专题01 有理数及其运算 重难点题型（人教版）（解析版）.docx

专题01 有理数及其运算 重难点题型 题型1 正负数意义及应用 【解题技巧】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解. 1．（2021·南靖县城关中学七年级月考）向东运动记作“+”，向西运动记作“—”，下列说法正确的是（ ） A．－2表示向东运动了2米 B．＋2表示向西运动了2米 C．向西运动3米表示向东运动了－3米 D．向西运动5米也可以记作向西运动－5米 【答案】C 【分析】根据正负数的意义逐一进行判断即可． 【详解】A.－2表示向西运动了2米，故错误；B.＋2表示向东运动了2米，故错误； C.向西运动3米表示向东运动了－3米，故正确；D.向西运动5米也可以记作向东运动－5米，故错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查正负数的意义，掌握正负数的意义是解题的关键． 2．（2021·云南昆明市·九年级二模）2020年一季度，受新冠肺炎疫情影响，云南省外贸进出口总值466.5亿元，较上年同期下降6.3%．2021年一季度，云南省外贸进出口总值达742.1亿元，同比增长59.7%．若下降6.3%，记作，则增长59.7%应记作（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正数和负数的意义解答即可． 【详解】解：增长59.7%应记作，故选：A． 【点睛】本题考查正数和负数的意义，理解正数和负数可以表示相反意义的量是解答的关键． 3．（2020·北京初三一模）举出一个数字“”表示正负之间分界点的实际例子，如__________． 【答案】0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一） 【分析】根据数学中0表示数的意义解答即可． 【解析】在实际中，数字“0”表示正负之间分界点，如：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）． 故答案为：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了正数和负数的意义，熟练掌握既不是正数，也不是负数的0的意义是解本题的关键．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3．（2021·湖北宜昌市·中考真题）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，攀登后，气温下降__________． 【答案】12 【分析】根据题意知，气温变化量为乘以攀登高度，即可求解． 【详解】根据 “每登高气温的变化量为”知： 攀登后,气温变化量为： 降为负：所以下降12故答案为：12． 【点睛】本题考查了分析信息的能力，正负数的意义，有理数的计算，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键． 4．（2021·四川成都市·七年级期末）大米包装袋上有的标识，则下面几袋大米重量合格的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正负数的意义求出质量合格的取值范围，然后判断即可． 【详解】解：∵10-0.2=9.8，10+0.2=10.2，∴质量合格的取值范围是9.8kg～10.2kg． 所以，四个选项中只有10.2kg合格．故选：C． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 5．（2022·辽宁沈阳市·七年级期中）以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（ ） 城市 纽约 悉尼 伦敦 罗马 时差/h ﹣13 +2 ﹣8 ﹣7 A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京 B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约 C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼 D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约 【答案】A 【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】由表格，可知悉尼比北京时差为+2，所以北京时间是16点或18点，推理可得北京时间是16点， 则纽约时间为16﹣13＝3点，悉尼时间16+2＝18点，伦敦时间16﹣8＝8点，罗马时间16﹣7＝9点， 由钟表显示的时间可得对应城市为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京； 故答案为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京．故选：A． 【点睛】本题考查正负数的应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键 ． 6．（2022·渠县七年级月考）一次体育课，老师对七年级男生进行了100米赛跑的测试，以跑13秒为标准，超过标准时间用正数表示，不足标准时间用负数表示，第一小组8人的成绩如下：+0.2，－0.3，-0.4，0，0.1，－0.1，－0.5，1． （1）这8名同学实际各跑了多长时间？ （2）这个小组的达标率是多少？ 【答案】（1）这8名同学实际各跑了分别为：13.2秒，12.7秒，12.6秒，13秒，13.1秒，12.9秒，12.5秒，14秒；（2）62.5% 【分析】（1）根据已知条件直接列出算式即可． （2）根据（1）即可知达标人数，然后用达标人数除以总人数即可． 【详解】（1）根据题意13+0.2=13.2（秒）、13-0.3=12.7（秒）、13-0.4=12.6（秒）、13+0=13（秒）、13+0.1=13.1（秒）、13-0.1=12.9（秒）、13-0.5=12.5（秒）、13+1=14（秒）． 这8名同学实际各跑了分别为：13.2秒，12.7秒，12.6秒， 13秒， 13.1秒， 12.9秒， 12.5秒，14秒． （2）根据（1）可知有5人达标，所以达标率为：5÷8=0.625=62.5%．