第三章 一元一次方程（重点难点易错点查漏补缺集合）（解析版）.docx

第三章 一元一次方程（难点易错点考点锦集）解析. 1．（2020·全国课时练习）一件服装的标价为300元,打八折销售后可获利60元,则该件服装的成本价是_________元. 【答案】180 解：设这件服装的成本价为x元， x(1+20％)=300×0.8 解得x=200. 2．（2020·全国课时练习）某商品的进价为每件100元，按标价打八折售出后每件可获利20元，则该商品的标价为每件____元. 【答案】150 设该商品的标价为每件x元，由题意得：80%x﹣100=20，解得：x=150， 3．（2020·平江县南江中学初三二模）某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100%，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的10%，则该药品现在降价的幅度是_____%． 【答案】45． 解：设进价为a，则提价后售价为a（1+100%）＝2a，现在的降价幅度为x%，根据题意得： 2a（1﹣x%）＝a（1+10%）， 解得：x＝45． 4．（2019·昆明·云南师大附中初一期中）已知是关于的一元一次方程，则的值为_______． 【答案】 【详解】 由一元一次方程的特点得 ， 解得：m＝−2． 5．（2020·全国单元测试）已知是方程的解，那么________． 【答案】 根据题意将代入方程得： 解得： 6．（2020·全国初一课时练习）关于的方程如果是一元一次方程，则其解为_____． 【答案】或或x=-3． 解：关于的方程如果是一元一次方程， ，即或， 方程为或， 解得：或， 当2m-1=0，即m=时， 方程为 解得：x=-3， 故答案为x=2或x=-2或x=-3． 7．（2018·全国初一单元测试）当m=________________时，关于x的方程（m3）x22mx+1=0是一元一次方程. 【答案】3 解:由关于x的方程（m-3）x2-2mx+1=0是一元一次方程，得 m-3=0. 解得m=3. 8．（2020·广东深圳·初三零模）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3h，若静水时船速为26km/h，水速为2km/h，则A港和B港相距_____km． 【答案】504． 解：设A港与B港相距xkm， 根据题意得： ， 解得：x=504， 则A港与B港相距504km． 9．（2019·河北海港·初一开学考试）某通信公司的移动电话计费标准每分钟降低a元后，再下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原来收费标准每分钟是_____元． 【答案】（a+b）． 解：∵下调了20%的收费标准是每分钟b元， ∴第一次下调后的价格为b÷(1−20%)=b×=b， ∴原收费标准是每分钟（a+b）元． 10．（2018·江苏洪泽·初一期末）幼儿园阿姨给x个小朋友分糖果，如果每人分4颗则少13颗；如果每人分3颗则多15颗，根据题意可列方程为______． 【答案】4x﹣13＝3x+15 根据两种分配方法糖果总数相等，得 4x﹣13＝3x+15 故答案为：4x﹣13＝3x+15 11．（2018·全国初一单元测试）某人骑自行车去工厂上班，若每小时骑10km可早到6min，若每小时骑8km，就迟到6min．那他家到工厂路程是_____km． 【答案】8 设他家到工厂的路程是x千米 根据题意可得： 解得：x=8 12．（2018·江苏新吴·初一期末）若a2﹣3b＝4，则3b﹣a2+2018＝______． 【答案】2014 3b﹣a2+2018＝-（a2﹣3b）+2018=-4+2018=2014 13．（2019·上海市川沙中学南校初一月考）代数式x2+x+3的值为7，则代数式﹣3的值为_____． 【答案】-2 解：∵x2+x+3=7， ∴x2+x=4， 则原式=(x2+x)−3=1−3=-2. 14．（2018·安徽初一期中）已知x﹣2y+3＝8，那么整式2x﹣4y﹣2的值是_____． 【答案】8 ∵x﹣2y+3＝8， ∴x﹣2y＝5， ∴原式＝2（x﹣2y）﹣2＝10﹣2＝8． 故答案为：8． 15．（2018·河南孟津·初一期末）若多项式m2﹣2m的值为2，则多项式2m2﹣4m﹣1的值为_____． 【答案】3 解：由题意得：m2﹣2m=2， ∴2m2﹣4m﹣1=2（m2﹣2m）-1=2×2-1=3 16．（2019·吉林农安·初一月考）现定义某种运算“☆”，对给定的两个有理数a，b，有a☆b＝2a﹣b．若☆2＝4，则x的值为_____． 【答案】﹣5或7 设||=m， 则m☆2=4， 根据题意得： 2m-2=4， 解得：m=3， 则||=3， 即=3或=-3， 解得：x=-5或7， 17．（2019·福建省永春第三中学初一月考）已知a、b、c、d为有理数，现规定一种新运算，如那么当时，则x的值为_______. 【答案】-3 解：根据题意知2×7-4（x+1）=22， 解得：x=-3， 18．（2020·东安县舜德学校初一期中）小明今年的年龄是13岁，小华的年龄的3倍比小明的2倍多10岁，如果设小华的年龄为x岁，那么可以得到方程：_____． 