专题08 线段上动点问题的三种考法（解析版）（人教版）.docx

专题08 线段上动点问题的三种考法 类型一、求值问题 例.数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n，点C在B的右侧，． (1)如图1，若多项式是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值： (2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段（E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与A，B重合），点M是的中点，N是的中点，在滑动过程中，线段的长度是否发生变化，请判断并说明理由； (3)若点D是的中点． ①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）； ②若，试求线段的长． 【答案】(1)，；(2)不变化，理由见解析；(3)①；② 【解析】(1)解：由题可知，n-1=0，7+m=2， ∴， 故答案为：， (2)解：MN的长不发生变化，理由如下： 由题意，得点C表示的数为3， 设点E表示的数为x，则点F表示的数为 ∴ ， ， ， ， ，， ∵点M是的中点，N是的中点 ∴，，即 (3)解：①∵A，B表示的数分别为m，n 又点C在B的右侧，∴AB=n-m ∵，∴AC= n-m+2 ∵点D是的中点，∴AD=AC= （n-m+2） ∴D表示的数为：m+ （n-m+2）= ②依题意，点C表示的数分别为 ∴， ∴， ∵，即 当时．， ∵，∴不符合题意，舍去 当时．， 综上所述，线段的长为. 【变式训练1】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）； （2）如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t（s），当t＝__s时，Q为A，P的“巧点”． 【答案】是 7.5或 【解析】（1）若线段中点为C点，AB＝2AC，所以中点是这条线段“巧点” （2）设A点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t秒；t最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t， ①Q为AP中点，，∴t＝7.5； ②AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15， ∵AQ＝2PQ，∴15﹣t＝2（3t﹣15），∴； ③PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2（15﹣t），∴t＝97.5（舍去）．综上所述：t＝7.5或． 故答案为：（1）是；（2）7.5或． 【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm ∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm． (2)解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t， ∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t， 又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=BM 故答案为：． (3)解：由（2）可得： ∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝AB， ①当点N在线段AB上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即=． ②当点N在线段AB的延长线上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，∴=1,即=． 综上所述＝或 【变式训练3】如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______． 【答案】1或 【解析】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m 则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t， ∴AC=-t-a，OD=b-4t， 由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a， ①若点M在点B的右侧时，如图1所示： 由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a； ∴ ②若点M在线段BO上时，如图2所示： 由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b； ∴ ③若点M在线段OA上时，如图3所示： 由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即： ∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去； ④若点M在点A的左侧时，如图4所示： 由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0， 因此，不符合题意舍去， 综上所述，的值为1或． 类型二、证明定值问题 例.如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若． （1）求线段，的长； （2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长； （3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明． 【答案】（1），；（2）9；（3）②正确，，见解析 【解析】（1）由，，， 得，，所以，； （2）当点在点的右侧时，如图， 因为点，分别为线段，的中点，， 所以，， 又因为， 所以， 当点在点的左侧时，如图， 因为点，分别为线段，的中点， 所以，， 所以 所以． 综上，线段的长为9； （3）②正确，且．理由如下： 因为点与点重合，所以， 所以，所以， 所以． 【变式训练1】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0. （1）m＝ 　，n＝ 　； （2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长； ②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4． （2）由题意，①∵AB=12，CD=4， ∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD ∴MN=CM+CD+DN=AC +CD+BD=AC +CD+BD+CD=(AC +CD+BD)+CD=(AB +CD)=8； ②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a， 依题意有：，解得：a=2，在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t， ∵E是线段BC的中点，∴CE= BE=BC=2+t； Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时 F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0，∴FC-5 DE =0； Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时 FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t，∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0； Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时 FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2，∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0； 综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0． 