第01章 重点突破训练：有理数及其相关概念应用（解析版）（人教版）.docx

第01章 重点突破训练：有理数及其相关概念应用 考点体系 考点1：绝对值、相反数概念的应用 典例：a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为6，求 的值． 【答案】见解析 【解析】 解：因为a、b互为相反数,所以a+b=0 因为c、d互为倒数,所以cd=1 因为m的绝对值为6,所以m=6 当m=6时，原式=6 +0-1 =5 当m=-6时，原式=-6+0-1=-7. 方法或规律点拨 解这道题时，需注意“m的绝对值为6”表示m可能是6，也可能是-6，不要漏掉某种情况. 巩固练习 1．（2019·江苏省泰州中学附属初中初一期中）如图，数轴上的两点A，B分别表示有理数a，b， （1）（用“>”或“=”或“<”填空）： a+b 0， b-a 0 （2）分别求出|a+b|与| b-a |. 【答案】（1）<，>；（2）-a-b ，b-a 【解析】解：（1）由数轴可知，且， 所以a+b<0， b-a>0； 故答案为：<；> . （2）∵a+b<0，b-a>0， ∴|a+b|=-(a+b)=-a-b， |b-a|= b-a. 2．（2019·江西省初一期末）计算：有理数a、b，c在数轴上的对应点如图，且a、b，c满足条件． （1）求a、b，c的值；（2）求的值． 【答案】（1）a=−1；b=2；c=−5；(2)10. 【解析】解:(1)由图可知，c ∵10|a|=5|b|=2|c|=10， ∴10|a|=10，即|a|=1，解得a=−1； 同理5|b|=10，|b|=2，解得b=2； 2|c|=10，即|c|=5，解得c=−5； (2)|a+b|+|b+c|+|a+c|=|−1+2|+|2−5|+|−1−5|=1+3+6=10. 3．（2019·江西省初一期中）在下列各数中，负数的个数为m个，正数的个数为n个，绝对值最大的数为k. （1）m= __________．n=__________．K=__________． （2）求的值 【答案】（1）4，3，-125；（2）-32. 【解析】解：（1）负数有-125，-，-4.5，-0.06共4个，则m=4； 正数有31，4.7，共3个，则n=3； =125，，，=，=0，=，=4.5，=0.06， 由0<0.06<<<4.5<4.7<31<125, 故绝对值最大的数为-125. 则m=4，n=3，k=-125； （2）（k-n）÷m =（-125-3）÷4=-32． 4．（2019·浙江省初一月考）若|x－2|+|y+3|+|z－5|=0计算：(1)x，y，z的值.(2)求|x|+|y|+|z|的值. 【答案】X=2 y=-3 z=5 【解析】 5．（2019·江西省初一期中）有理数x，y在数轴上对应点如图所示： （1）在数轴上表示﹣x，|y|； （2）试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接， （3）化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|． 【答案】（1）见解析；（2）﹣x＜y＜0＜|y|＜x；（3）y. 【解析】解：（1）由数轴可知x>0，y<0，则=-y，则－x，在数轴上表示为： （2）数轴上左边的数小于右边的数，则-x<y<0<<x； （3）由数轴可知x+y>0，y-x<0，=-y， 则－+=x+y+y-x-y=y. 6．（2018·河南省初一期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m到原点的距离为2，求2（a+b）+3cd-|-m|的值． 【答案】1 【解析】解：∵有理数m所表示的点到原点距离2个单位， ∴m=2或-2； 根据题意得：a+b=0，cd=1， 当m=2时，原式=1；当m=-2时，原式=1， 则原式的值为1． 7．（2019·浙江省初一月考）计算：已知|x|=，|y|=，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值． 【答案】-36. 【解析】解：∵|x|=，|y|=，且x＜y＜0， ∴x=﹣，y=﹣， ∴6÷（x﹣y）=6÷（﹣+）=﹣36． 考点2：有理数的混合计算 典例：（2019·句容市第二中学初一月考）计算 （1） ； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6）． 【答案】（1） 10 （2）16 （3）-3 （4） （5）0.75 （6） 【解析】 （1）= ； （2） ； （3） = ； （4） ； （5）= ； （6） = 方法或规律点拨 有理数的四则运算中，利用分配律往往给计算带来简便。 