【答案】3x﹣2×13=10． 【详解】 设小华的年龄为x岁，由题意可得：3x﹣2×13=10． 故答案为：3x﹣2×13=10． 19．（2018·全国初一单元测试）学校校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两人合作，完成整个工作，两人合作需要多少天_____． 【答案】2． 设两人合作需要x天， 根据题意得：16+16x+14x=1， 解得：x=2. 20．（2018·全国初一单元测试）一项工程甲单独完成要20小时，乙单独做完成12小时．现在先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做．完成整个工程一共需要多少小时？问一共需要_____小时． 【答案】 设完成整个工程一共需要x小时，整个工程量为1，根据题意得： 解得：x=. 21．（2018·全国初一单元测试）做一批零件，如果每天做 个，将比每天做 个提前 天完成．若设需要做 个零件，则列方程得________________． 【答案】 设需要做 个零件，根据题意得： 22．（2018·全国初一单元测试）一项工程，甲单独完成要10天，乙单独完成要15天，则由甲先做5天，然后甲、乙合做余下的部分还要_____天完成． 【答案】3． 设甲、乙合做余下的部分要x天才能完成， 根据题意得5⋅110+x⋅(110+115)=1， 解得x=3(天). 23．（2020·辽宁朝阳·初三二模）甲列车从A地开往B地，速度是60km/h，乙列车同时从B地开往A地，速度是90km/h．已知AB两地相距200km，则两车相遇的地方离A地_____km． 【答案】80 设两车相遇的时间为x小时， 根据题意得：（60+90）x=200， 解得：x=， ∴60x=60×=80． 故两车相遇的地方离A地80km． 24．（2019·浙江嘉兴·初一月考）甲乙两人分别从两地出发，相向而行．已知甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，两地相距20千米，若甲先出发1小时，则乙出发__________小时后与甲相遇．（用含，的代数式表示） 【答案】 解：设乙出发后x小时与甲相遇，相遇时，甲运动了（x+1）小时，甲的速度为v1千米/时，乙的速度为v2千米/时，由题意得， v1•（x+1）+v2x=20， 解得：． 故答案为：. 25．（2018·全国初一单元测试）新华书店举行购书优惠活动 ①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠 ②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折； ③一次性购书200元以上一律打七折 小丽在这次活动中，两次购书总共付款240.87元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是_____元． 【答案】260.4或310.8 设小丽第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元， 根据题意得：当,即时， 解得：x=60.2175(舍去)； 当,即时，x+0.9×3x=240.87， 解得：x=65.1， ∴x+3x=260.4； 当3x>200且,即时，x+0.7×3x=240.87， 解得：x=77.7， ∴x+3x=310.8； 当x>100时，0.9x+0.7×3x=240.87， 解得：x=80.29(舍去). 故答案为：260.4或310.8 26．（2019·山东滨州·）为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球，乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折． 求每套队服和每个足球的价格是多少？ 若城区四校联合购买100套队服和个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； 在的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 【答案】(1) 每套队服150元，每个足球100元；(2) 到甲商场购买所花的费用为：100a+14000，到乙商场购买所花的费用为： 80a+15000；(3)购买的足球数等于50个时，则在两家商场购买一样合算；购买的足球数多于50个时，则到乙商场购买合算；购买的足球数少于50个时，则到甲商场购买合算. 解：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，根据题意得 2（x+50）=3x， 解得x=100， x+50=150． 答：每套队服150元，每个足球100元； （2）到甲商场购买所花的费用为：150×100+100（a﹣）=100a+14000（元）， 到乙商场购买所花的费用为：150×100+0.8×100•a=80a+15000（元）； （3）当在两家商场购买一样合算时，100a+14000=80a+15000， 解得a=50． 