专题04 数轴中的动点问题 专项讲练（人教版）（解析版）.docx

专题04 数轴中的动点问题 专项讲练 数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高。 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动。 题型1. 单动点问题 例1.（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（       ） ①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可． 【详解】解：设点B对应的数是x， ∵点A对应的数为8，且AB=12， ∴8-x=12，∴x=-4，∴点B对应的数是-4，故①正确； 由题意得：12÷2=6（秒），∴点P到达点B时，t=6，故②正确； 分两种情况：当点P在点B的右侧时， ∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10， ∴10÷2=5（秒），∴BP=2时，t=5， 当点P在点B的左侧时，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14， ∴14÷2=7（秒），∴BP=2时，t=7，综上所述，BP=2时，t=5或7，故③错误； 分两种情况：当点P在点B的右侧时， ∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP， ∴MN=MP+NP=AP+BP=AB=×12=6， 当点P在点B的左侧时，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP， ∴MN=MP-NP=AP-BP=AB=×12=6， ∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确； 所以，上列结论中正确的有3个，故选：C． 【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 变式1．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（       ） 甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为； 乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为； 丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确 【答案】A 【分析】分别求得点C在线段AB上运动时，点C在射线AB上运动时和点C在射线BA上运动时，线段的长度，判定即可． 【详解】解：点C在线段AB上运动时，如下图： 甲说法正确； 当点C在射线AB上运动时，如下图： 乙说法不正确； 当点C在射线BA上运动时，如下图： 丙说法不正确 故选A 【点睛】此题考查数轴上的动点以及两点之间的距离，解题的关键是对点C的位置进行分类讨论分别求解． 题型2. 单动点问题（规律变化） 例2.（2021·浙江温州·七年级期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点． (1)求点A与点C的距离．(2)若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数．(3)动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，当点P满足PC＝2PA时，则点P移动 次． 【答案】(1)12(2)17或5(3)2或29 【分析】(1)根据两点间的距离公式可得A与C的距离； (2)设点P表示的数是x，根据题意列出方程，再解方程即可； (3)设点P表示的数是x，根据题意列出方程可得x=−16或0，再根据点P的移动规律可得答案． (1)解：AC＝|8-(-4)|＝12，故答案为：12； (2)解：设点P表示的数是x，则PB＝|x＋1|，PC＝|x﹣8|， ∴|x＋1|＝2|x﹣8|，解得x＝17或5； (3)解：设点P表示的数是x，则PA＝|x＋4|，PC＝|x﹣8|， ∴|x﹣8|＝2|x＋4|，解得x＝﹣16或0， 根据点P的移动规律，它到达的数字分别是﹣2，0，﹣3，1，﹣4，2，﹣5，3，……， 它移动奇数次到达的数是从﹣2开始连续的负整数，故移动到﹣16需29次，移动到0需2次． 故答案为：2或29． 【点睛】本题主要考查数字的变化类、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的性质、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离是解决本题的关键． 变式2．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x5m=m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值． 【详解】根据题意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1， x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2， x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，… 由上列举知①②正确，符合题意； 由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m． ∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22， ∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24 故x108＞x104，故③错误，不合题意； ∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404， 故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数． 题型3. 双动点问题（匀速） 例3.（2021·陕西·西安铁一中滨河学校七年级期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1． （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x　 　时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 　 　； （3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？ 【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）秒或秒． 【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根据非负数的性质得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9； （2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值； （3）先由点C表示的数是1，点B表示的数是9，计算出B、C两点之间的距离，确定t的取值范围，再按t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可． 【详解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0， ∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，∴a＝﹣3，b＝9，故答案为：﹣3，9． （2）∵a＝﹣3，b＝9，∴代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|， 当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12； 当﹣3≤x＜9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6， ∵﹣12≤2x﹣6＜12，∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12； 当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12， 综上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值为12， 故答案为：≥9，12． （3）∵点C表示的数是1，点B表示的数是9， ∴B、C两点之间的距离是9﹣1＝8， 当点Q与点C重合时，则2t＝8，解得t＝4， 当0＜t≤4时，如图1，点P表示的数是﹣3﹣t，点Q表示的数是9﹣2t， 根据题意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，解得t＝； 当4＜t≤8时，如图2，点P表示的数仍是﹣3﹣t， ∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，∴点Q表示的数是2t﹣7， 根据题意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），解得t＝， 综上所述，第秒或第秒，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍． 【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 变式3．（2022·江西·七年级期末）已知数轴上点在原点的左边，到原点的距离为4，点在原点右边，从点走到点，要经过16个单位长度．（1）写出、两点所对应的数；（2）若点也是数轴上的点，点到点的距离是点到原点距离的3倍，求对应的数；（3）已知点从点开始向右出发，速度每秒1个单位长度，同时从点开始向右出发，速度每秒2个单位长度，设线段的中点为，线段的值是否会发生变化？若会，请说明理由，若不会，请求出求其值． 【答案】（1）-4，12；（2）-6或3；（3）不变化，6 【分析】（1）直接根据实数与数轴上各点的对应关系求出A，B表示的数即可； （2）设点C表示的数为c，再根据点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍列出关于c的方程，求出c的值即可；（3）设运动时间为t秒，则AM=t，NO=12+2t，再根据点P是NO的中点用t表示出PO的长，再求出PO-AM的值即可． 