巩固练习 1．（2019·全国初一课时练习）找到规律是解题最重要的步骤！先观察下面的式子： ，，，…， 你发现规律了吗？下一个式子应该是： ． 利用你发现的规律，计算： . 【答案】 【解析】 下一个式子应该是：． + …+． 2．（2019·福建省厦门外国语学校初一月考）在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方． （1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方； （2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】(1)2+3+4=9， 9-6-4=-1， 9-6-2=1， 9-2-7=0， 9-4-0=5， 如图1所示： (2)-3+1-4=-6， -6+1-(-3)=-2， -2+1+4=3， 如图2所示： x=3-4-(-6)=5， y=3-1-(-6)=8， 即当x+y=5+8=13时，它能构成一个三阶幻方. 3．（2020·浠水县兰溪镇兰溪中学初一期中）王红有5张写着以下数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是　 　． （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最大，最大值是　 　． （3）从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，如：23×[1﹣（﹣2）]），请另写出一种符合要求的运算式子　 　． 【答案】（1）﹣6；（2）3；（3） [3﹣（﹣2）]2﹣1=24（答案不唯一，符合题意正确即可）. 【解析】 （1）取3，﹣2，乘积最小=﹣6， 故答案为﹣6． （2）取3，1商的最大值为3， 故答案为3． （3）[3﹣（﹣2）]2﹣1=24. 4．（2019·安陆市陈店乡初级中学初一月考）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：1－（1+）； 第2个数：2－（1+）[1+][1+]； 第3个数：3－（1+）[1+][1+][1+][1+]. … (1)分别计算这三个数的结果(直接写答案)； (2)写出第2 017个数的形式(中间部分用省略号，两端部分必须写详细)，然后推测出结果． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】(1)第1个数：；第2个数：；第3个数：. (2)第2 017个数： 2 017－ =2017- =2017- =. 5．（2019·山东省招远市金岭镇邵家初级中学初一期中）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： （1）999×（-15）； （2）999×+999×（）-999×. 【答案】(1)149985;(2)99900. 【解析】解：（1）999×（-15）=（1000-1）×（-15）=15-15000=149985; （2）999×+999×（）-999×=999×[+（）-]=999×100=99900. 6．（2019·云南省鹿阜中学初二期中）观察下列各式： ，=﹣，=﹣ （1）填空：=___________. （2）计算：+++…+． 【答案】(1) ,(2) . 【解析】解：（1）； （2）原式= =． 7．（2019·安徽省涡阳县丹城中心校初一月考）计算：−14−1−0.4÷13×−22−6； 【答案】2.6 【解析】原式=−1−0.6×3×(4−6) =−1−1.8×(−2) =﹣1+3.6 =2.6． 8．（2019·河南省初一期中）计算： （1）5×（－2）＋（－8）÷（－2）； （2）； （3）； （4）－14－（1－0×4）÷×[（－2）2－6]. 【答案】（1）-6；（2）-3；（3）37；（4）5 【解析】 (1)原式＝－10＋4＝－6； (2)原式＝×(－4)＝－8＋5＝－3； (3)原式＝－12＋40＋9＝37； (4)原式＝－1－1×3×(－2)＝－1＋6＝5. 考点3：定义新运算 典例：（2020·湖北省初一月考）现定义运算：对于任意有理数a、b，都有ab＝ab－b，如：23＝2×3－3，请根据以上定义解答下列各题： （1） 2（－3）＝___________，x（－2）＝___________； （2） 化简：[（－x）3] （－2）； （3） 若x＝3（－x），求x的值． 