专题09 几何中种动角问题的两种考法（解析版）（人教版）.docx

专题09 几何中动角问题的两种考法 类型一、判断角的数量之间的关系 例．如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图①，若，求的度数； （2）在图①，若，直接写出的度数_________（用含a的代数式表示）； （3）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置． ①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在的内部有一条射线，满足，试确定与的度数之间的关系，说明理由． 【答案】（1）14°；（2）；（3）①∠AOC＝2∠DOE；（2）2∠DOE−∠AOF＝90° 【详解】解：（1）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝28°， ∴∠BOC＝180°−∠AOC＝152°，∠COE＝∠BOC，∠COD＝90°． ∴∠COE＝76°，∠DOE＝∠COD−∠COE＝90°−76°＝14°．即∠DOE＝14°； （2）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝a， ∴∠DOE＝90°−＝．故答案是：； （3）①∠AOC＝2∠DOE． 理由：∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE． ∵∠COD是直角，∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴∠DOE＋∠COE＝90°，∠AOC＋2∠COE＝180°． ∴∠AOC＋2（90°−∠DOE）＝180°． 化简，得∠AOC＝2∠DOE； ②2∠DOE−∠AOF＝90°． 理由：∵， ∴2∠AOF＋∠BOE＝（∠AOC−∠AOF）， ∴2∠AOF＋∠BOE＝∠AOC−∠AOF． 又∵∠AOC＝2∠DOE， ∴∠AOF＝∠DOE−∠BOE， ∴∠AOF＝∠DOB． ∵∠DOB＋∠BOC＝90°，∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝2∠DOE． ∴∠AOF＋180°−∠AOC＝90°． ∴∠AOF＋180°−2∠DOE＝90°． 化简，得2∠DOE−∠AOF＝90°． 【变式训练1】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC． (1)如图，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是______；（直接写出答案） (2)将（1）中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角”，猜想∠DOE与∠AOC的关系，并说明理由； (3)若∠AOC是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系．（不用写探索过程，将结论直接写在你画的图的下面） 【答案】(1)60°；(2)，理由见解析 (3)∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90° 【解析】(1)解：∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°， ∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE=30°， ∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD-∠COE=60°，故答案为：60° (2)解： ，理由如下： ∵∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-∠AOC ∵OE平分∠BOC，∴ ∵∠COD=90°，∴ (3)：如图3-1所示，当OD在∠AOB内部时， ∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOE=2∠COE， ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-∠COE， ∴∠AOC+2∠DOE=90°+2∠COE+180°-2∠COE=270°； 如图3-2所示，当OD在∠AOB外部时， 同理可以求出∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD+∠COE=90°+∠COE， ∴2∠DOE-∠AOC= 180°+2∠COE-90°-2∠COE =90°； 如图3-3所示，当OD在∠AOB外部时， 同理可以求出∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°+∠COE， ∴∠AOC+2∠DOE=270°-2∠COE+180°+2∠COE=450°； 如图3-4所示，当OD在△AOB外部时， 同理可以求出∠AOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°-∠COE，∴∠AOC-2∠DOE=90°； 综上所述，∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°． 【变式训练2】如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：） （1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则________； （2）如图②，将直角三角板DOE转到如图位置，当OC恰好平分时，求的度数； （3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在的内部，直接写出和的数量关系_________． 【答案】（1）20；（2）25°；（3）∠COE-∠BOD=20° 【详解】解：（1）如图①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，故答案为：20； （2）如图②，∵OC平分∠EOD，∠DOE=90°，∴∠COD=∠DOE=45°， ∵∠BOC=70°，∴∠BOD=∠BOC-∠COD=25°； （3）∠COE-∠BOD=20°， 理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°， ∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD=∠COE-∠BOD=90°-70°=20°， 即∠COE-∠BOD=20°． 