第04章 重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算（原卷版）（人教版）.docx

第04章 重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算 考点体系 考点1：与线段有关的计数问题 典例：（2018·内蒙古宁城·初一期末）探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过A点与B、C两点分别作直线，可以作____________条；同样，经过B点与A、C两点分别作直线，可以作______________条；经过C点与A、B两点分别作直线，可以作___________条. 通过以上分析和总结，图1共有___________条直线. （2）拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得： 图2共有_____________条直线； 图3共有_____________条直线； (3)探索归纳： 如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在同一直线上，经过其中两点共有________条直线．(用含n的式子表示) (4)解决问题： 中职篮（CBA）2017——2018赛季作出重大改革，比赛队伍数扩充为20支，截止2017年12月21日赛程过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？ 方法或规律点拨 本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律． 巩固练习 1．（2019·河南许昌·）观察表格： 1条直线 0个交点 平面分成（1+1）块 2条直线 1个交点 平面分成（1+1+2）块 3条直线 （1+2）个交点 平面分成（1+1+2+3）块 4条直线 （1+2+3）个交点 平面分成（1+1+2+3+4）块 根据表格中的规律解答问题： （1）5条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块； （2）n条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块； （3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到　 　块饼． 2．（2019·全国）平面内5条相交直线最多可以有几个交点？条直线呢？ 3．（2018·浙江全国·初一课时练习）观察图形找出规律，并解答问题． (1)5条直线相交，最多有_____个交点，平面最多被分成_____块； (2)n条直线相交，最多有__________个交点，平面最多被分成____________块． 4．（2019·全国初一）往返于A、B两地的客车,途中要停靠C、D两个车站,如图所示. 则需要设定几种不同的票价?需要准备多少种车票? 5．（2019·全国初一课时练习）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段； （2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性； （3）拓展应用：8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？ 请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题. 考点2：线段作图与计算的综合题 典例：（2020·恩施市崔坝镇民族中学初一期末）如图，平面上有射线AP和点B，C，请用尺规按下列要求作图： （1）连接AB，并在射线AP上截取AD＝AB； （2）连接BC、BD，并延长BC到E，使BE＝BD． （3）在（2）的基础上，取BE中点F，若BD＝6，BC＝4，求CF的值． 方法或规律点拨 本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是根据语句准确画图． 巩固练习 1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知线段的长为． （1）用直尺和圆规按所给的要求作图：点在线段的延长线上，且； （2）在上题中，如果在线段上有一点，且线段、长度之比为，求线段的长． 2．（2020·福建宁化·初一期末）如图，已知线段a和线段AB， （1）延长线段AB到C，使BC＝a（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若AB＝5，BC＝3，点O是线段AC的中点，求线段OB的长． 3．（2020·河北涞源·初一期末）已知：如图，线段AB. （1）根据下列语句顺次画图. ① 延长线段AB至C，使BC=3AB， ② 画出线段AC的中点D. （2）请回答： ① 图中有几条线段； ② 写出图中所有相等的线段. 4．（2019·广西防城港·初一期末）如图，已知线段a和射线OA，射线OA上有点B． （1）用圆规和直尺在射线OA上作线段CD，使点B为CD的中点，点C在点B的左边，且BC=a．（不用写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，若OB=12cm，OC=5cm，求线段OD的长． 5．（2019·江苏沛县·初一期末）如图，已知四点A、B、C、D． （1）用圆规和无刻度的直尺按下列要求与步骤画出图形： ①画直线AB． ②画射线DC． ③延长线段DA至点E，使．(保留作图痕迹) ④画一点P，使点P既在直线AB上，又在线段CE上． （2）在（1）中所画图形中，若cm，cm，点F为线段DE的中点，求AF的长． 6．（2019·广东龙华·初一期末）如图，已知不在同一条直线上的三点、、，其中，且． （1）按下列要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹） ①作射线； ②在线段上截取； ③在线段上截取． 恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”．像这样点就称为线段的“黄金分割点”． （2）阅读下面材料，并完成相关问题； 黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分的长约是全长的0．618倍，则称这个点为黄金分割点．如图，为线段上一点，如果，那么点为线段的黄金分割点． 已知某舞台的宽为30米，一次演出时两位主持人分别站在舞台上的两个黄金分割点和处，如图，则这两位主持人之间的距离约为_________米． 