【答案】（1）－3，－2x＋2 ；（2）6x＋8；（3）x＝－． 【解析】 解：（1）2（－3）=2×（﹣3）+3=-6+3=-3，x（－2）=-2x+2； （2）（－x）3=-3x-3，（-3x-3）（－2）=6x+6+2=6x+8； （3），解得：x=． 方法或规律点拨 本题考查了求代数式的值和有理数的混合运算，能读懂题意是解此题的关键． 巩固练习 1．（2019·云南省鹿阜中学初一月考）若定义，其中符号“”是我们规定的一种运算符号．例如：．求：的值． 【答案】-8. 【解析】 解：根据题中的新定义得：． 2．（2019·连云港外国语学校初一期中）（概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作， 读作“2 的圈3次方”，记作，读作“-3的圈4次方”，一般地，把记作©，读作“的圈c次方”． (1)（初步探究） 直接写出计算结果：________，________， (2)关于除方，下列说法错误的是      ． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，； C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)（深入思考） 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有 理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．  ________；________； ________． Ⅱ.想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； Ⅲ.算一算：________ 【答案】【初步探究】（1） ，-8 ；（2）C；【深入思考】（1） ，，(-2)8 ；(2) ；（3）-131. 【解析】解：【初步探究】 （1） ，-8；（2）C； 【深入思考】（1） ，，(-2)8 ； (2) ； （3）122÷×- =144÷(-3)2× (-2)3-(-3)4÷33 =144÷9× (-8)-3 =-128-3=-131. 3．（2019·四川省初一期中）我们定义一种新运算：a*b=a2﹣b+ab．例如：1*3=12﹣3+1×3=1． （1）求2*（﹣3）的值． （2）求（﹣2）*[2*（﹣3）]的值． 【答案】（1）1；（2）1． 【解析】解：（1）2*（﹣3）=22﹣（﹣3）+2×（﹣3）=4+3﹣6=1； （2）（﹣2）*[2*（﹣3）]=（﹣2）*1=（﹣2）2﹣1+（﹣2）×1=4﹣1﹣2=1． 4．（2019·江苏省初一月考）定义☆运算 观察下列运算： （+3）☆（+15）＝+18（﹣14）☆（﹣7）＝+21， （﹣2）☆（+14）＝﹣16（+15）☆（﹣8）＝﹣23， 0☆（﹣15）＝+15（+13）☆0＝+13． （1）请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号_____，异号______． 特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，______． （2）计算：（+11）☆[0☆（﹣12）]＝_____． （3）若2×（2☆a）﹣1＝3a，求a的值． 【答案】（1）两数运算取正号，并把绝对值相加； 两数运算取负号，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值；（2）23 ；（3）a为3或－1. 【解析】（1）同号两数运算取正号，并把绝对值相加； 异号两数运算取负号，并把绝对值相加 等于这个数的绝对值； （2）原式=(＋11) ☆(＋12) =23 ； （3）①当a＝0时，左边＝2×2－1＝3，右边＝0，左边≠右边，所以a≠0； ②当a﹥0时，2×(2＋a)－1＝3a，解得：a＝3； ③当a﹤0时，2×[－（2＋a) ]－1＝3a，解得：a＝－1． 综上所述：a为3或－1． 5．（2018·安徽省初一期末）请观察下列定义新运算的各式： 1⊙3=1×4+3=7； 3⊙（﹣1）=3×4﹣1=11； 5⊙4=5×4+4=24； 4⊙（﹣3）=4×4﹣3=13． （1）请你归纳：a⊙b=　 　； （2）若a≠b，那么a⊙b　 　b⊙a（填“=”或“≠”）； （3）先化简，再求值：（a﹣b）⊙（2a+b），其中a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数． 【答案】（1）4a＋b；（2）≠；（3）-6. 