、 【点睛】本题考察了正数和负数，解题关键是理解“正”、 “负”的相对性， “正”代表超出标准时间，“负”则相反为不足标准时间． 题型2 有理数的相关概念 【方法点拨】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 1．（2021射洪县射洪中学外国语实验学校七年级月考）下列说法正确的是（ ） A．正数和负数统称为有理数 B．正整数包括自然数和零 C．零是最小的整数 D．非负数包括零和正数 【答案】D 【分析】按照有理数的分类进行选择． 【详解】解：A、正数、负数和零统称为有理数；故本选项错误； 2．（2021·河南省初一期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④不仅是有理数，而且是分数；⑤是无限不循环小数，所以不是有理数；⑥无限小数不都是有理数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（ ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】根据有理数的定义和分类，分别进行判断，即可得到答案． 【解析】解：①没有最小的整数，故错误；②有理数包括正数、0和负数，故错误； ③非负数就是正数和0，故错误；④是无理数，故错误； ⑤是无限循环小数，是有理数，故错误；⑥无限小数不都是有理数是正确的，正确； ⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数是正确的．故其中错误的说法的个数为5个．故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 3.（2021•赵县期中）下列说法中，不正确的是（　　） ①符号不同的两个数互为相反数；②所有有理数都能用数轴上的点表示 ③绝对值等于它本身的数是正数；④两数相加和一定大于任何一个加数 ⑤有理数可分为正数和负数 A．①②③⑤ B．③④ C．①③④⑤ D．①④⑤ 【分析】根据有理数的加法、相反数、绝对值判断即可． 【答案】解：①只有符号不同的两个数互为相反数，错误； ②所有有理数都能用数轴上的点表示，正确； ③绝对值等于它本身的数是非负数，错误； ④两数相加和不一定大于任何一个加数，错误 ⑤有理数可分为正数、0和负数，错误；故选：C． 【点睛】此题考查有理数的加法，关键是根据有理数的加法、相反数、绝对值解答． 4.（2021•嵊州市期中）下列说法正确的个数为（　　） （1）0是绝对值最小的有理数；（2）﹣1乘以任何数仍得这个数；（3）0除以任何数都等于0； （4）数轴上原点两侧的数互为相反数；（5）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数； （6）一对相反数的平方也互为相反数 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】利用乘方的意义，乘法法则，倒数的性质计算，判断即可． 【答案】解：（1）0是绝对值最小的有理数，这个说法正确； （2）﹣1乘以任何数仍得这个数，这个说法错误，例如﹣1乘以3得到﹣3； （3）0除以任何数都等于0，这个说法错误，例如0除以0没有意义； （4）数轴上原点两侧的数互为相反数，这个说法错误，例如﹣1和6是数轴上原点两侧的数，但不是互为相反数；（5）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数，这个说法错误，例如﹣1的平方是正数，但是﹣1的立方也是﹣1，是负数；（6）一对相反数的平方也互为相反数，这个说法错误，例如﹣2和2互为相反数，它们的平方就不互为相反数．则说法正确的个数为1个．故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5.（2021•日照期中）下列说法正确的是（　　） ①任何一个有理数的平方都是正数 ②任何一个有理数的绝对值都是非负数 ③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1 ④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0． A．①④ B．②③ C．③④ D．②④ 【分析】根据有理数的定义和特点，绝对值、相反数的定义及性质，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【答案】解：①任何一个有理数的平方都不是负数，错误； ②任何一个有理数的绝对值都是非负数，正确； ③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1或﹣1，错误 ④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0，正确；故选：D． 【点睛】此题考查有理数问题，牢固掌握正数、负数、自然数、整数、倒数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 6．（2021·山西省初一月考）数学活动课上，王老师把分别写有，5，-2，0，的五张卡片分别发给五位同学，王老师要求同学们按照卡片上数字的特征挑选2人或者3人表演节目．（1）王老师先给同学们做了范例，他说手拿卡片上数字为整数的同学表演节目，请你选出表演节目的同学；（2）如果让你来挑选，你会按什么数字特征来选择表演节目的同学？ 【答案】（1）表演节目的同学是手上卡片分别写有-2，0，5的三位同学；（2）详见解析（答案不唯一） 【分析】（1）根据整数的定义即可确定是哪些同学表演节目； （2）根据2人或者3人表演节目的要求确定数字的分类标准即可.答案不唯一. 【解析】解：（1）整数有5，-2，0， 所以表演节目的同学是手上卡片分别写有5，-2，0的三位同学，即三位同学． （2）（答案不唯一） 例如：请卡片上数字为分数的同学表演节目，这样就是A、E两位同学表演节目； 或者卡片上数字为负数的同学表演节目，这样就是A、C两位同学表演节目. 【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类标准是解题关键.