【变式训练2】如图，数轴上点，表示的有理数分别为，3，点是射线上的一个动点（不与点，重合），是线段靠近点的三等分点，是线段靠近点的三等分点． （1）若点表示的有理数是0，那么的长为________；若点表示的有理数是6，那么的长为________； （2）点在射线上运动（不与点，重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由． 【答案】（1）6；6；（2）不发生改变，MN为定值6，过程见解析 【详解】解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1），则AP=6，BP=3． ∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点． ∴MP=AP=4，NP=BP=2，∴MN=MP+NP=6； 若点P表示的有理数是6（如图2），则AP=12，BP=3． ∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点． ∴MP=AP=8，NP=BP=2，∴MN=MP-NP=6．故答案为：6；6． （2）MN的长不会发生改变，理由如下： 设点P表示的有理数是a（a＞-6且a≠3）． 当-6＜a＜3时（如图1），AP=a+6，BP=3-a． ∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点． ∴MP=AP=（a+6），NP=BP=（3-a），∴MN=MP+NP=6； 当a＞3时（如图2），AP=a+6，BP=a-3． ∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点． ∴MP=AP=（a+6），NP=BP=（a-3），∴MN=MP-NP=6． 综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长为定值6． 【变式训练3】(1)如图1，在直线上，点在、两点之间，点为线段PB的中点，点为线段的中点，若，且使关于的方程无解. ①求线段的长； ②线段的长与点在线段上的位置有关吗？请说明理由； (2)如图2，点为线段的中点，点在线段的延长线上，试说明的值不变. 【答案】（1）①AB=4；②线段的长与点在线段上的位置无关，理由见解析；（2）见解析. 【详解】解：（1）①∵关于的方程无解．∴=0，解得：n=4．故AB=4． ②线段的长与点在线段上的位置无关，理由如下： ∵M为线段PB的中点，∴PM= PB． 同理：PN= AP．． ∴MN=PN+PM= （PB+AP）= AB= ×4=2． ∴线段MN的长与点P在线段AB上的位置无关． （2）设AB=a，BP=b，则PA+PB=a+b+b=a+2b． ∵C是AB的中点， ，， 所以的值不变. 类型三、数量关系 例.数轴上两点对应的数分别是，线段在数轴上运动，点在点的左边，且点是的中点． （1）如图1，当线段运动到点均在之间时，若，则_________，点对应的数为________，________； （2）如图2，当线段运动到点在之间时，画出草图并求与的数量关系． 【答案】（1）；2；2；（2），画图见解析． 【解析】（1）数轴上两点对应的数分别是， 点是的中点，， ，，对应的数是2， 故答案为：；2；2； （2），点是的中点， ， 故答案为：（1）；2；2；（2），画图见解析． 【变式训练1】如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动． ①当点D在线段AB上运动，求的值； ②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长． 【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm． 【详解】解：（1）图形补充完整如图， ∵CB＝AB，∴CA＝，，故答案为：； （2）①AB ＝ 9cm，由（1）得，（cm），设运动的时间为t秒， cm，cm，， ②当时，∵AB ＝ 9cm， cm，∴cm， ∴cm，cm， 运动时间为：18÷3=6（秒），则cm， cm，cm， ∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴cm，cm， cm， 当时，∵AB ＝ 9cm， cm，∴cm，∴cm， 运动时间为：36÷3=12（秒），则cm，cm，cm， ∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴cm，cm， cm， 综上，MN的长是12cm或24cm． 【变式训练2】已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧， （1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动， ①如图1，当E为BC中点时，求AD的长； ②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长； （2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝　 　． 【答案】（1）①AD＝7；②AD＝或；（2）或 【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12， ①∵E为BC中点，∴CE＝3， ∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7； ②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8， ∴CE＝DE＝或CE＝DE＝， ∴CD＝或CD＝， ∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝或12-=； （2）当点E在线段BC之间时，如图， 设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x， ∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x， 设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y， ∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y， ∵，∴，∴y＝x， ∴CD＝1.5x﹣x＝x，∴； 当点E在点A的左侧，如图， 设BC＝x，则DE＝1.5x， 设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x， ∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x， ∵，BE＝EC+BC＝x+y，∴， ∴y＝4x，∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x， ∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x， ∴， 当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解， 综上所述的值为或． 故答案为：或． 课后作业 1.已知有理数a，b，c在数轴上对应的点从左到右顺次为A，B，C，其中b是最小的正整数，a在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB． （1）填空：a=　　，b=　　，c=　　 （2）点D从点A开始，点E从点B开始， 点F从点C开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F追上点D时停止动，设运动时间为t秒．