：3=3×20， 第3行的第一个数为：8=4×21， 第n行的第一个数为：（n+1）×2n-2， ∴第101行的第一个数为：102×299， 故答案为：102×299． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 题型3：算式的规律 算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。 常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。 通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。 1．（2022·黑龙江绥化·期末）已知：，，，……那么（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目所给式子，找到规律即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律型问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 2．（2022·山东泰安·期中）（n为非负整数）当，1，2，3，…时的展开情况如下所示： … 观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了下面的表： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为展开式中所有项系数的和应该是（       ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】C 【分析】由“杨辉三角”得到：（a+b）n（n为非负整数）展开式的项系数和为2n． 【详解】解：当n=0时，展开式中所有项的系数和为1=20， 当n=1时，展开式中所有项的系数和为2=21， 当n=2时，展开式中所有项的系数和为4=22，••• 当n=9时，展开式的项系数和为=29=512，故选：C． 【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解． 3．（2022·山东烟台·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． （a＋b）0＝1 （a＋b）1＝a＋b （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 （a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 … 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（       ） A．2048 B．1024 C．512 D．256 【答案】B 【分析】根据杨辉三角展开式中的所有项的系数和规律确定出展开式的项系数和为，求出系数知和即可 【详解】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20， 当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21， 当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22， 当n＝3时，展开式中所有项的系数和为8＝23 …… 由此可知（a＋b）n展开式的各项系数之和为2n， 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024，故选：B． 【点睛】本题考查杨辉三角展开式的系数的和的求法，通过观察展开式中的所有项的系数和，得到规律是解题的关键． 4．（2022·内蒙古赤峰·八年级期末）已知：；；；…，若符合前面式子的规律，则的值是（       ） A．90 B．89 C．100 D．109 【答案】A 【分析】根据已知中的规律可得，分数的分子与整数相同，分母是整数的平方减1，然后求出a、b，再相加即可． 【详解】解：∵，，，， ∴中，b=9，a=92-1=80， ∴a+b+1=80+9+1=90． 故选：A． 【点睛】对数字变化规律的考查，比较简单，观察出加数的分子、分母与整数加数的关系是解题的关键． 5．（2022·湖北鄂州·七年级期末）如图所示的数表由1开始的连续自然数组成，观察其规律： 则第n行各数之和是（        ） A．2n2＋1 B．n2-n＋1 C．(2n-1)(n2-n＋1) D．(2n＋1)(n2-n＋1) 【答案】C 【分析】根据题意可得每行的数的和等于每行数的个数与每行中间的数的乘积，且每行的第一个数为，最后一个数为，每行数的个数为，从而得到中间的数为，即可求解． 【详解】解：第1行的和为1；有1个数； 第2行的和为：；有3=（2×2-1）个数； 第3行的和为：，有5=（2×2-1）个数； 第4行的和为：，有7=（4×2-1）个数； 第5行的和为：，有9=（5×2-1）个数； ……， 由此发现，每行的数的和等于每行数的个数与每行中间的数的乘积，且每行的第一个数为，最后一个数为，每行数的个数为， ∴中间的数为， ∴第n行各数之和是．故选：C 【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 6．（2022·山东淄博·期末）观察下列等式： ； ； ； ； ； 根据以上等式总结规律并计算，则______． 【答案】255 【分析】根据所给出的等式找到规律，再利用式子的规律进行逆用即可求解． 【详解】解：由给出等式可知，， ∴ 故答案为：255． 【点睛】本题考查数字的变化规律，能够根据题中所给式子探索出式子的规律是解题的关键． 题型4：图形的规律（一次类） 1．（2022·山东威海·期末）用大小相同的棋子按如下规律摆放图形，第2022个图形的棋子数为（   ） A．6069个 B．6066个 C．6072个 D．6063个 【答案】A 【分析】根据前4个图形的棋子个数，可以得到规律第n个图形有个棋子，据此求解即可． 【详解】解：第1个图形有个棋子， 第2个图形有个棋子， 第3个图形有个棋子， 第4个图形有个棋子， ∴可知第n个图形有个棋子， ∴第2022个图形有个棋子， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形类的规律，正确理解题意找到图形之间的规律是解题的关键． 2．（2022·河南驻马店·七年级期末）下列图案是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根小木棒，图案②需15根小木棒，…，按此规律，图案⑦需小木棒的根数是（　　　） A．49 B．50 C．55 D．