所以购买的足球数等于50个时，则在两家商场购买一样合算； 购买的足球数多于50个时，则到乙商场购买合算； 购买的足球数少于50个时，则到甲商场购买合算 考点：一元一次方程的应用． 27．（2020·湖北广水·初一期末）为发展校园足球运动，某城区四校决定联合购买一批足球运动装备．市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折． （1）求每套队服和每个足球的价格是多少元； （2）若城区四校联合购买100套队服和a（a＞10）个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花发费用； （3）在（2）的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 解：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元． 根据题意得 2（x+50）＝3x． 解得 x＝100．x+50＝150． 答：每套队服150元，每个足球100元． （2）到甲商场购买所花的费用为：100a+14000（元）； 到乙商场购买所花的费用为：80a+15000（元）； （3）由100a+14000＝80a+15000， 得：a＝50，所以： ①当a＝50时，两家花费一样；②当a＜50时，到甲处购买更合算；③当a＞50时，到乙处购买更合算． 28．（2020·河南内乡·初一期中）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： 求小明原计划购买文具袋多少个？ 学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ 解：设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了个， 由题意得：． 解得：； 答：小明原计划购买文具袋17个； 设小明购买了钢笔y支，则购买签字笔支， 由题意得：， 解得：， 则：． 答：小明购买了钢笔20支，签字笔30支． 29．（2018·武汉市卓刀泉中学初一月考）如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足＋＋（c－10）2＝0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b、c的值； （2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； （3）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2=0，∴a+24=0，b+10=0，c﹣10=0，解得：a=﹣24，b=﹣10，c=10； （2）点P从A点以1个单位每秒向C运动，∴P：－24＋t，∴AP＝t，BP＝， ∴t＝2 ∴t=28或； （3）当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，3t+4=14+t，解得t=5； 当P点在Q点左侧时，且Q点追上P点后，3t﹣4=14+t，解得t=9； 当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+t+4+3t﹣34=34，t=12.5； 当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+t﹣4+3t﹣34=34，解得t=14.5，综上所述：当Q点开始运动后，第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4． 30．（2019·河南梁园·初二期末）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 解：（1）设乙队单独完成需x天． 根据题意，得：． 解这个方程得：x=90． 经检验，x=90是原方程的解． ∴乙队单独完成需90天． （2）设甲、乙合作完成需y天，则有， 解得，y=36； ①甲单独完成需付工程款为：60×3.5=210（万元）． ②乙单独完成超过计划天数不符题意， ③甲、乙合作完成需付工程款为：36×（3.5+2）=198（万元）． 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱． 31．（2019·新疆天山·乌鲁木齐市第六十五中学初一期中）已知某轮船顺水航行3小时，逆水航行2小时， （1）设轮船在静水中前进的速度是m千米/时，水流的速度是a千米/时，则轮船共航行多少千米？ （2）当轮船在静水中前进的速度是80千米/时，水流的速度是3千米/时，则轮船共航行多少千米？ 【答案】千米；403千米 （1）轮船共航行路程为：（m+a）×3+（m-a）×2=（5m+a）千米， （2）把m=80，a=3代入（1）得到的式子得：5×80+3=403千米． 答：轮船共航行403千米． 32．（2020·江门市蓬江区荷塘中学初一期中）小亮房间窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同） （1）用代数式表示窗户能射进阳光的面积是　 　．