专题07 探究与表达规律（八大题型） 专项讲练（原卷版）.docx

专题07 探究与表达规律（八大题型） 专项讲练 1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型： 1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系. 2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系. 3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系. 4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数. 5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论. 2. 常见的数列规律： 1）1，3，5，7，9，… ，（为正整数）． 2） 2，4，6，8，10，…，（为正整数）． 3） 2，4，8，16，32，…，（为正整数）． 4）2， 6， 12， 20，…， （为正整数）． 5），，，，，，…，（为正整数）． 6）特殊数列： ①三角形数：1,3,6,10,15,21，…，. ②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和. 题型1：数列的规律 1．（2022·山东烟台·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（       ） A． B． C． D． 2．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，那么22021的个位数字是（   )． A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2022·山东泰安·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．则第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和是（       ） A．35 B．40 C．45 D．50 4．（2021·广西百色·二模）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第8个数是_____． 5．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）边长为1的正方形OABC从如图所示的位置（点O对应数0，点A对应数－1）开始在数轴上顺时针滚动（无滑动）．当正方形的某个顶点落在数2023在数轴上对应的点处时停止运动，此时落在数2023在数轴上对应点的这个顶点是（       ） A．点A B．点B C．点C D．点O 6.（2022·福建漳州七年级开学考试）观察下列各项：，，，，…，依此规律下去，则第7项是__________；第项是__________． 题型2：数表的规律 1．（2022·山东济南·七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列，若用有序数对（a，b）表示第a行，从左至右第b个数，例如（4，3）表示的数是9，则（15，10）表示的数是（       ） A．115 B．114 C．113 D．112 2．（2022·山东烟台·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负数）的项数及各项系数的有关规律，例如： 请写出展开式中间一项的系数（       ） A．70 B．64 C．56 D．54 3．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期中）将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对（a，b）表示第a排，从左至右第b个数．例如（4，3）表示的数是9，则（7，3）表示的数是（       ） A．22 B．23 C．24 D．25 4．（2022·河北承德·七年级期末）观察下面的数： 按着上述的规律排下去，那么第12行从左边数第4个数是（       ） A． B． C． D． 5．（2021·云南红河·七年级期末）将连续奇数1，3，5，7，9……排成如图所示的数表． 用长方形框在如图所示的数表中任意框出九个数，将长方形框上下左右移动，可框住另外九个数．若这九个数中最小的数是171，则最大的数是 _____． 6．（2021·四川成都·七年级期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”： 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为___． 题型3：算式的规律 算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。 常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。 通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。 1．（2022·黑龙江绥化·期末）已知：，，，……那么（       ） A． B． C． D． 2．（2022·山东泰安·期中）（n为非负整数）当，1，2，3，…时的展开情况如下所示： … 观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了下面的表： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为展开式中所有项系数的和应该是（       ） A．128 B．256 C．512 D．1024 3．（2022·山东烟台·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． （a＋b）0＝1 （a＋b）1＝a＋b （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 （a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 … 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（       ） A．2048 B．1024 C．512 D．256 4．（2022·内蒙古赤峰·八年级期末）已知：；；；…，若符合前面式子的规律，则的值是（       ） A．90 B．89 C．100 D．109 5．（2022·湖北鄂州·七年级期末）如图所示的数表由1开始的连续自然数组成，观察其规律： 则第n行各数之和是（        ） A．2n2＋1 B．n2-n＋1 C．(2n-1)(n2-n＋1) D．(2n＋1)(n2-n＋1) 6．（2022·山东淄博·期末）观察下列等式： ； ； ； ； ； 根据以上等式总结规律并计算，则______． 题型4：图形的规律（一次类） 1．（2022·山东威海·期末）用大小相同的棋子按如下规律摆放图形，第2022个图形的棋子数为（   ） A．6069个 B．6066个 C．6072个 D．6063个 2．（2022·河南驻马店·七年级期末）下列图案是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根小木棒，图案②需15根小木棒，…，按此规律，图案⑦需小木棒的根数是（　　　） A．49 B．50 C．55 D．56 3．（2022·四川广安·七年级期末）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第1个图形除外），则第2021个图形中，黑色正方形的数量共有（       ）个 A．3031 B．3032 C．3033 D．3034 4．（2022·河南南阳·七年级期末）如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案，依此规律继续摆下去，若第n个图案中白色纸片的个数是1564，则n的值为（       ） A．520 B．521 C．523 D．524 5．（2022·重庆荣昌·七年级期末）某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，图②共用13个●，图③共用16个●，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是（　　） A．22 B．25 C．28 D．32 6．