7．（2019·闽清县教育局初一期末）如图，已知线段a，b，用尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹），并填空． （1）作线段AB，使得AB＝a＋b； （2）在直线AB外任取一点C，连接AC，BC，可得AC＋BC AB（填“＜”或“＞”号），理由是 ． 考点3：动点有关的线段问题 典例：（2020·江西东湖·期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　 　，DM＝　 　；（直接填空） （2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值． （3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 　（填空） （4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 方法或规律点拨 本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 巩固练习 1．（2020·浙江镇海·期末）已知数轴上，点为原点，点对应的数为9，点对应的数为，点在点右侧，长度为2个单位的线段在数轴上移动． （1）当线段在、两点之间移动到某一位置时恰好满足，求此时的值． （2）当线段在射线上沿方向移动到某一位置时恰好满足，求此时的值． 2．（2021·重庆开学考试）如图，是线段上任意一点，，两点分别从点开始，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动时间为． （1）若． ①求运动后，的长； ②当点在线段上运动时，试说明． （2）如果，试探索的长． 3．（2020·全国初一课时练习）已知，两点在数轴上表示的数为和，，均为数轴上的点，且． （1）若，的位置如图所示，试化简：； （2）如图，若，，求图中以，，，，这5个点为端点的所有线段（无重复）长度的和； （3）如图，为中点，为中点，且，，若点为数轴上一点，且，试求点所对应的数． 4．（2020·河南太康·初一期末）(1)如图，已知点C在线段AB上，AC＝6 cm，且BC＝4 cm，M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度； (2)在(1)题中，如果AC＝a cm，BC＝b cm，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律； (3)对于(1)题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC＝6 cm，BC＝4 cm，点C在直线AB上，M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果． 5．（2020·深圳市高级中学初一期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t. （1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长； （2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长； （3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长； （4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长. 6．（2020·山东崂山·初一期末）如图，已知线段AB、a、b． （1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长线段AB到C，使BC＝a； ②反向延长线段AB到D，使AD＝b． （2）在（1）的条件下，如果AB＝8cm，a＝6m，b＝10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度． 7．（2019·河北初三二模）如图，已知数轴上有两点，它们的对应数分别是，其中 （1）在左侧作线段，在的右侧作线段（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若点对应的数是，点对应的数是，且，求的值 （3）在（2）的条件下，设点是的中点，是数轴上一点，且，请直接写出的长 8．（2019·江西贵溪·初一期末）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 考点4：静态图形中的角度计算与证明 典例：（2020·江西东湖·期末）若的度数是的度数的k倍，则规定是的k倍角. （1）若∠M=21°17'，则∠M的5倍角的度数为 ； （2）如图1，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=∠COE，请直接写出图中∠AOB的所有3倍角； （3）如图2，若∠AOC是∠AOB的5倍角，∠COD是∠AOB的3倍角，且∠AOC和∠BOD互为补角，求∠AOD的度数. 方法或规律点拨 此题主要考查了角的计算以及解一元一次方程，关键是理清图中角之间的关系，掌握两角和为180°为互补． 巩固练习 1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知，平分，，，求、的度数． 2．（2020·岳阳市第十中学初一期末）如图1，已知∠AOB的内部有一条射线OC，OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC． （1）若∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，求∠MON的度数． （2）若取掉（1）中的条件∠BOC＝40°，只保留∠AOB＝120°，求∠MON的度数． （3）若将∠AOB内部的射线OC旋转到∠AOB的外部，如图2，∠AOB＝120°，求∠MON的度数，并请用一句话或一个式子概括你发现的∠MON与∠AOB的数量关系． 3．（2020·甘肃肃州·初一期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB的度数． 4．