【解析】 解：（1）由题目中的式子可得， a⊙b=4a+b， 故答案为4a+b； （2）∵a⊙b=4a+b，b⊙a=4b+a， ∴（a⊙b）-（b⊙a） =（4a+b）-（4b+a） =4a+b-4b-a =4（a-b）+（b-a）， ∵a≠b， ∴4（a-b）+（b-a）≠0， ∴（a⊙b）≠（b⊙a）， 故答案为≠； （3）(a－b)⊙(2a＋b) ＝4(a－b)＋(2a＋b) ＝4a－4b＋2a＋b＝6a－3b. 由题意a＝-1，b＝0 ∴原式＝6×（-1）－3×0＝-6. 6．（2019·四川省初一单元测试）我们规定“※”是一种数学运算符号，两数A、B通过“※”运算是A+2×2−B,即A※B=A+2×2−B， 例如：3※5=3+2×2−5=5 （1）求：7※9的值； （2）求：（7※9）※（-2）的值. 【答案】（1）9;（2）24. 【解析】 解：（1）7※9=（7+2）×2-9=9×2-9=9; （2）根据题中的新定义得：原式=9※（-2）=（9+2）×2-(-2)=11×2+2=24. 7．（2019·全国初一单元测试）规定一种新的运算：a★b=a×b﹣a﹣b2+1，例如3★（﹣4）=3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）2+1，请用上述规定计算下面各式： （1）2★8； （2）（﹣7）★[5★（﹣2）] 【答案】（1）﹣49；（2）﹣190． 【解析】（1）2★8 （2）∵ ∴ 考点4：有理数计算的实际应用 典例：（2020·偃师市实验中学初一月考）某检修小组乘一辆汽车沿东西方向检修路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时行走记录（单位：km）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6，求： （1）收工时检修小组在A地的哪一边，距A地多远？ （2）若汽车耗油3升/每千米，开工时储存180升汽油，用到收工时中途是否需要加油，若加油最少加多少升？若不需要加油到收工时，还剩多少升汽油？ 【答案】（1）收工时在A地的正东方向，距A地39km；（2）需加15升. 【解析】 (1)根据题意可得：向东走为“+”，向西走为“−”； 则收工时距离等于(+15)+(−2)+(+5)+(−1)+(+10)+(−3)+(−2)+(+12)+(+4)+(−5)+(+6)=+39. 故收工时在A地的正东方向，距A地39km. (2)从A地出发到收工时， 汽车共走了|+15|+|−2|+|+5|+|−1|+|+10|+|−3|+|−2|+|+12|+|+4|+|−5|+|+6|=65km； 从A地出发到收工时耗油量为65×3=195(升). 故到收工时中途需要加油，加油量为195−180=15升. 方法或规律点拨 此题考查正数和负数，有理数的加法，解题关键在于掌握其定义和运算法则. 巩固练习 1．（2018·偃师市实验中学初一月考）某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为－39℃，求此处的高度是多少千米？ 【答案】10千米 【解析】 根据题意，该处的高度为： 答：此处的高度是10千米. 2．（2019·台州市书生中学初一月考）在湖北抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： +14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】（1）B地在A地的东边20千米；（2）最远处离出发点25千米；（3）还需补充的油量为9升. 【解析】 (1)∵14－9＋8－7＋13－6＋12－5＝20， ∴B地在A地的东边20千米． (2)∵路程记录中各点离出发点的距离分别为14千米， 14－9＝5(千米)， 14－9＋8＝13(千米)， 14－9＋8－7＝6(千米)， 14－9＋8－7＋13＝19(千米)， 14－9＋8－7＋13－6＝13(千米)， 14－9＋8－7＋13－6＋12＝25(千米)， 14－9＋8－7＋13－6＋12－5＝20(千米)． ∴最远处离出发点25千米． (3)这一天走的总路程为14＋|－9|＋8＋|－7|＋13＋|－6|＋12＋|－5|＝74(千米)， 耗油74×0.5＝37(升)，37－28＝9(升)， 故还需补充的油量为9升． 3．（2020·中卫市宣和中学初一期末）粮库3天内进出库的粮食记录日下（单位：吨．进库的吨数记为正数，出库的吨数记为负数）： +26，﹣32，﹣25，+34，﹣38，+10． （1）经过这3天，库里的粮食是增多了还是减少了？ （2）经过这3天，仓库管理员结算发现库存粮食480吨，那么3天前库存粮食是多少吨？ 