【变式训练3】已知，，，分别平分，． (1)如图1，当，重合时， 度； (2)若将的从图1的位置绕点顺时针旋转，旋转角，满足且． ①如图2，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由； ②在旋转过程中，请用等式表示与之间的数量关系，并直接写出答案． 【答案】(1)；(2)①；②时，；时， 【解析】(1)，重合， ，， 平分，平分， ，， ； (2)①；理由如下： 平分，平分， ，， ， ； ②由①得：，， 当时，如图2所示： ， ， ，∴ 当时，如图3所示： ， ， ； ∴ 综上所述，时，；时， 【变式训练4】如图，已知，将一个直角三角形纸片()的一个顶点放在点处，现将三角形纸片绕点任意转动，平分斜边与的夹角，平分. （1）将三角形纸片绕点转动(三角形纸片始终保持在的内部)，若，则_______； （2）将三角形纸片绕点转动(三角形纸片始终保持在的内部)，若射线恰好平分，若，求的度数; （3）将三角形纸片绕点从与重合位置逆时针转到与重合的位置，猜想在转动过程中和的数量关系？并说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【详解】解：（1）∵平分斜边与的夹角，平分． ∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD ∴设 ∴， ∵ ∴，∴，故答案为: （2）∵，∴设 ∵射线恰好平方，∴ ∴ ∵平分斜边与的夹角，平分．∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD ∴ ，∴ ∵，∴，∴ (3) ,证明如下： 当OC与OA重合时，设∠COD=x,则 ∵ON平分∠BOD ∴ ∴ ，∴ 当OC在OA的左侧时 设∠AOD=a，∠AOC=b，则∠BOD=∠AOB-∠AOD=150°-a，∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b ∵ON平分∠BOD，∴ ∵OM平分∠AOC，∴ ∴∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON 当OD与OA重合时，∵ON平分∠AOB，∴ ∵OM平分∠AOC，∴ ，∴ 综上所述 类型二、定值问题 例．已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点，， （1）如图1，将三角尺绕点逆时针方向转动，当恰好平分时，求的度数； （2）如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角尺在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 【答案】（1）；（2）不变． 【详解】解：（1）平分，， ；                      图1                                                                   图2 （2）不变．平分，平分 ， 【变式训练1】如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均小于平角） （1）当t=2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；∠MOC的度数为 （2）当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON-60°，试求出t的值； （3）当0＜t＜6时，探究的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？ 【答案】（1）144°，114°，60°；（2）t的值为秒或10秒；（3）当0＜t＜时，的值不是定值；当＜t＜6时，的值是3． 【详解】（1）由题意得：∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°， ∠BON=∠BOD+∠DON=90°+24°=114°，∠MOC=∠BOC-∠BOM=90°-2×15°=60°， 故答案为：144°，114°，60°； （2）当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s），当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s） ①如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t° 由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（90-12t）-60， 解得t=，  ②如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°， 由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10，综上，t的值为秒或10秒； （3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t+90+12t=180，解得t=， ①如图所示，当0＜t＜时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°， ∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°， ∴（不是定值）， ②如图所示，当＜t＜6时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°， ∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°， ∴=3（定值）， 综上所述，当0＜t＜时，的值不是定值；当＜t＜6时，的值是3． 【变式训练2】已知将一副三角板（）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上．