（2019·山西浑源·初一期末）已知∠COD＝90°，且∠COD的顶点O恰好在直线AB上． （1）如图1，若∠COD的两边都在直线AB同侧，回答下列问题： ①当∠BOD＝20°时，∠AOC的度数为 °； ②当∠BOD＝55°时，∠AOC的度数为 °； ③若∠BOD＝α，则∠AOC的度数用含α的式子表示为 ； （2）如图2，若∠COD的两边OC，OD分别在直线AB两侧，回答下列问题： ①当∠BOD＝28°30′时，∠AOC的度数为 ； ②如图3，当OB恰好平分∠COD时，∠AOC的度数为 °； ③图2中，若∠BOD＝α，则∠AOC的度数用含α的式子表示为 ． 5．（2020·全国初一课时练习）如图，O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内． （1）若OE是∠BOC的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由； （2）若∠BOE=∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数． 6．（2020·湖北广水·初一期末）已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC． （1）如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且∠AOC＝150°．若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线OC表示的方向； （2）如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数； 7．（2020·全国初一课时练习）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线． (1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？ (2)如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系； (3)如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 8．（2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末）如图，∠AOB＝90°，∠AOC=50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线． （1）求∠MON的大小； （2）当∠AOC＝时，∠MON等于多少度？ 9．（2019·内蒙古临河·初一期末）已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°． （1）如图1，若∠AOC=130°，OD平分∠AOC． ①求∠BOD的度数； ②请通过计算说明OE是否平分∠BOC． （2）如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度数． 10．（2020·辽宁庄河·期末）如图，将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 （1）求的度数； （2）如图，若保持三角尺不动，三角尺绕点逆时针旋转时，其他条件不变，求的度数（提示：旋转角） （3）在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 11．（2019·四川雁江·初一期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处（），一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； （2）将图1中的三角板绕点以每秒5〫的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值； 将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图3，使一边在的内部，请探究的值． 12．（2020·山西浑源·初一期末）综合与探究： 问题情境：如图，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB的外部且0°＜∠BOC＜180°．OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线． 特例探究：（1）如图1， ①当∠BOC＝40°时，∠MON的度数为 °； ②当∠BOC＜90°时，求∠MON的度数； 猜想拓广：（2）若∠AOB＝α（0＜α＜90°）， ①当∠AOB＋∠BOC＜180°时，则∠MON的度数是　 　°；（用含α的代数式表示） ②当∠AOB＋∠BOC＞180°时，请在图2中画出图形，并直接写出∠MON的度数．（用含α的代数式表示） 考点5：与旋转角有关的计算与证明 典例：（2020·全国初一课时练习）[阅读理解]射线是内部的一条射线，若则我们称射线是射线的伴随线． 例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线：同时，由于，称射线是射线的伴随线． [知识运用] （1）如图2，，射线是射线的伴随线，则　　　，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是　　　　　．（用含的代数式表示） （2）如图，如，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止，现在两射线同时开始旋转． ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； ②当为多少秒时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 方法或规律点拨 本题是几何变换综合题，考查了角的计算，考查了动点问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 巩固练习 1．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）如图，以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点 O 处．（注：∠DOE=90°） (1)如图①，若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上，则∠COE= °； (2)如图②，将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个位置，若 OC 恰好平分∠BOE，求∠COD 的度数； (3)如图③，将直角三角板 DOE 绕点 O 转动，如果 OD 始终在∠BOC 的内部， 试猜想∠BOD 和∠COE 有怎样的数量关系？