56 【答案】B 【分析】根据每增加一个图形，就增加根小木棒，可得图案需小木棒的根数为，就可以求得图案⑦需小木棒的根数． 【详解】解：图案需根小木棒，图案需根小木棒，图案需根小木棒， 可得图案需小木棒的根数为， 图案⑦需小木棒的根数是：，故B正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了利用图形进行规律归纳的能力，关键是能通过观察、猜想、验证，归纳总结出其中的规律． 3．（2022·四川广安·七年级期末）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第1个图形除外），则第2021个图形中，黑色正方形的数量共有（       ）个 A．3031 B．3032 C．3033 D．3034 【答案】B 【分析】根据图形的变化规律归纳出第n个图形中黑色正方形的数量即可． 【详解】解：根据图形变化规律可知： 第1个图形中黑色正方形的数量为2， 第2个图形中黑色正方形的数量为3， 第3个图形中黑色正方形的数量为5， 第4个图形中黑色正方形的数量为6， …… 当n为奇数时，黑色正方形的个数为， 当n为偶数时，黑色正方形的个数为， ∴第2021个图形中黑色正方形的数量是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，归纳出第n个图形中黑色正方形的数量是解题的关键． 4．（2022·河南南阳·七年级期末）如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案，依此规律继续摆下去，若第n个图案中白色纸片的个数是1564，则n的值为（       ） A．520 B．521 C．523 D．524 【答案】B 【分析】根据题目中的图形，可以发现白色纸片个数的变化规律，然后根据第n个图案中白色纸片的个数是1564，即可求得n的值． 【详解】解：由图可得， 第1个图案中白色纸片的个数为：1+1×3＝4， 第2个图案中白色纸片的个数为：1+2×3＝7， 第3个图案中白色纸片的个数为：1+3×3＝10， …， 第n个图案中白色纸片的个数为（3n+1）， 令3n+1＝1564， 解得，n＝521． 故选：B． 【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中白色纸片的变化规律，利用数形结合的思想解答． 5．（2022·重庆荣昌·七年级期末）某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，图②共用13个●，图③共用16个●，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是（　　） A．22 B．25 C．28 D．32 【答案】B 【分析】根据题意可得图①共用10个●，图②共用13=（10+3）个●，图③共用16=（10+3×2）个●，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得：图①共用10个●， 图②共用13=（10+3）个●， 图③共用16=（10+3×2）个●，……， 由此发现，第n个图共用●的个数是10+3（n-1）， ∴第⑥个图共用●的个数是10+3×5=25． 故选B 【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 6．（2022·河北沧州·七年级期末）如图所示的图案是用长度相同的木条按一定规律摆成的.摆第1个图案需8根木条，摆第2个图案需15根木条，摆第3个图案需22根木条，…，按此规律摆第个图案需要木条(     ) A．根 B．根 C．根 D．根 【答案】B 【分析】根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得， 图案①有：1+7=8根小木棒， 图案②有：1+7×2=15根小木棒， 图案③有：1+7×3=22根小木棒，… 则第n个图案有：（7n+1）根小木棒， 故选：B． 【点睛】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型5：图形的规律（二次类） 1．（2022·重庆一中八年级阶段练习）如图，每个图案均是由长度相等的火柴棒按一定的规律拼接而成的，第一个图案需要3根火柴棒，第二个图案需要9根火柴棒，第三个图案需要18根火柴棒，……，依据此规律，第六个图案需要的火柴棒根数为（       ） A．45 B．63 C．84 D．108 【答案】B 【分析】通过观察n＝1时，需要火柴的根数为：3×1； n＝2时，需要火柴的根数为：3×（1+2）； n＝3时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3）； 得到第n个图形需要火柴数为3×（1+2+3+…+n），按规律求解即可． 【详解】解：n＝1时，有1个三角形，需要火柴的根数为：3＝3×1； n＝2时，需要火柴的根数为：9＝3×（1+2）； n＝3时，需要火柴的根数为：18＝3×（1+2+3）； …… n＝6时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3+4+5+6）＝63． 故选：B． 【点睛】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，本题的关键是每个图形的火柴总数与图形序号数的关系． 2．（2022·重庆一中七年级期末）如图，把黑色小圆圈按照如图所示的规律排列，其中第①个图形中有3个黑色小圆圈，第②个图形中有8个黑色小圆圈，第③个图形中有15个黑色小圆圈，…，按照此规律，第⑦个图形中黑色小圆圈的个数为（　　） A．63 B．64 C．80 D．81 【答案】A 【分析】仔细观察图形变化，找到图形变化规律，利用规律求解． 【详解】解：第①个图形中一共有1+2＝3个小圆圈， 第②个图形中一共有2+3×2＝8个小圆圈， 第③个图形中一共有3+4×3＝15个小圆圈， …， 按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数是7+8×7＝63， 故选：A． 【点睛】考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到进一步解题的规律，难度不大． 3．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）下图是同样大小一些瓢虫按照一定规律爬行，第1个图有3个瓢虫，第2个图有8只瓢虫，第3个图形有15只瓢虫，…，第8个图形的瓢虫个数为（       ） A．80 B．79 C．70 D．63 【答案】A 【分析】由图形得出第n个图形中瓢虫个数为n