专题06 一元一次方程特殊解的四种考法（解析版）（人教版）.docx

专题06 一元一次方程特殊解的四种考法 类型一、整数解问题 例.已知关于x的方程有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：解关于x的方程 得x（a）， ∵关于x的方程的解是负整数， ∴是负整数， ∴ 或或或 即满足条件的所有整数a为-2、-4、-5、-19， ∴满足条件的所有整数a的值的和为-2+（-4）+（-5）+（-19）＝-30， 故答案为：D． 【变式训练1】关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和是（　　） A．0 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【详解】解：解方程得，x＝， ∵关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数， ∴k﹣1的值为：﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4， ∴k的值为：﹣3，﹣1，0，2，3，5， ∴符合条件的所有整数k的值的和是：（﹣3）+（﹣1）+0+2+3+5＝6， 故选：C． 【变式训练2】从，，，1，2，4中选一个数作为的值，使得关于的方程的解为整数，则所有满足条件的的值的积为（ ） A． B． C．32 D．64 【答案】D 【解析】由，解得：， ∵关于的方程的解为整数， ∴满足条件的的值可以为：，，2，4，∴()×()×2×4=64， 故选D． 【变式训练3】若整数使关于的一元一次方程有非正整数解，则符合条件的所有整数之和为（       ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【详解】∵， ∴x=， ∵一元一次方程有非正整数解， ∴a=6，a=3，a=-1，a=-2，a=-3，a=-6， ∴符合条件的所有整数之和为6+3-1-2-3-6=，故选B． 【变式训练4】已知关于x的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数m的和是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】解：，两边同乘以3，得 去括号，得，移项合并同类项，得 因为方程有解，所以，所以 要使方程的解是非正整数，则整数满足： 且为整数 所以的值为：-1或-5，解得：m=-6或-2 则符合条件的所有整数m的和是：-6+（-2）=-8，故选：A 类型二、含绝对值型 例.有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下两个问题： （1）解方程：； （2）试说明关于的方程解的情况． 【答案】（1）x=-1或x=；（2）当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解 【解析】（1）当x＜1时，方程可化为：，解得x=-1，符合题意． 当x≥1时，方程可化为：，解得x=，符合题意． 所以，原方程的解为：x=-1或x=； （2）当x＜-3时，方程可化为：，， 解得：， 则，解得：， 当-3≤x≤1时，方程可化为： ， 当x＞1时，方程可化为：，解得：， 则，解得：， 综上：当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解． 【变式训练1】若，则____． 【答案】或 【解析】 ①当时， ∵，∴，解得：； ②当时，∵，∴， 解得：（舍去）； ③当时，∵，∴，解得：． 故答案为：或． 【变式训练2】已知关于的方程的解满足，则符合条件的所有的值的和为______． 【答案】 【详解】解：， 解得， ， ，即或， 解得或， 则符合条件的所有的值的和为， 故答案为：． 【变式训练3】已知方程的解是负数，则值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当x-3≥0时，即x≥3，，解得：x=-12，不符合； 当x-3≤0时，即x≤3，，解得：x=-2，符合； 将x=-2代入，=， 故选B． 【变式训练4】有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程 解：当时，方程可化为： ，符合题意 当<0时，方程可化为： =-3，符合题意 所以原方程的解为：或 =-3 仿照上面解法，解方程： 【答案】或=-2 【详解】解：当时，方程可化为：，，符合题意 当<1时，方程可化为：，-2=4，=-2符合题意 所以原方程的解为：或=-2． 类型三、相同解的问题 例.若关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】 【详解】解：， 去分母可得： 即 关于的方程的解与方程的解相同， 解得： 【变式训练1】若关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∵关于x的方程的解与方程的解相同， ∴方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：. 【变式训练2】若关于的方程的解与方程的解相同，则的值为______． 【答案】. 【解析】∵，∴x=m-1； ∵，∴x=4-m， ∵关于的方程的解与方程的解相同， ∴4-m=m-1,解得m=. 故填. 【变式训练3】如果关于x的方程与的解相同，那么m的值是（　　） A．1 B．±1 C．