（2022·河北沧州·七年级期末）如图所示的图案是用长度相同的木条按一定规律摆成的.摆第1个图案需8根木条，摆第2个图案需15根木条，摆第3个图案需22根木条，…，按此规律摆第个图案需要木条(     ) A．根 B．根 C．根 D．根 题型5：图形的规律（二次类） 1．（2022·重庆一中八年级阶段练习）如图，每个图案均是由长度相等的火柴棒按一定的规律拼接而成的，第一个图案需要3根火柴棒，第二个图案需要9根火柴棒，第三个图案需要18根火柴棒，……，依据此规律，第六个图案需要的火柴棒根数为（       ） A．45 B．63 C．84 D．108 2．（2022·重庆一中七年级期末）如图，把黑色小圆圈按照如图所示的规律排列，其中第①个图形中有3个黑色小圆圈，第②个图形中有8个黑色小圆圈，第③个图形中有15个黑色小圆圈，…，按照此规律，第⑦个图形中黑色小圆圈的个数为（　　） A．63 B．64 C．80 D．81 3．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）下图是同样大小一些瓢虫按照一定规律爬行，第1个图有3个瓢虫，第2个图有8只瓢虫，第3个图形有15只瓢虫，…，第8个图形的瓢虫个数为（       ） A．80 B．79 C．70 D．63 4．（2022·山东青岛·七年级期末）如图1，将一个边长为2的正三角形的三条边平分，连接各边中点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有1+2+3=6个结点．如图2，将一个边长为3的正三角形的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有1+2+3+4=10个结点．……按照上面的方式，将一个边长为2022的正三角形的三条边2022等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有________个结点（填写最终个结点） 5．（2022·山东烟台·期中）如图，第个图形需要的棋子数量是_________．（用含有的代数式表示） 6．（2022·山东烟台·期末）公园内有一矩形人行道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有60块．则人行道上总共使用______块三角形地砖． 题型6：图形的规律（指数类） 1.（2021·江苏七年级期末）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____． 2.（2021·常州市同济中学七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36． 用此方法，可求得1+2+3+…+20=　 　（直接写结果）． （2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题： 填空：①1+3+5+…+49=　 　；②1+3+5…+（2n+1）=　 　． （3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）． 3．（2021·日照港中学九年级三模）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为（ ） A． B． C． D． 4．（2021·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（ ） A． B． C． D． 5．（2021·山西实验中学九年级其他模拟）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（　　） A． B． C． D． 6．（2021·北京七年级期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S4＝_____，S1+S2+S3+…+S2021＝______． 题型7：程序框图 1.（2022•温江区七年级期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2021次输出的结果为（　　） A．6 B．3 C．24 D．12 2.（2022•晋安区期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为（　　） A．1 B．5 C．25 D．625 3.（2022•龙华区期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为﹣2，则第2020次输出的结果为　 　． 4.（2021春•新蔡县期末）按下面的程序计算： 若输入x＝100，输出结果是501，若输入x＝25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x值可能有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 5．（2021·广西南宁市·南宁三中七年级期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，则第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…则第2020次输出的结果为__________． 6．（2021·祥云县教育体育局教研室七年级期末）如图所示，这是一个运算程序示意图．若第一次输入的值为，则第次输出的结果是______． 题型8：新定义运算 1.（2021·江苏七年级月考）定义一种新运算：观察下列各式： 1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*4＝3×3+4＝13，6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17． （1）请你想想：a*b＝　 　；（2）若a≠b，那么a*b　 　b*a（填“＝”或“≠”）； （3）先化简，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝3，b＝﹣2 2．（2021·重庆市实验中学九年级月考）对任意的三位正整数，如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称为“阳光数”．现将的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数，规定．例如264是一个“阳光数”，则可得到一个新数= 642，所以．（1）若是百位上的数字比个位上的数字少4的“阳光数”，求的值； （2）若是8的倍数，则称这样的为“多彩阳光数”，求最大的“多彩阳光数”． 3．（2021·九龙坡·重庆市育才中学九年级其他模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2＋4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2＋5）． （1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；（2）请求出所有的“7喜数”之和． 4.（2021春•奉贤区期中）定义：a是不等于1的有理数，我们把11−a称为a的差倒数．如3的差倒数是11−3=−12，﹣1的差倒数是11−(−1)=12，已知a2是a1的差倒数，a1＝3，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…以此类推，则a2020＝ 　． 5．（2022·河南罗山）在平面直角坐标系xoy中，对于点P(x,y),我们把点P′(-y+1,x+1)叫做点P伴随点．已知点A1的伴随点为A2,，点A2的伴随点为A3,，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为(2，4)，点A2020的坐标为(     ) A．(-3，3) B．(-2，-2) C．(3，-1) D．(2，4) 6．（2022·重庆梁平·七年级期中）阅读材料，解决下列问题 如果一个正整数十位上的数字为，个位上的数字为，则这个数表示为． 有这样一对正整数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为“反序数”．比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504，根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，经探索发现：原三位数与其反序数之差的绝对值始终等于198．你知道为什么吗？请说明理由． (2)若一个两位数与其反序数之和是一个整数的平方，求满足上述条件的所有两位数．