六年级上册数学北京课改版知识要点.pdf

一分 数 乘 法一、分数乘整数1.分数乘整数的意义。求几个相同加数的和的简便运算。2.分数乘整数的计算方法。用分数的分子与整数相乘的积作分子,分母不变。当整数与分母能约分时,可以先约分,再计算,结果不变。3.分数乘整数的计算方法同样适用于整数乘分数。4.一个数乘分数的意义就是求这个数的几分之几是多少。5.求一个数的几分之几是多少,可以用乘法计算,即这个数乘几分之几。6.单位“1”的量比较量占单位“1”的几分之几=比较量。二、分数乘分数1.分数乘分数的意义。求一个分数的几分之几是多少。2.分数乘分数的计算方法。用分子和分子相乘的积作分子,分母和分母相乘的积作分母。计算分数乘分数时,能约分的应先约分,再计算。3.分数乘分数的特殊情况。(1)分数乘分数的计算方法也适用于小数乘分数,即先把小数化成分数,再计算。例如,0.5=。(2)分数乘分数,这里的分数也可以是带分数,计算时要先把带分数化成假分数。例如,1 =。4.因数与积的关系。一个数(0 除外)乘大于 1 的数,积大于这个数;一个数(0 除外)乘大于 0 且小于 1 的数,积小于这个数;一个数(0 除外)乘 1,积等于这个数。三、分数连乘1.连续求一个数的几分之几是多少的实际问题,解题关键是理清每一步中谁是单位“1”,谁是谁的几分之几,同时明确题中的数量关系。2.一般题目中和“谁”比,“谁”就是单位“1”的量。(1)一种是题目里有典型特征的“比”字,“比”后面的量,即为单位“1”的量。(2)另一种是题目中没有“比”字,但是题目中的两个数量分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同。易错点:分数与整数相乘时,误将分子与整数约分,这是不对的,一定要注意是分母与整数约分。举例:计算6。错解:6=正解:6=举例:计算。错解:=正解:=易错点:混淆单位“1”的量。举例:甲数的 正好是乙数,这句话中单位“1”的量是()。错解:乙数正解:甲数关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第1页可以看作两数的比较关系,如“占”“是”“相当于”后面的量即为单位“1”的量。3.分数连乘的计算方法:用分子相乘的积作分子,用分母相乘的积作分母;如果有整数,用整数与分子相乘的积作分子,用分母相乘的积作分母。计算过程中能约分的,要先约分,再计算。四、倒数1.倒数的意义。乘积是 l 的两个数互为倒数。“互为倒数”是指两个数之间是相互依存的,一个数不能称为倒数。例如,=1,可以说 和 互为倒数,也可以说 的倒数是,或者说 的倒数是。2.求一个数的倒数的方法。(1)求真分数、假分数的倒数:调换分子、分母的位置。(2)求整数的倒数:先把整数(0 除外)看作分母是1的假分数,再调换分子、分母的位置。(3)求带分数的倒数:先把带分数化为假分数,再求假分数的倒数。3.真分数的倒数大于1,假分数的倒数等于或小于它本身。4.1的倒数是1,0没有倒数。易错点:倒数表示的是乘积是 1 的两个数相互依存的关系,不是数值相等的两个数的数量关系,因此不能把互为倒数的两个数用等号连接。举例:写出 的倒数。错解:=。正解:的倒数是。关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第2页二分 数 除 法一、分数除法的意义和分数除以整数1.分数除法的意义。分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积与其中的一个因数,求另一个因数的运算。2.一个带分数除以整数,先把这个带分数化成假分数,再按照分数除以整数的计算方法进行计算。例如,4 4=。二、一个数除以分数1.一个数除以分数的计算方法。(1)计算方法:一个数除以分数,等于乘分数的倒数。(2)将除法转化成乘法的要点。被除数不变。除号变乘号。除数变成它的倒数。2.被除数与商的规律。(1)当被除数不等于 0 时,0除数被除数。例如,。除数=1,商=被除数。例如,1=。除数1,商被除数。例如,。(2)当被除数=0,除数0 时,商=被除数。例如,0=0。三、分数除法的计算方法甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。四、“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的简单实际问题1.