2023届江苏省徐州、连云港、宿迁三市高三第五次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数若对区间内的任意实数，都有，则实数的取值范围是( ） A． B． C． D． 2．已知复数z，则复数z的虚部为（ ） A． B． C．i D．i 3．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ） A． B． C． D． 4．已知是定义是上的奇函数，满足，当时， ，则函数在区间上的零点个数是（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 5．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 6．已知变量，满足不等式组，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．若的二项展开式中的系数是40，则正整数的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．在直角中，，，，若，则（ ） A． B． C． D． 9．函数在的图象大致为（ ） A． B． C． D． 10．若复数满足（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 11．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biē naò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( ) A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 12．单位正方体ABCD-，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A．1 B． C． D．0 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点是棱的中点，点是棱靠近的三等分点，且三棱锥的体积为2，则四棱柱的体积为______． 14．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成______种不同的音序. 15．已知半径为的圆周上有一定点，在圆周上等可能地任意取一点与点连接，则所得弦长介于与之间的概率为__________． 16．若函数在和上均单调递增，则实数的取值范围为________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知（）过点，且当时，函数取得最大值1. （1）将函数的图象向右平移个单位得到函数，求函数的表达式； （2）在（1）的条件下，函数，求在上的值域. 18．（12分）如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切，动圆圆心的轨迹为，过作斜率为的直线与交于两点，过分别作的切线，两切线的交点为，直线与交于两点． （1）证明：点始终在直线上且； （2）求四边形的面积的最小值． 20．（12分）已知函数. （Ⅰ）当时，求函数在上的值域； （Ⅱ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围. 21．（12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表： 分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 4 19 线上学习时间不足5小时 合计 45 （1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”； （2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）； ②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式其中） 22．（10分）已知椭圆，点为半圆上一动点，若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点. （1）求证：； （2）当时，求的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 分析：先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间内的任意实数，都有，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围. 详解：由题得. 当a＜1时，，所以函数f（x）在单调递减， 因为对区间内的任意实数，都有， 所以， 所以 故a≥1，与a＜1矛盾，故a＜1矛盾. 当1≤a<e时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减. 所以 因为对区间内的任意实数，都有， 所以， 所以 即 令， 所以 所以函数g(a)在（1，e）上单调递减， 所以， 所以当1≤a<e时，满足题意. 当a时，函数f(x)在(0,1)单调递增, 因为对区间内的任意实数，都有， 所以, 故1+1， 所以 故 综上所述，a∈. 故选C. 点睛：本题的难点在于“对区间内的任意实数，都有”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口. 2、B 【答案解析】 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【题目详解】 ， 则复数z的虚部为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 3、D 【答案解析】 因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为. 点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的. 4、D 【答案解析】 根据是定义是上的奇函数，满足，可得函数的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得 ，利用周期性可得函数在区间上的零点个数． 【题目详解】 ∵是定义是上的奇函数，满足， ，可得， 函数的周期为3， ∵当时， ， 令，则，解得或1， 又∵函数是定义域为的奇函数， ∴在区间上，有． 由，取，得 ，得， ∴． 又∵函数是周期为3的周期函数， ∴方程=0在区间上的解有 共9个， 故选D． 【答案点睛】 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题． 5、A 【答案解析】 化简为，求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式，利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得，问题得解。 【题目详解】 函数可化为：， 将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象，又所得到的图象关于轴对称， 所以，解得：，即：， 又，所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题。 6、B 【答案解析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值. 【题目详解】 解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下： 可知点,， 在处有最小值，最小值为. 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题. 7、B 【答案解析】 先化简的二项展开式中第项，然后直接求解即可 【题目详解】 的二项展开式中第项.令，则，∴，∴（舍）或. 【答案点睛】 本题考查二项展开式问题，属于基础题 8、C 【答案解析】 在直角三角形ABC中，求得 ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值． 【题目详解】 在直角中，，，，， ， 若，则 故选C. 【答案点睛】 本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题． 9、B 【答案解析】 先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案. 【题目详解】 是奇函数，排除C，D；，排除A. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查函数图象的判断，属于常考题. 10、D 【答案解析】 由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得，即可得虚部. 【题目详解】 由zi＝1﹣i，∴z＝ ，所以共轭复数=-1+，虚部为1 故选D． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题． 11、A 【答案解析】 根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，由球的表面积公式计算可得选项. 【题目详解】 由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥，为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球，所以为的中点， 设球半径为，则,所以外接球的表面积， 故选：A． 【答案点睛】 本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半径，属于中档题. 12、B 【答案解析】 根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离． 【题目详解】 由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA， 即过1段后又回到起点， 可以看作以1为周期， 由， 白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；