【详解】（1）∵数轴上点A在原点左边，到原点的距离为4个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过16个单位长度， ∴点A表示-4，点B表示12； （2）设点C表示的数为c， ∵点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍， ∴|c-12|=3|c|， ∴c-12=3c或c-12=-3c，解得c=-6或c=3； （3）不变化． 设运动时间为t秒，则AM=t，NO=12+2t， ∵点P是NO的中点， ∴PO=6+t， ∴PO-AM=6+t-t=6， ∴PO-AM的值没有变化． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上各点与全体实数是一一对应关系是解答此题的关键． 题型4.双动点问题（变速） 例4.（2021·江苏·无锡市江南中学七年级期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 【答案】或30 【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0， ∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，∴b＝9，c＝15， ∴B表示的数是9，C表示的数是15， ①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝， ③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30， 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒， 故答案为：或30． 【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． 变式4.（2021·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 【答案】（1）a＝12，b＝﹣20；（2）12﹣6t，﹣20+2t；（3）秒或秒秒或秒 【分析】（1）由题意根据关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，即可求出a、b； （2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解； （3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可． 【详解】解：（1）∵关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关， ∴（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）＝﹣20x2+ax﹣y+12﹣bx2﹣12x﹣6y+3） ＝（﹣20﹣b）x2+（a﹣12）x﹣7y+15， ∴﹣20﹣b＝0或a﹣12＝0，解得b＝﹣20，a＝12； （2） 设运动时间为t秒． （3） 由题意得：点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣20+2t， 故答案为：12﹣6t，﹣20+2t； （3）设当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为t秒， 相遇前：12﹣6t＝﹣20+2t+2，解得：t＝； 相遇后：E、F相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒）， 相遇点为﹣20+2×4＝﹣12， 点F在原地停留4秒时，6（t﹣4）＝2，解得：t＝； 由题意得：当E、F相遇后，点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣12﹣2×5（t﹣4﹣4）＝68﹣10t． 当E在F左侧时，68﹣10t﹣（12﹣6t）＝2，解得：t＝； 当E在F右侧时，12﹣6t﹣（68﹣10t）＝2，解得：t＝． 答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒 【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键． 题型5.多动点问题 例5.（2022·福建·厦门市金鸡亭中学七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点； (1) a＝ ，b＝ .(2) 若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.） (3) 若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样　. 【答案】（1）-3、9；（2）点C的速度为每秒1个单位长度；（3）的值没有发生变化，理由见解析. 【分析】（1）根据几个非负数的和为0，则每一个数都是0，建立关于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根据点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，可表示，，再由CA=CB建立关于x的方程求解即可；（3）根据点的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示点D、P、Q、M、N对应的数，再分别求出PQ、OD、MN的长，然后求出的值为常量，即可得出结论. 【详解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0， ∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9； （2）设3秒后点C对应的数为x，则，， ∵CA=CB，∴， 当，无解； 当，解得x=3，此时点C的速度为3÷3=1个单位每秒， ∴点C的速度为每秒1个单位长度； （3）的值没有发生变化，理由如下：设运动时间为t秒， 则点D对应的数为2t；点P对应的数为-3-3t；点Q对应的数为9+6t； 点M对应的数为-1.5-0.5t；点N对应的数为4.5+3t； 则PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6， ∴，为定值， 即的值没有发生变化. 【点睛】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题关键是根据数轴表示的数正确列出代数式. 变式5．（2021·剑阁县公兴初级中学校七年级月考）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c-6）2+|a+b|=0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a=___，b=___，c=___． （2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A、B之间运动时，请化简式子：|x+1|-|x-1|-2|x+5|（请写出化简过程） （3）在（1）的条件下，数轴上的A，B，M表示的数为a，b，y，是否存在点M，使得点M到点A，点B的距离之和为5？若存在，请求出y的值；若不存在，请说明理由． （4）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒n（n>0）个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）-1、1、6；（2）-10 ；（3）存在，y=2.5或y=-2.5；（4）值不变，BC-AB=3． 【分析】（1）据最小正整数的意义和非负数的性质作答；（2）先去绝对值号，再去括号，最后合并即可； （3）据绝对值的性质用y表示出点M到点A，点B的距离之和，再令其等于5，列方程求解； （4）结合题意，用t和n表示出BC-AB再化简即可判断． 【详解】解：（1）由b是最小正整数得b=1； 由（c-6）2+|a+b|=0得c-6=0和a+b=0，解之得c=6，a=-1．故a=-1，b=1，c=6． （2）∵点P在A、B之间运动 ∴-1＜x＜1∴x+1＞0、x-1＜0、x+5＞0 ∴|x+1|-|x-1|-2|x+5|=(x+1)-(1-x)-2(x+5)=x+1-1+x-2x-10=-10． （3）由题意知AB=2，所以M不可能在AB之间，下面讨论M在AB之外的情况 第一种情况，当M在A点左侧时 由MA+MB=MA+MA+AB=5，得MA=1.5 ∴|y-(-1)|=1.5且y＜-1∴y=-2.5； 第二种情况，当M在B点右侧时 由MA+MB=MA+MA-AB=5，得MA=3.5 ∴|y-(-1)|=3.5且y＞-1 ∴y=2.5；故存在这样的点M，对应的y=2.5或y=-2.5． (4)如下图 用A1、B1、C1分别表示A、B、C的初始位置 由题意得，当t秒时，A1A=nt，B1B=2nt，C1C=5nt ∴AB=A1A+A1B1+B1B=nt+2+2nt=3nt+2，BC=B1C-B1B=B1C1+C1C-B1B=5+5nt-2nt=3nt+5 ∴BC-AB=(3nt+5)-( 3nt+2)=3 故BC-AB的值不变，且BC-AB的值为3． 【点睛】此题综合考查了绝对值的意义和数轴上两点之间的距离．弄清数轴上点及点的运动与所表示的数之间的关系是解决本题的关键． 题型6. 新定义问题 例6.（2021·江西赣州·七年级期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点． 例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________． （2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？ 【答案】（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【详解】解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，故答案是：G． 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．故答案是：-4或-16． （2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1， 当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒； 第二