“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的简单实际问题的解题方法。(1)方程法。找出单位“1”,设单位“1”的量为x。找出题中的等量关系式。列出方程并解答。列方程解题的关键是找出题中的等量关系。(2)算术法。找出单位“1”。找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几。列出除法算式并解答。用算术法解除法应用题的关键是找准已知量占单位“1”的几分之几。2.算术法与方程法的区别。用算术法解分数除法的实际问题需要逆向思考,从“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的角度去理解数量关系;用方无论是分数除以整数,还是分数除以分数,都可以转化成被除数乘除数的倒数。易错点:在除法算式中,易忽略除数不能为 0 这个条件。举例:判断:甲数除以乙数,等于甲数乘乙数的倒数。()错解:正解:分析:此题错在忽略了除数不能为0 这个条件。易错点:用算术法解分数除法应用题时,先找准单位“1”的量,再根据分数除法的意义列式解答。易把除法算式列为乘法算式。举例:小丽家养了一些兔子,灰兔有 12 只,正好是白兔只数的。白兔有多少只?错解:12=9(只)答:白兔有 9 只。正解:12=16(只)答:白兔有 16 只。关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第3页程法解分数除法的实际问题,只要根据分数乘法的意义顺向思考,找到等量关系式列出方程并解答即可,方程法比算术法更易于理解。五、分数四则混合运算及简便算法1.分数四则混合运算的运算顺序。(1)分数四则混合运算的运算顺序和整数四则混合运算的运算顺序相同。如果算式中含有两级运算,要先算乘、除法,后算加、减法;如果只含有同一级运算,要按照从左到右的顺序计算;如果有括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。(2)在计算过程中能约分的要先约分,这样可以使计算简便。2.整数乘法运算定律在分数四则混合运算中的运用。整数乘法运算定律在分数四则混合运算中同样适用。在分数四则混合运算中,适合整数乘法运算定律的,使用整数乘法运算定律,可以使计算简便。加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律:ab=ba乘法结合律:(ab)c=a(bc)乘法分配律:(a+b)c=ac+bc易错点:同一级运算,按照从左到右的顺序计算。带括号的,要先算括号里面的,再算括号外面的。同级混合运算(没有括号)要按照从左到右的顺序计算。举例:计算 8 8。错解:8 8=33=1正解:8 8=8=64关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第4页三百分数一、百分数的意义及读、写方法1.百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫作百分数。百分数又叫作百分比或百分率。2.百分数的写法:百分数通常不写成分母是 100 的分数形式,而是在原来分子的后面添上百分号“%”来表示。写百分数时,百分号前面的数按整数、小数的写法来写,在写出的数的后面加百分号。3.百分数的读法:读百分数时,百分号前面的数按整数、小数的读法来读,只是在前面加“百分之”。二、百分数和分数的联系与区别1.百分数和分数的联系:都可以表示两个数之间的倍数关系。2.百分数和分数的区别。(1)意义不同,百分数只表示两个数之间的倍数关系,不能带单位名称;分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数之间的倍数关系,表示具体的数时可以带单位名称。(2)百分数的分子可以是整数,也可以是小数;分数的分子不能是小数,只能是除 0 以外的自然数;百分数不可以约分,分数一般要约分成最简分数。(3)应用范围不同,百分数在生产和生活中常用于调查、统计、分析和比较,分数常常在计算、测量中得不到整数结果时使用。拓展提高1.表示一个数是另一个数的千分之几的数,叫作千分数,千分数也叫作千分率。与百分数一样,千分数也有千分号,千分号用“”表示。2.认识成数。(1)成数的意义。“成数”广泛应用于工农业生产和日常生活,用来表示增减情况。