有理数分为整数和分数，也可以分为正有理数、负有理数、0；正有理数可分为正整数和正分数，负有理数可分为负整数和负分数. B、零既不是正整数，也不是负整数；故本选项错误； C、零是最小是自然数，负整数比零小；故本选项错误； D、非负数包括零和正数；故本选项正确；故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的分类、正数和负数；注意0是整数，但不是最小的整数． 题型3 数集问题 性质：有理数的分类。 注：数集关系中有包含关系时，数的分类不可重复 解题技巧：此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合关系，多会出现有重合甚至包含逻辑的框图。此时，先填写有重合和被包含部分的框图，再填写单一框图部分的数据。 1．（2021·宁夏银川市·七年级期末）在0，3，－2，－3.6这四个数中，是负整数的为___． 【答案】－2 【分析】根据有理数的分类判断即可． 【详解】0既不是正数，也不是负数；3是正整数；－2是负整数；－3.6是负分数；故填：－2． 【点睛】本题考查有理数的分类，属于基础题型． 2．（2021·江苏镇江市·七年级期末）下列各数：﹣1，，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，，3.14，其中有理数有_____个． 【答案】4． 【分析】根据有理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：在所列实数中，有理数有﹣1、0、、3.14，故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的概念是解题的关键． 3.（2021·重庆市璧山区正则中学七年级月考）把下列各数填在相应的集合里： 1，，，0.5，，，，0，2014，20%， 正数集合： 负数集合： 整数集合： 正分数集合： 有理数集合： 【答案】，，，，，；，，，；，，，，；，，；，，，，，，，，， 【分析】根据有理数的分类进行解答的即可得解． 【详解】解：正数集合：负数集合： 整数集合： 正分数集合： 有理数集合： 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握各类数的概念、界定范围是解题的关键． 4.（2021•郫都区校级月考）把下列各数的序号填到相应的括号中： ①﹣0.3⋅；②3.1415；③﹣10；④0.28；⑤−27；⑥18；⑦0；⑧﹣2.3；⑨213． （1）整数集合：{　 　…}； （2）负数集合：{　 　…}； （3）非正数集合：{　 　…}；（4）分数集合：{　 　…}； （5）非负整数集合：{　 　…}． 【分析】根据正数、负数、整数及分数的定义，结合所给数据进行解答即可． 【解答】解：（1）整数集合：{﹣10；18；0，213⋯}； （2）负数集合：{﹣0.3⋅；﹣10；−27；﹣2.3…}； （3）非正数集合：{﹣0.3⋅；﹣10；−27；0；﹣2.3…}； （4）分数集合：{﹣0.3⋅；3.1415；0.28；−27；﹣2.3…}； （5）非负整数集合：{18；0，213⋯}． 故答案为：（1）③⑥⑦⑨；（2）①③⑤⑧；（3）①③⑤⑦⑧；（4）①②④⑤⑧；（5）⑥⑦⑨． 【点评】本题考查了有理数的知识，关键是掌握正数、负数、整数及分数的定义，属于基础题，比较简单． 5.（2021•合川区月考）将下列各数填在相应的集合内． 5，14，﹣3，−312，0，2010，﹣35，6.2，﹣1． 正数集合{　 　 …}；负数集合{　 　 …}； 自然数集合{　 　 …}；整数集合{　 　 …}； 分数集合{　 　 …}；负分数集合{　 　 …}； 非负数集合{　 　 …}；非正整数集合{　 　 …}； 【分析】根据正数、负数、自然数、整数、分数、负分数、非负数、非正整数的定义进行判断即可． 【解答】解：正数集合{5，14，2010，6.2…}；负数集合{﹣3，−312，﹣35，﹣1…}； 自然数集合{5，0，2010…}；整数集合{5，﹣3，0，2010，﹣35，﹣1…}； 分数集合{14，−312，6.2…}；负分数集合{−312⋯}； 非负数集合{5，14，0，2010，6.2…}；非正整数集合{﹣3，0，﹣35，﹣1…}． 故答案为：5，14，2010，6.2；﹣3，−312，﹣35，﹣1；5，0，2010；5，﹣3，0，2010，﹣35，﹣1；14，−312，6.2；−312；5，14，0，2010，6.2；﹣3，0，﹣35，﹣1． 【点评】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数． 6.（2021•官渡区校级月考）将有理数﹣1，0，20，﹣1.25，134，﹣12，5分类． 【分析】按照有理数的分类解答即可． 【解答】解：如图所示： 【点评】本题考查了有理数，熟记正数、负数、整数、分数的定义是解答本题的关键． 题型4 利用数轴求两点间距离 注：距离没有方向性，所以到某点的距离为a的点一般有两个 解题技巧：根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为a，意味着这个点可以在参考点左边距离为a的位置，也可在参考点右边距离为a的位置。因此，此类题型一般有多解情况，请注意。最后根据画出的数轴，读出两点之间的距离。 1．（2021·四川广元市·九年级一模）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数，2，将点向右平移3个单位长度得到点．若，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据CO=BO可得点C表示的数为±2，据此可得求得a的数值． 【详解】解：∵CO=BO，B点表示2，∴点C表示的数为±2， ∴a=-2-3=-5或a=2-3=-1，故选：C． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 2．（2021·江苏南通市·九年级一模）如图，如果数轴上，两点之间的距离是，且点在原点左侧，那么点表示的数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可读出A为2，A，B两点之间的距离是3，且点B在原点左侧，则2﹣3即可求出． 【详解】解：由图可知A为2，∵A，B两点之间的距离是3，且点B在原点左侧， ∴2﹣3＝﹣1，即B为﹣2．