2 D．±2 【答案】D 【详解】解：， 去分母得5x-1=14，移项、合并同类项得5x=15，系数化为1得x=3， 把x=3代入得1=2|m|-3，∴2|m|=4， ∴|m|=2，∴m=±2， 故选：D． 类型四、解的情况 例.已知关于x的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同． （1）求m，n的值； （2）在（1）的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值． 【答案】（1） ；（2）． 【解析】（1）∵关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程， ∴|m|﹣2＝1，m+3≠0，解得：m＝3， 当m＝3时，方程为：6x+6n＝0，解得：x＝﹣n， ，2（2x+1）﹣10＝5（x+n），解得：x＝﹣5n﹣8， ∴﹣5n﹣8＝﹣n，∴n＝﹣2； （2）把m＝3，n＝﹣2代入|a|y+a＝m+1﹣2ny，得：|a|y+a＝4+4y，∴y＝， ∵y的方程|a|y+a＝4+4y无解，∴，∴a＝﹣4． 故答案为：（1） ；（2） 【变式训练1】若关于x的方程无解，则a=______． 【答案】-2 【详解】解：-2（x-a）=ax+3， 去括号得：-2x+2a-ax=3， 移项合并得：-（2+a）x=3-2a， 因为方程无解， 所以2+a=0且3-2a≠0， 解得a=-2， 故答案为：-2． 【变式训练2】解关于x的方程： 【答案】当时，方程有唯一解为；当时，方程无解． 【解析】，移项、整理得：， 当，即时，方程有唯一解为：； 当，即时，方程无解． 故答案为：当时，方程有唯一解为；当时，方程无解． 【变式训练3】如果关于x的方程无解，那么m的取值范围（       ） A．任意实数 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：当m-2=0时关于的方程无解， 解得m=2， 故选D． 课后作业 1．若是关于x，y的二元一次方程，则a的值（ ） A．－2 B．3 C．3或－3 D．2或－2 【答案】A 【详解】解：由题意得：|a|-1=1，且a-2≠0，解得：a=-2， 故选：A． 2．关于x的方程的解为负数，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，整理得：， ∵关于x的方程的解为负数，∴，解得：． 故选：B． 3．若关于的方程无解，则，的值分别为（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，∴， ∵关于的方程无解， ∴，∴， 故选D． 4．已知为非负整数，且关于的方程的解为正整数，则的所有可能取值为（ ） A．2，0 B．4，6 C．4，6，12 D．2，0，6 【答案】A 【详解】解：方程去括号得：3x−9＝kx，移项合并得：（3−k）x＝9，解得：x＝， 由x为正整数，k 为非负整数，得到k＝2，0， 故选：A． 5．已知关于的一元一次方程的解是偶数，则符合条件的所有整数的和为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：去分母：， 去括号： ， 移项合并同类项：， 系数化为1：， ∵方程解是偶数，令，（k为整数）， ∴， ∵a取整数， ∴或， 当时，；当时，；当时，；当时，， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故选：C． 6．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_____________． 【答案】 【详解】∵的解为， ∴，解得：， ∴方程可化为 ， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．a为非负整数，当a＝______时，方程的解为整数． 【答案】或 【详解】∵ax−5=0，∴， ∵a为非负整数， ∴当方程的解为整数时，或． 故答案为：1或5． 8．已知为有理数，定义一种新的运算△：△=，若关于的方程△=有正整数解，且为正整数．则符合条件的所有的的值的积为______． 【答案】10 【详解】解：∵ x△a=19， ∴2ax-x+1=19，∴x=, ∵x为正整数，∴2a-1=1，2，3，6，9，18， ∵a为正整数，∴a=1，2，5， ∴1×2×5=10， 故答案为；10． 9．嘉淇在解关于x的一元一次方程＝3时，发现正整数被污染了； (1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程； (2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 【答案】(1)；(2)2 【解析】(1)解：， 去分母，得； 移项，合并同类项，得； 系数化为1，得． (2)解：设被污染的正整数为m，则有， 解之得，， ∵是正整数，且m为正整数，∴． 10．(1)已知关于x的方程是关于x的一元一次方程，求的值； (2)已知：方程2-3（x+1）＝8的解与关于x的方程-k+5＝-2x的解互为倒数，求k的值． 【答案】(1)k-x=；(2) 【解析】(1)解：由题意得， ∴，∴k=2，或k=0， 当k=2时，k-2=0，（不符合题意，舍去），∴k=0， 把k=0代入方程得：-2x+1=0，解得x=， ∴=0-=-． (2)2-3（x+1）＝8， 2-3x-3=8，x=-3， 由题意将x=代入方程-k+5＝-2x得： 解得：， ∴k的值为．