如“今年小麦比去年增产 10%”,可以说成“今年小麦比去年增产一成”。(2)成数与百分数的关系。几成表示十分之几,也就是百分之几十。如“一成”是十分之一,改写成百分数就是 10%;“二成”是十分之二,改写成百分数就是 20%;“三成五”是十分之三点五,改写成百分数就是 35%。3.认识折扣。(1)折扣的意义。“%”的书写:两个小圈写得要小些,以免与数字 0 混淆。易错点:读百分数时,当百分号前是小数时,易漏读小数点前面的 0,把小数读成整数。写百分数时,易把分子写错。举例:读、写出下面各百分数。0.645%读作:,百分之五百写作:。错解:百分之六百四十五5%正解:百分之零点六四五500%易错点:百分数只能表示两个数之间的倍数关系,不能表示具体数量,不能带单位名称。举例:判断:一块布长 27%米。()错解:正解:现价=原价折扣易错点:把百分数化成小数,去掉关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第5页“折扣”是指商家降价出售商品,即按原价的百分之几十或百分之几出售。(2)折扣与百分数的关系。几折就是原价的百分之几十,几几折就是原价的百分之几十几。如七五折就是 75%,九折就是 90%。三、百分数和小数、分数的互化1.百分数和小数的互化。(1)百分数化成小数的方法:把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位,位数不够时,用“0”补足。(2)小数化成百分数的方法:把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号,位数不够时,用“0”补足。2.百分数和分数的互化。(1)分数化成百分数的方法:先把分数化成小数,除不尽时,通常保留三位小数,再化成百分数。(2)百分数化成分数的方法:先把百分数化成分数,再把能约分的约成最简分数。分子是小数的百分数化成分数,先用分数的基本性质,把百分数化成分子是整数的分数,再化简。如12.5%=。四、生活中的百分数1.求一个数是另一个数的百分之几的实际问题。求一个数是另一个数的百分之几的解题方法与求一个数是另一个数的几分之几的解题方法相同,用“一个数另一个数”,然后将计算结果化成百分数。2.求百分率。拓展提高1.生活中各种百分率的意义。发芽率:发芽种子数占试验种子总数的百分之几。出米率:出米的质量占稻谷的质量的百分之几。及格率:及格人数占考试总人数的百分之几。2.各种百分率的计算方法。百分号后,把小数点向左移动两位,位数不够时,用“0”补足,易出现漏补“0”的情况。举例:把 5.4%化成小数。错解:5.4%=0.54正解:5.4%=0.054易错点:把小数化成百分数,是把小数点向右移动两位,而不是去掉小数点。举例:把 0.0326 化成百分数。错解:0.0326=326%正解:0.0326=3.26%出勤率是百分率的一种,公式本身应该用百分数的形式表示。如果不乘100%,公式只是分数形式,乘 100%既保持数值不变,又是百分数的形式。出勤率、成活率、合格率、发芽率等最高是 100%,完成率、增长率、利润率等可以超过 100%。关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第6页关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第7页四解 决 问 题一、“求一个数的几分之几(或百分之几)是多少”的实际问题1.“已知一个部分量是总量的几分之几,求另一个部分量是多少”的实际问题的解题方法。(1)单位“1”的量-单位“1”的量一个部分量占单位“1”的几分之几=另一个部分量。(2)单位“1”的量(1-一个部分量占单位“1”的几分之几)=另一个部分量。2.“已知一个数比另一个数多几分之几,求这个数”的实际问题的解题方法。(1)单位“1”的量+单位“1”的量一个数比单位“1”的量多的几分之几=这个数。(2)单位“1”的量(1+一个数比单位“1”的量多的几分之几)=这个数。3.“已知一个数比另一个数少几分之几,求这个数”的解题思路与“已知一个数比另一个数多几分之几,求这个数”的解题思路相同,只不过在列式时把加法换成减法。二、“已知一个数的百分之几(或几分之几)是多少,求这个数”的实际问题1.简单的“已知一个数的百分之几是多少,求这个数”的问题的解题方法。(1)方程法。找出