2023届山东省济南市部分学校高三六校第一次联考数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A． B． C．2 D． 2．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ） A．PA，PB，PC两两垂直 B．三棱锥P-ABC的体积为 C． D．三棱锥P-ABC的侧面积为 3．正方形的边长为，是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数．若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．若集合，，则（ ） A． B． C． D． 6．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 7．设复数，则=（ ） A．1 B． C． D． 8．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为( ) A． B． C． D． 9．已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为( ) A． B． C． D． 10．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（ ） A． B． C． D． 11．设函数的导函数，且满足，若在中，，则（ ） A． B． C． D． 12．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在平面直角坐标系中，已知圆及点，设点是圆上的动点，在中，若的角平分线与相交于点，则的取值范围是_______. 14．已知正实数满足，则的最小值为 ． 15．若关于的不等式在时恒成立，则实数的取值范围是_____ 16．已知，如果函数有三个零点，则实数的取值范围是____________ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）选修4-5：不等式选讲 设函数． （1） 证明:； （2）若不等式的解集非空，求的取值范围． 18．（12分）已知凸边形的面积为1，边长，，其内部一点到边的距离分别为.求证：. 19．（12分）已知数列满足：，，且对任意的都有, （Ⅰ）证明：对任意，都有； （Ⅱ）证明：对任意，都有； （Ⅲ）证明：. 20．（12分）某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）.顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励. （1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率； （2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望. 21．（12分）某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：），得到下面的频数表： 亮灯时长/ 频数 10 20 40 20 10 以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长. （1）试估计的值； （2）设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目. ①求的数学期望和方差； ②若随机变量满足，则认为.假设当时，灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）. 附： ①某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商； ②若，则，，. 22．（10分）在平面直角坐标系中，将曲线（为参数）通过伸缩变换，得到曲线，设直线（为参数)与曲线相交于不同两点，. （1）若，求线段的中点的坐标； （2）设点，若，求直线的斜率. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率． 【题目详解】 设与轴交于点，由对称性可知轴， 又，为以为直径的圆的半径， 为圆心． ，又点在圆上， ，即． ，故选A． 【答案点睛】 本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 2、C 【答案解析】 根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图，然后再计算可得. 【题目详解】 解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示， 其中D为AB的中点，底面ABC. 所以三棱锥P-ABC的体积为， ，，， ，、不可能垂直， 即不可能两两垂直， ，. 三棱锥P-ABC的侧面积为. 故正确的为C. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题. 3、C 【答案解析】 分别以直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据，可求，而，化简求解. 【题目详解】 解：建立以为原点，以直线为轴，直线为轴的平面直角坐标系.设，，，则，，由，即，得.所以 =，所以当时，的最小值为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题. 4、D 【答案解析】 首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果. 【题目详解】 ，令，得，． 其单调性及极值情况如下： x 0 + 0 _ 0 + 极大值 极小值 若存在，使得， 则（如图1）或（如图2）． （图1） （图2） 于是可得， 故选：D. 【答案点睛】 该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目. 5、B 【答案解析】 根据正弦函数的性质可得集合A，由集合性质表示形式即可求得，进而可知满足. 【题目详解】 依题意，； 而 ， 故， 则. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题. 6、B 【答案解析】 根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可． 【题目详解】 2名内科医生，每个村一名，有2种方法， 3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士， 若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村， 若甲村有2外科,1名护士,则有，其余的分到乙村， 则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种， 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型. 7、A 【答案解析】 根据复数的除法运算，代入化简即可求解. 【题目详解】 复数， 则 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了复数的除法运算与化简求值，属于基础题. 8、C 【答案解析】 根据题意，得，，则为减函数，从而得出函数的单调性，可比较和，而，比较，即可比较. 【题目详解】 因为，且的图象经过第一、二、四象限， 所以，， 所以函数为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为， 所以， 又，， 则|， 即， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想. 9、A 【答案解析】 令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值. 【题目详解】 令，构造，求导得，当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且， 若，即，则，则，且， 故， 若，即，由于，故，故不符合题意，舍去. 故选A. 【答案点睛】 解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想. 10、C 【答案解析】 根据程序框图依次计算得到答案. 【题目详解】 ，；，；，； ，；，此时不满足，跳出循环， 输出结果为，由题意，得． 故选: 【答案点睛】 本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力. 11、D 【答案解析】 根据的结构形式，设，求导，则，在上是增函数，再根据在中，，得到，，利用余弦函数的单调性，得到，再利用的单调性求解. 【题目详解】 设， 所以 ， 因为当时，， 即， 所以，在上是增函数， 在中，因为，所以，， 因为，且， 所以， 即， 所以， 即 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12、A 【答案解析】 首先求出样本空间样本点为个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【题目详解】 样本空间样本点为个， 具体分析如下： 记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”， 有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1． 剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是， 但合并计算时会有重复，重复数量为， 事件的样本点数为：个． 故不同的样本点数为8个，. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由角平分线成比例定理推理可得，进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标，代入圆C方程即可表示动点Q的轨迹方程，再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离，所以其