试问： ①当三点开始运动以后，t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？ ②F在追上E点前，是否存在常数k，使得的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）-2，1，7；（2）①t=1或t=；②k=-1 【解析】（1）∵最小正数为1．最大的负整数为小-1，a在最大的负整数左侧1个单位长度 ∴点A表示的数a为-1-1=-2，点B表示的数b为1， ∴AB=1-（-2）=3 ∵，∴点C表示的数为c=1+6=7， 故答案为：-2，1，7； （2）①依题意，点F的运动距离为4t，点D、E运动的距离为t, ∴点D、E、F分别表示的数为-2-t，1-t， 7-4t,当点F追上点D时，必将超过点B， ∴存在两种情况，即DE=EF和DF=EF，如图，当DE=EF，即E为DF的中点时， ，解得，t=1， 如图，当EF=DF，即F为DE中点时， ，解得t=， 综上所述，当ｔ=１秒和ｔ＝时，满足题意． ②存在，理由：点D、E、F分别表示的数为-2-t，1-t，7-4t, 如图，F在追上E点前， ，， ， 当与t无关时，需满足3+3k=0， 即k=-1时，满足条件． 故答案为：（1）-2，1，7；（2）①t=1或t=；②k=-1 2．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动． (1)如图1，当为中点时，求的长； (2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)7；(2)3或5 【解析】(1)，，，， 如图1， 为中点，， ，∴，∴， (2)Ⅰ、当点在点的左侧，如图2， 或 ∵，，点是的中点， ∴，∴，∴， ∵，故图2（b）这种情况求不出； Ⅱ、如图3，当点在点的右侧， 或 ，，∴， ∴， ． ∵，故图3（b）这种情况求不出； 综上所述：的长为3或5． 3.已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点． (1)若，，求线段CD的长． (2)若点E是线段AC的中点，请写出线段DE和AB的数量关系并说明理由． 【答案】(1)或5 (2)，理由见解析 【解析】(1)解：如图1，当C在点A右侧时， ∵，，∴， ∵D是线段BC的中点，：∴； 如图2，当C在点A左侧时， ∵，，∴， ∵D是线段BC的中点，∴；综上所述，或5； (2)解：． 理由是：如图3，当C在点A和点B之间时， ∵E是AC的中点，D是BC的中点，∴，， ∴； 如图4，当C在点A左侧时， 同理可得：； 如图5，当C在点B右侧时， 同理可得：． 4.已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm ∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm． (2)解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t， 又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=BM，故答案为：． (3)解：由（2）可得： ∵BM＝AB﹣AM，∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝AB， ①当点N在线段AB上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即=． ②当点N在线段AB的延长线上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，，∴=1,即=．综上所述＝或 5．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止． （1）________，________，________． （2）点从点离开后，在点第二次到达点的过程中，经过秒钟，，求的值． （3）点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1），，；（2）或或或；（3），1，，8，12 【详解】解：（1）∵是最大的负整数，且，满足， ∴b=-1，a+3=0，c-9=0， ∴a=-3，c=9． 故答案为：-3；-1；9． （2）由题意知，此过程中，当点P在AB上时． ∴PA+PB=AB=b-a=-1-(-3)=2． ∴． 又∵BC=c-b=9-(-1)=10． ∴PB=PC-BC=11-10=1． 当从到时，如图所示： ∵PB=1，可以列方程为：3x=1， 解得：x=1； 当从到时，分两种情况讨论：①当P在线段AB之间时，如图所示： 可以列方程为：3x=3, 解得：x=1， ②当P在线段BC之间时，如图所示： ∵PA+PB+PC=13，AB=2，BC=10， ∵PB+PC=10 ∴PA=13-10=3， ∴PB=PA-AB=3-2=1， 可列方程为：3x=5， 解得：． 当从到时，如图所示： 可列方程为：3x=23，解得：． 综上所述，或或或． （3）当点从为PN中点时， 当0<t<时，点P向A运动，． 此时，P=-1-3t，M=-3+4t，N=9-5t． （-1-3t）+（9-5t）=2（-3+4t），解得t= （舍去）． 当≤t≤时，点P从A返回向B运动．此时，P=-3+3（t-）=3t-5． 3t-5+9-5t=2（-3+4t），解得t=1．当P为MN中点时，t>． （9-5t）+（-3+4t）=2（3t-5），解得t= ．当点N为PM中点时，t>． （-3+4t）+（3t-5）=2（9-5t）,解得t=．综上所述，t的值为1， 或． 6．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考. （1）发现： 如图1，线段，点在线段上，当点是线段和线段的中点时，线段的长为_________；若点在线段的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段与线段之间的数量关系为_________. （2）应用： 如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳，其左右两端各有一段（和）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求. 已知磨损的麻绳总长度不足20米. 小明认为只利用麻绳和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳. 小明所在学习小组认为此法可行，于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳，请你尝试着“复原”他们的做法： ①在图中标出点、点的位置，并简述画图方法； ②请说明①题中所标示点的理由. 【答案】（1）6；补图见解析， （2）①见解析（答案不唯一）②见解析. 【详解】解：（1）点在线段上时， 因为点E是线段AC的中点，所以CE=AC， 因为点F是线段BC的中点，所以CF=BC， 所以EF=CE+CF=AC+BC=AB， 又AB=12，所以EF=6． 当点在线段的延长线上时，如图2， 此时，EF=EC-FC═AC-BC=AB. 答案为：6；EF=AB. （2）① 图3 如图，在上取一点，使，为的中点，点与点重合. （答案不唯一） ②因为为的中点，所以. 因为， 所以. 因为米，所以米. 因为米，米， 所以米. 因为点与点重合，米， 所以米，所以点落在线段上. 所以满足条件. 7．问题背景 整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用． (1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为 （直接写出答案）． (2)当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a+bx+2021的值． (3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求的值；