2023届山东省青岛市黄岛区高三第三次测评数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（　　） A． B． C． D． 2．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，若，则（ ） A．4 B．－4 C．8 D．－8 4．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（ ） A． B． C． D． 5．若，则， ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．点是单位圆上不同的三点，线段与线段交于圆内一点M，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是( ) A．1 B．-3 C．1或 D．-3或 9．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 10．已知三点A(1,0)，B(0， )，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　) A． B． C． D． 11．设为非零向量，则“”是“与共线”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若实数，满足不等式组，则的最小值为______. 14．已知向量，，若满足，且方向相同，则__________． 15．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____． 16．在四棱锥中，底面为正方形，面分别是棱的中点，过的平面交棱于点，则四边形面积为__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆，左、右焦点为，点为上任意一点，若的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆的方程； （2）动直线过点与交于两点，在轴上是否存在定点，使成立，说明理由. 18．（12分）已知函数在上的最大值为3. （1）求的值及函数的单调递增区间; （2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围. 19．（12分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司年的相关数据如下表所示： 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年生产台数（万台） 2 3 4 5 6 7 10 11 该产品的年利润（百万元） 2.1 2.75 3.5 3.25 3 4.9 6 6.5 年返修台数（台） 21 22 28 65 80 65 84 88 部分计算结果：，，， ， 注：年返修率= （1）从该公司年的相关数据中任意选取3年的数据，以表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望； （2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润（百万元）关于年生产台数（万台）的线性回归方程（精确到0.01）. 附：线性回归方程中， ，. 20．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：（）的焦点F在直线上，平行于x轴的两条直线，分别交抛物线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点. （1）求抛物线C的方程； （2）若F在线段上，P是的中点，证明：. 21．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等. （1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图： 现从年龄在内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在内的人数为，求； （2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量（单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表： 劳动节当日客流量 频数（年） 2 4 4 以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立. 该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量（单位：万人）的影响，其关联关系如下表： 劳动节当日客流量 型游船最多使用量 1 2 3 若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大？ 22．（10分）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为． （Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【题目详解】 ． 故选B． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2、C 【答案解析】 利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，直角三角形的斜边长为， 利用等面积法，可得其内切圆的半径为， 所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 3、B 【答案解析】 根据交集的定义，，可知，代入计算即可求出. 【题目详解】 由，可知， 又因为， 所以时，， 解得. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查交集的概念，属于基础题. 4、B 【答案解析】 由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解． 【题目详解】 解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线， 又由点P在AM上且满足 ∴P是三角形ABC的重心 ∴ 又∵AM＝1 ∴ ∴ 故选B． 【答案点睛】 判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：或取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数． 5、D 【答案解析】 因为，所以， 因为，，所以,. 综上；故选D. 6、D 【答案解析】 由题意得，再利用基本不等式即可求解． 【题目详解】 将平方得， （当且仅当时等号成立）， ， 的最小值为， 故选：D． 【答案点睛】 本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题． 7、B 【答案解析】 设，，，根据向量线性运算法则可表示出和；分别求解出和，，根据向量夹角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值. 【题目详解】 设棱长为1，，， 由题意得：，， ， 又 即异面直线与所成角的余弦值为： 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题. 8、D 【答案解析】 由题得，解方程即得k的值. 【题目详解】 由题得，解方程即得k=-3或. 故答案为：D 【答案点睛】 (1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点到直线的距离. 9、D 【答案解析】 先求出集合B，再与集合A求交集即可. 【题目详解】 由已知，，故，所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题. 10、B 【答案解析】 选B. 考点：圆心坐标 11、A 【答案解析】 根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案. 【题目详解】 若，则与共线，且方向相同，充分性； 当与共线，方向相反时，，故不必要. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 12、A 【答案解析】 由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且， 再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得， 所以，即椭圆的左焦点为，且 ① 直线交轴于，所以，， 因为，所以，所以， 又由点在椭圆上，得 ② 由，可得，解得， 所以， 所以椭圆的离心率为. 故选A. 【答案点睛】 本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、5 【答案解析】 根据题意，画出图像，数形结合，将目标转化为求动直线纵截距的最值，即可求解 【题目详解】 画出不等式组，表示的平面区域如图阴影区域所示， 令，则.分析知，当，时，取得最小值，且. 【答案点睛】 本题考查线性规划问题，属于基础题 14、 【答案解析】 由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同． 【题目详解】 ∵，∴，解得或， 时，满足题意， 时，，方向相反，不合题意，舍去． ∴． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错． 15、 【答案解析】 分析：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长． 详解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则 ∵∠APB的大小恒为定值， ∴t＝，∴|OP|=． 故答案为 点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的