故选D． 【点睛】本题考查数轴的认识及有理数的减法，会根据数轴读出数字，并掌握有理数的减法是关键． 3．（2020·浙江台州市·七年级期中）已知，点A，B，C三点都在数轴上，点A在数轴上对应的数为2，且，点C在点B的左侧，则点C在数轴对应的数为_______． 【答案】4或-6 【分析】分点B在A点左侧和右侧即可求得B点表示的数，再根据点C在B的左侧和BC之间的距离即可求得C点表示的数． 【详解】解：∵A在数轴上对应的数为2，∴B点表示的数为7或-3， 又∵，点C在点B的左侧，∴C点表示的数为4或-6．故答案为：4或-6． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离．注意在数轴上到一个定点的距离是一个常数的点有两个，这两个点关于这个定点对称． 4．（2021·湖南怀化市·中考真题）数轴上表示数5的点和原点的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上点的表示及几何意义可直接进行排除选项． 【详解】解：数轴上表示数5的点和原点的距离是；故选B． 【点睛】本题主要考查数轴上点的表示及几何意义，熟练掌握数轴上点的表示及几何意义是解题的关键． 5．（2021·浙江杭州市·七年级期末）数轴上有两点M、N，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为6，则M、N之间的距离为________． 【答案】8或4 【分析】分类讨论：E在线段MN上，E在线段MN的反向延长线上，根据线段的差，可得答案． 【详解】解：当E在线段MN上时，MN=ME+NE=2+6=8． 当E在线段MN的反向延长线上时，MN=NE-ME=6-2=4， 综上所述：MN=8或MN=4，故答案为：8或4． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，分类讨论是解题关键． 6．（2021·江苏初一课时练习）如图，将一刻度尺放在数轴上. ①若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为 1 和 5，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是 2； ②若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为 1 和 9，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是 3； ③若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为-2 和 2，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是-1； ④若刻度尺上 0cm 和 4 cm 对应数轴上的点表示的数分别为-1 和 1，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是-0.5. 上述结论中，所有正确结论的序号是 （ ） A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】首先计算出两点之间的距离为几个单位长度，再除以刻度值的长度，可知每1cm表示的单位长度是多少，再根据0cm刻度对应的数判断1cm刻度对应的数即可. 【解析】①数1和5之间有4个单位长度，则每厘米表示4÷4=1个单位长度，0cm表示数1，则1cm表示1+1=2.正确. ②数1和9之间有8个单位长度，则每厘米表示8÷4=2个单位长度，0cm表示数1，则1cm表示1+2=3.正确. ③数-2和2之间有4个单位长度，则每厘米表示4÷4=1个单位长度，0cm表示数-2，则1cm表示-2+1=-1.正确. ④数-1和1之间有2个单位长度，则每厘米表示2÷4=0.5个单位长度，0cm表示数-1，则1cm表示-1+0.5=-0.5.正确.故答案为：D. 【点睛】本题考查了数轴上两点相对位置关系，本题注意每一个单位长度代表的是实际多少厘米，再根据实际厘米数判断单位长度. 题型5 有理数的大小比较 解题技巧：（1）正数与正数比较，易于比较；（2）正数与负数比较，正数＞0＞负数；（3）负数与负数比较，绝对值大的反而小；（4）如果要比较的数比较多，建议在数轴上将每个数表示出来，在数轴上，从左至右，数值一次增大。当有字母时，且暂时无法理清大小关系，可以用特值法进行比较。 1．（2021·吉林白城市·七年级期末）比较大小： ________． 【答案】＜ 【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】∵||==，||=，而﹥，∴﹤故答案为：﹤． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较的方法是解答本题的关键． 2．（2021·山东临沂市·九年级二模）在0，1，，-1四个数中，最小的数是（ ） A．0 B．1 C． D．-1 【答案】D 【分析】根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小）比较即可． 【详解】解：，，， 在0，1，，四个数中，最小的数是．故选：D． 【点睛】本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，用到的知识点是正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小． 3．（2020·山东省中考真题）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（ ） A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】A 【分析】根据有理数大小比较方法，越靠近原点其绝对值越小，进而分析得出答案． 【解析】观察有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知， 这三个数中，实数a离原点最远，所以绝对值最大的是：a．故选：A． 【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，以及有理数大小的比较，正确掌握绝对值的意义是解题关键． 4．（202