（结果保留π） （2）当，b＝1时，求窗户能射进阳光的面积是多少？（取π≈3） （3）小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大？如果更大，那么大多少？（结果保留π） 解：（1） （2）当时， （3）如图2，窗户能射进阳光的面积＝ ∵ ∴ ∴此时，窗户能射进阳光的面积更大， ∵ ∴此时，窗户能射进阳光的面积比原来大 33．（2018·全国初一单元测试）如图是一个机器零件的断面图，请仔细观察，解答下列问题： (1)写出图中断面的面积（阴影部分）的代数式； (2)当x=2,y=2.5时，求阴影部分的面积. 解：(1)断面的面积的代数式为：3x4y−3(2x)=12xy−6x; (2)当x=2,y=2.5时，12xy−6x=12×2×2.5−6×2=48. 所以阴影部分的面积为48. 34．（2019·吉林农安·初一月考）已知关于x的方程3x﹣5+a=bx+1，问当a、b取何值时． （1）方程有唯一解；（2）方程有无数解；（3）方程无解． 【详解】 方程整理得：（b﹣3）x=a﹣6， （1）由方程有唯一解，得到b﹣3≠0，即b≠3； （2）由方程有无数解，得到b﹣3=0，a﹣6=0，即a=6，b=3； （3）由方程无解，得到b﹣3=0，a﹣6≠0，即a≠6，b=3． 35．（2018·大连市实验中学初一期末）已知A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，已知甲车速度为115千米/时，乙车速度为85千米/时， （1）两车同向而行，快车在后，求经过几小时快车追上慢车？ （2）两车相向而行，求经过几小时两车相距50千米？ 解：（1）设求经过x小时快车追上慢车. 115x-85x=450 解得x=15 答：经过15小时快车追上慢车 （2）求经过a小时两车相距50千米. 两种情况：①相遇前两车相距50千米，列方程为：115a+85a+50=450 解得a=2 ②相遇后两车相距50千米，列方程为：115a+85a-50=450解得a=2.5 答：经过2或2.5小时两车相距50千米. 36．（2020·沭阳县怀文中学初一期末）如图，A，B两地相距450千米，两地之间有一个加油站O，且AO＝270千米，一辆轿车从A地出发，以每小时90千米的速度开往B地，一辆客车从B地出发，以每小时60千米的速度开往A地，两车同时出发，设出发时间为t小时． （1）经过几小时两车相遇？ （2）当出发2小时时，轿车和客车分别距离加油站O多远？ （3）经过几小时，两车相距50千米？ 【详解】 （1）根据题意，得：90t+60t=450，解得：t=3． 答：经过3小时两车相遇． （2）270﹣90×2=90（千米），180﹣60×2=60（千米）． 答：当出发2小时时，轿车距离加油站90千米、客车距离加油站60千米． （3）两车相遇前：90t+50+60t=450，解得：t=； 两车相遇后：90t﹣50+60t=450，解得：t=． 答：经过小时或小时两车相距50千米． 37．（2018·全国初一单元测试）已知关于x的方程m+＝4的解是关于x的方程的解的2倍，求m的值． 【详解】 解方程m+＝4得：x＝12﹣3m， 解方程得：x＝m﹣6， 根据题意得： 2(m﹣6)＝12﹣3m， 解得：m＝0． 38．（2018·江苏江都·初一期末）一家商店因换季将某种服装打折销售，每件服装如果按标价的4折出售将亏40元，而按标价8折出售将赚40元．问： （1）每件服装的标价是多少元？ （2）每件服装的成本是多少元？ （3）为了保证不亏损，最多可以打几折？ 【详解】 （1）设每件服装的标价是x元， 根据题意得：0.4x+40=0.8x﹣40， 解得：x=200． 答：每件服装的标价是200元． （2）∵x=200， ∴0.4x+40=0.4×200+40=120． 答：每件服装的成本是120元． （3）设可以打y折， 根据题意得：200×﹣120≥0， 解得：y≥6． 答：为了保证不亏损，最多可以打6折． 39．（2018·湖北老河口·初一期末）甲车间有32人，乙车间有28人，现从乙车间抽调部分人到甲车间，请用列方程的方法解答下列问题： （1）调人后甲车间人数是乙车间人数的2倍，求抽调的人数； （2）若每人每天能加工A零件300个或B零件140个，3个A零件和一个B零件刚好配成一套，甲车间负责加工A零件，乙车间负责加工B零件，为了使每天加工的零件刚好完全配套，求抽调的人数． 【详解】 解：（1）设抽调了x人， 根据题意，得32+x＝2（28﹣x）． 解这个方程，得x＝8． 答：抽调了8人． （2）设抽调了y 人， 根据题意，得300（32+y）＝3×140（28﹣y ）． 解这个方程，得x＝3． 答：抽调了3人． 40．（2019·全国初一课时练习）某车间加工机轴和轴承，已知一个工人平均每天可以加工15根机轴或10个轴承，1根机轴和2个轴承配成一套，现在该车间共有80名工人，则应该分配多少工人加工机轴，才能使每天加工的机轴和轴承配套？ 【详解】 设x个工人加工机轴,则(80−x)个人加工轴承，根据题意可得： 2×15x=10(80−x) 解得：x=20， 故80−20=60(人). 故答案为：20个工人加工机轴，则60个人加工轴承.