将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置． （1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，_______度；如图2，若要恰好平分，则_______度； （2）如图3，当三角板摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角板在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． （3）当三角板从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线平分、射线平分（），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a在什么范围内时的度数是多少）． 【答案】（1）60，75；（2），理由见详解；（3）①当时，；②当时，或120°，③当时，；④当时，或60°；⑤当时， 【详解】解：（1）由题意得：，∴， ∵恰好平分，∴，∴；故答案为60，75； （2）的度数不发生变化，理由如下： ∵射线平分，射线平分，∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）设旋转角度为，根据题意可得：， ∵射线平分，射线平分，∴， ①当时，如图所示： ∴， ②当时，即为平角，可分为： 当点M在OB上，如图所示： ∴， ∴； 当点M在BO的延长线时，如图所示： ∴； ③当时，如图所示： ∴， ∴，解得：， ∴； ④当时，则，如图所示： ∴当ON平分在∠BOD的左边时，则，当ON平分在∠BOD的右边时，则； ⑤当时，如图所示： ∴， ∴． 类型三、求值问题 例.如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．） （1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）． （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？ （3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果） 【答案】（1），5；（2），；（3）经过秒平分 【解析】（1），∵，∴ ∵平分，，∴，∴ ∴，解得：秒 （2）度，∵，平分，∴ ∴，∴解得：秒 （3）如图： ∵， 由题可设为，为， ∴ ∵，， 解得：秒 答：经过秒平分． 【变式训练1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． （1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝　 　；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝　 　； （2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由； （3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD＝α（0°＜α＜90°） ①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由． ②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE＝21°时，转动了多少秒？ 【答案】（1）∠ACB＝145°；∠DCE＝40°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互补，理由见解析；（3）①能；理由见解析，α＝54°；②23秒 【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°． ∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠ACB＝140°，∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°． 故答案为：145°，40°； （2）∠ACB+∠DCE＝180°或互补，理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180． ∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补． （3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，∴设∠ACB＝4x，∠DCE＝x， ∵∠ACB+∠DCE＝180°，∴4x+x＝180°解得：x＝36°，∴α＝90°﹣36°＝54°； ②设当∠DCE＝21°时，转动了t秒，∵∠BCD+∠DCE＝90°，∴3t+21＝90，t＝23°， 答：当∠DCE＝21°时，转动了23秒． 【变式训练2】如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，，．（本题所涉及的角都是小于180°的角） (1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空： ①当，时，______，______，______； ②______（用含有或的代数式表示）． (2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部： ①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______； ②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______； （∠MON的度数用含有或的代数式表示） (3)如图（4），当，时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，∠MON的度数是40°？ 【答案】(1)；(2)，；(3)分钟时，∠MON的度数是40° 【解析】(1)① OM平分∠BOC，ON平分∠AOC， 当，时，，， ②，故答案为： (2)①OM平分∠POB，ON平分∠POA， ②OM平分∠QOB，ON平分∠QOA， 故答案为：， (3)根据题意 OM平分∠POQ，，如图，当在的外部时， MON的度数是40° ON平分∠POA，，，则旋转了 分，即分钟时，∠MON的度数是40° 如图，在的内部时， ，即， 此情况不存在，综上所述，分钟时，∠MON的度数是40° 【变式训练3】如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为． （1）用含t的代数式表示：_______，_______． （2）在运动过程中，当时，求t的值． （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得直线平分由射线、射线、射线中的任意两条射线组成的角（大于而小于）？ 