并说明理由． 2．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）如图①，已知线段AB=20cm，CD=2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点. （1）若AC=4cm，则EF=_________cm. （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果变化，请说明理由. （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知在内部转动，OE、OF分别平分在，则、和有何关系，请直接写出_______________________. 3．（2020·江苏南京·南师附中宿迁分校初一期末）已知直线AB过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线． （1）操作发现：①如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE＝ ②如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE＝ （用含α的代数式表示） （2）操作探究：将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由． （3）拓展应用：将图2中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数，（用含α的代数式表示） 4．（2020·全国初一课时练习）如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起． （1）若，如图①，请求出的度数； （2）若，如图②，请求出的度数； （3）猜想：和的关系（请直接写出答案即可） 5．（2020·全国初一课时练习）已知是内部的一条射线，，分别为，上的点，线段，同时分别以，的速度绕点逆时针转动，设转动时间为． （1）如图（1），若，，逆时针转动到，处． ①若，的转动时间为2，则________； ②若平分，平分，求的值． （2）如图（2），若，当，分别在，内部转动时，请猜想与的数量关系，并说明理由． 6．（2020·全国初一课时练习）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下. （发现猜想）（1）如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度数为 ；. （探索归纳）（2）如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线. 猜想∠AOC的度数（用含m、n的代数式表示），并说明理由. （问题解决）（3）如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB绕点O以每秒20°逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 7．（2020·全国初一课时练习）如图①，是直线上的一点，是直角，平分. （1）若，则的度数为 ； （2）将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （3）将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系. 8．（2020·全国初一课时练习）如图，以直线上一点为端点作射线，使，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点处.（注：） （1）如图1，如果直角三角板的一边放在射线上，那么的度数为______； （2）如图2，将直角三角板绕点按顺时针方向转动到某个位置，如果恰好平分，求的度数； （3）如图3，将直角三角板绕点任意转动，如果始终在的内部，请直接用等式表示和之间的数量关系. 9．（2020·全国初一课时练习）如图，射线，，，分别表示以点为中心的北，东，南，西四个方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向． （1）画出射线，若与互余，请在图（1）或备用图中画出； （2）若是的平分线，直接写出的度数．（不需要计算过程） 10．（2017·河南平舆·初一期末）如图，已知同一平面内，． （1）问题发现：的余角是_____，的度数是_____； （2）拓展探究：若平分，平分，则的度数是_____． （3）类比延伸：在（2）的条件下，如果将题目中的改为；改为，其他条件不变，你能求出吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 11．（2019·沈阳市第七中学初一期中）数学课上小明用一副三角板进行如下操作：把一副三角板中两个直角的顶点重合，一个三角板固定不动，另一个三角板绕着重合的顶点旋转（两个三角板始终有重合部分）． （1）当旋转到如图所示的位置时，量出∠α＝25°，通过计算得出∠AOD＝∠BOC＝　 　； （2）通过几次操作小明发现，∠α≠25°时．∠AOD＝∠BOC仍然成立，请你帮他完成下面的说理过程． 理由：因为∠AOC＝∠BOD＝　 　； 所以，根据等式的基本性质∠　 　﹣∠COD＝∠BOD﹣∠　 　； 即∠AOD＝∠　 　． （3）小莹还发现在旋转过程中∠AOB和∠DOC之间存在一个不变的数量关系，请你用等式表示这个数量关系　 　． 12．（2020·辽宁望花·初一期末）已知点O为直线AB上的一点，∠BOC＝∠DOE＝90° （1）如图1，当射线OC、射线OD在直线AB的两侧时，请回答结论并说明理由； ①∠COD和∠BOE相等吗？ ②∠BOD和∠COE有什么关系？ （2）如图2，当射线OC、射线OD在直线AB的同侧时，请直接回答； ①∠COD和∠BOE相等吗？ ②第（1）题中的∠BOD和∠COE的关系还成立吗？ 13．（2020·河北承德·初一期末）如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为反余角，其中一个角叫做另一个角的反余角，例如，，，，则和互为反余角，其中是的反余角，也是的反余角． 如图为直线AB上一点，于点O，于点O，则的反余角是______，的反余角是______； 若