【答案】（1）-25吨；（2）505吨； 【解析】（1）26+（﹣32）+（﹣25）+34+（﹣38）+10=﹣25（吨）． 答：粮库里的粮食是减少了25吨； （2）480﹣（﹣25）=505（吨）． 答：3天前粮库里存粮有505吨； 4．（2020·宁波市江北区新城外国语学校初一期中）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： （1）写出该厂星期一生产工艺品的数量； （2）本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ （3）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； （4）已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 【答案】（1）305（个）；（2）26（个）；（3）2200（套）（4）127100（元） 【解析】（1）周一的产量：300+5=305（个）； （2）最多的一天比最少的一天多生产（+16）-（-10）=26（个）； （3）根据题意得一周生产的服装套数为300×7+[（+5）+（-2）+（-5）+（+15）+（-10）+（+16）+（-9）]=2100+10=2200（套） （4）∵超额完成10套， ∴该工艺厂在这一周应付出的工资总额为2110×60+10×50=127100（元） 5．（2020·湖南省初一期末）一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：+6，﹣2，+10，﹣8，﹣7，+11，﹣10． (1)守门员是否回到了原来的位置？ (2)守门员离开球门的位置最远是多少？ (3)守门员一共走了多少路程？ 【答案】（1）回到了原来的位置；（2）守门员离开守门的位置最远是14米；（3）54米． 【解析】 （1）根据题意得：6﹣2+10﹣8﹣7+11﹣10=0． 答：回到了原来的位置． （2）第一次离开6米，第二次离开4米，第三次离开14米，第四次离开6米，第五次离开1米，第六次离开10米，第七次离开0米， 则守门员离开守门的位置最远是14米； （3）总路程=|+6|﹣2|+|+10|+|﹣8|+|﹣7|+|+11|+|﹣10|=54米． 6．（2019·福建省初一期中）出租车司机李师傅一天下午的营运全是在东西走向的路上进行的，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：+8，+4，-10，-3，+6，-5，-2，-7，+4，+6 （1）李师傅将第几名乘客送到目的地时，刚好回到下午出发点？ （2）李师傅将最后一名乘客送抵目的地时，他距离出发点多少米？ （3）如果汽车耗油量为0.3升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】（1）六；（2）1；（3）16.5升． 【解析】解：（1）+8+4=12， 12﹣10=2， 2﹣3=﹣1， ﹣1+6=5， 5﹣5=0． 故李师傅将第六名乘客送到目的地时，刚好回到下午出发点； （2）0﹣2﹣7+4+6=1， 故李师傅将最后一名乘客送抵目的地时，他距离出发点1米； （3）（8+4+10+3+6+5+2+7+4+6）×0.3 =55×0.3 =16.5（升）． 故这天下午汽车共耗油16.5升． 考点5：数轴上的动点问题 典例：（2020·山西省山西实验中学初一期中）（阅读理解） 点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点． 例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点． （知识运用） 如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5． （1）数　　　　 所表示的点是{M，N}的奇点；数　　　　 所表示的点是{N，M}的奇点； （2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，当P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？ 【答案】（1）3，－1；（2）－30，10． 【解析】(1)5－(－3)＝8， 8÷(3＋1)＝2， 5－2＝3， －3＋2＝－1. 故表示数3的点是{M，N}的奇点；表示数－1的点是{N，M}的奇点． (2)30－(－50)＝80， 80÷(3＋1)＝20， 30－20＝10， －50＋20＝－30. 故点