【答案】（1），；（2）当时，或40或80；（3）存在，当直线平分由射线、射线、射线中的任意两条射线组成的角时，或36或54或72． 【解析】（1）由题意得：射线的运动路程为，射线的运动路程为，∴， 当时，，当时，， ∴；故答案为，； （2）由题意可得射线与射线相遇的时间为：，解得：， ∴当射线与射线相遇前，时，如图所示： ∴，解得：， 当射线与射线相遇后，且射线还没有过直线时，，如图所示： ，解得：， 当射线过了直线时，，如图所示： ，解得：， 综上所述：当时，或40或80； （3）存在，理由如下： 由，，，则可分： ①若直线平分时，如图所示： ∴，，∴，解得：； 若直线平分时，如图所示： ∴，∴，解得：； ②若直线平分时，如图所示： ∴，∴，解得：； 若直线平分时，如图所示： ∴，， ∴，解得：； 综上所述：当直线平分由射线、射线、射线中的任意两条射线组成的角时，或36或54或72． 课后训练 1．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在的内部，且恰好平分．问：此时直线ON是否平分？请说明理由． (2)将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON恰好平分，则n的值为______（点接写结果） (3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在的内部时，的度数是多少？ 【答案】(1)平分，理由见解析；(2)10或40；(3)30° 【解析】(1)解：（1）直线ON平分∠AOC．理由： 设ON的反向延长线为OD， ∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB， 又∵OM⊥ON，∴∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝∠BON， 又∵∠AOD＝∠BON（对顶角相等）， ∴∠COD＝∠AOD，∴OD平分∠AOC， 即直线ON平分∠AOC； (2)解：由（1）得，∠BOM＝60°时，直线ON恰好平分， 即旋转60°时，ON平分∠AOC， 再旋转180°即旋转240°时，ON平分∠AOC， 由题意得，6n＝60°或6n＝240°， ∴n＝10或40； 故答案为：10或40； (3)解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON， ∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°． 2．如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，∠BOC＝10°，以O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合．射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1度/秒，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止，射线OP旋转至与射线OE重合时停止），两条射线同时开始旋转（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）． (1)直接写出射线OP停止运动时的时间． (2)当射线OP平分∠AOC时，直接写山它的旋转时间． (3)若射线OQ的转速为3度/秒，当∠POQ＝70°时，直接写出射线OP的旋转时间． (4)若∠POA＝2∠POB时，射线OQ旋转到的位置恰好将∠AOB分成度数比为1：2的两个角，直接写出射线OQ的旋转速度． 【答案】(1)180s；(2)55s；(3)3s或70s；(4)或或或． 【解析】(1)∠EOF=180°，射线OP的速度为1°/s，则时间为180÷1=180s； (2)∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+10°=70°， 当射线OP平分时∠AOC，∠AOP=∠POC=∠AOC=35°， 此时OP旋转的度数为：∠AOF+∠AOP=20°+35°=55°，∴旋转的时间为：55÷1=55s． (3)∠FOC=∠FOA+∠AOB+∠BOC=90°， 设射线OP旋转的时间为t秒， 由题意可得：t+3t=90+70或t+3t=90-70，解得：t=5或t=40， 射线OQ旋转至射线OF重合时停止， ∴.射线OQ最多旋转30秒， 当射线OQ旋转30秒与射线OF重合停止， 此时∠POQ=∠FOP=30°， 之后射线OP继续旋转， 则∠POQ=∠FOP=70°，此时t=70s， 故答案为：5s或70s． (4)①当射线OP在∠AOB内部时， ∠POA=2∠POB，∠AOB=60°， ∴∠POA=40°，∠FOP=60°， 故射线OP旋转的时间为60s， 若，则∠BOQ=40°，∠COQ=50°， ∴此时射线OQ的旋转速度为：50÷60=（°/s)， 若时，则∠BOQ=20°，∠COQ=30°， 此时射线OQ的旋转速度为30÷60=（°/s）； ②当射线OP在∠EOB内部时， ∠PDA=2∠POB，∠AOB=60°， ∠POA=120°，∠FOP=140°， 故射线OP旋转时间为140秒， 若时，则∠BOQ=40°，∠COQ=50°， ∴此时射线OQ的旋转速度为：50÷140=（°/s)， 若时，则∠BOQ=20°，∠COQ=30°， 此时旋转速度为：30÷140=（°/s)， 综上，符合条件的旋转速度为或或或． 3．已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． (1)如图1，若∠AOC=48°，求∠DOE的度数； (2)如图1，若∠AOC=α，则∠DOE的度数为 (用含有α的式子表示)； (3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (4)将图1中的∠DOC绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC=α，则∠DOE的度数为 (用含有α的式子表示)，不必说明理由． 【答案】(1)24°；(2)；(3)∠DOE=∠AOC，理由见解析；(4)180 °- 【解析】(1)∵∠AOC +∠BOC=∠AOB=180° ∴∠BOC =180°-∠AOC =180°-48° = 132° ∵OE平分∠BOC ∴∠COE =∠BOC= 66°    又∵∠COD是直角 ∴∠COD = 90° ∴∠DOE =∠COD-∠COE= 90°- 66°= 24° (2)由（1）得，