“补”教材之“白” 促数学理解——以“利用导数判断函数的单调性”教学为例.pdf

思考的能力来源于通性通法的理解与掌握 当然，并不是说“套路”一定不好，其实，对于套路化的题目，用“套路”十分快捷，只不过，如果数学学习一味追求“套路化”，大脑就会僵化，缺乏宏观的策略引领，学生见木不见林事实上，解决计数问题的两个原理，是处理计数问题的根本方法，其中分类加法计数原理是分类讨论思想的具体体现，而分步乘法计数原理与分类加法计数原理息息相关，它是分类加法计数原理的进一步优化，基于此认识，可以说，分类讨论思想是处理计数问题的通性通法，是灵魂所在，故分类讨论思想也是此类解决问题的方向，虽然面对套路化的题目，诚然采用“套路”更快捷，但毕竟使用范围有限，但是“通性通法”具有一般性，其价值更高檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻“补”教材之“白”促数学理解 以“利用导数判断函数的单调性”教学为例山东省宁阳县复圣中学（）张志刚 一、问题提出教学中教师首先要吃透教材，并对教材做适当“补白”，即对教材中省略的过程或单一的学材进行调整和补充，这是教师根据教学需要进行二次加工，使之更契合学生认知现实的过程，也是教师教学中常态化的工作之一 下面举例说明 普通高中教科书数学选择性必修第二册 版（人民教育出版社 年 月第 版）（下文简称“教材”）第 页有如下例题：求函数（）的单调区间本例旨在以三次多项式函数为例，介绍用导数求函数单调区间的一般步骤 而通过必修课程的学习，学生知道单调性的定义是求解函数单调性问题的基本方法，本题能用单调性的定义思考函数单调区间吗？教材也在第 页“边空”提出问题：“如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？”显然，“边空”提出的问题并不“边缘”，它贴合学生的最近思维发展区，有利于深化对数学知识的整体架构的认识 在教学实践中，教师一般也会让学生尝试从单调性的定义讨论，在得出 （）（）（）（）后，很难发现在哪些区间内正负性保持不变，尝试到此为止，绝大部分教师会“启发”学生改用导数“利器”求解，以此突显导数求函数单调区间的重要性和优越性 在笔者看来，如此粗枝大叶、蜻蜓点水、浅尝辄止的“努力”，容易让学生质疑单调性的定义的有效性：单调性的定义在讨论三次多项式函数的单调区间时“失效”了吗？是“使用不当”、“不会使用”还是真正“不能使用”？换言之，讨论三次多项式函数的单调性只能用导数吗？若事实如此，对于高中阶段并不学习导数知识的上海地区学生而言，又用什么工具讨论三次多项式函数的单调性呢？可见，上述教学过程看似行云流水，顺理成章、快捷高效，实则隐患较多，对误导学生理解数学的损失则是无法挽回的 下面针对以上疑问展开研究，予以澄明二、问题探究是什么导致我们的解题半途而废、无疾而终呢？由于（）（）（）（），所以问题的关键在于判定 的符号，即在哪些区间内 和 ，本质上是双元等式的证明问题 证明双元不等式的核心思想是消元，即将双元不等式转化为一元不等式去解决具体消元方法有商式换元、差式减元、韦达消参、主副元减元等 采用何种策略要视具体题设条件而定，不可一概而论 由于 呈现二元二次多项式形式，我们可考虑主副元减元法，其基本原理是：在双元函数不等式中，将其中一个变量作为主元，另外一个变量作为副元（参数），从而构造一元函数来证明，达到减元的目的中学数学研究 年第 期例 利用单调性的定义证明 （）在 ，()上单调递减证明：设 ，则（）（）（）（）视 为主元，固定 （，），设 （）（），（，）显然（）开口向上，且图象凸向下方 又 （）（）（），（）（）（）（）由于（，），都有 （），故 （）（）（）（），即有 （）（），所以 （）在（，）上单调递减以上将变量 作为主元，另外一个变量 作为副元（即参数），构造了二次函数 （）（），从而确定（），即 ，进而说明了（）在（，）上单调递减 简而言之，通过确立主副元构造函数后，发挥二次函数图象已知、数值可算的优势，确定代数式的符号 类似的，我们可讨论函数的增区间基于学生已具备的认知基础，除了以上的解法，我们还可以考虑配方策略 配方是一种以“出现平方式”为思维指向的恒等变形，因而，配方法既具有一般恒等变形的功能，又具有“平方式”，从而在实数范围内产生非负数的特殊功能 至于配方法的更多作用，如配方消去一次项、配方分离分母等，都可以分解成这两个基本功能的组合与派生 下面举例说明例 利用单调性的定义证明 （）在 上单调递增证法 ：设，则 （）（）（）（）（）（）（）（）（）()（）()()，所 以（）（），故 （）在 上单调递增证法 ：设，则 （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），所以 （）（），故 （）在 上单调递增两种证明都是配方法应用的典范，证法 中把变量 作为主元，变量 作为副元，把 变形为()，通过配方得()，再次配方构造平方式得()（），由实数平方的非负性得证 证法 将 视为一个整体，经系数配凑、配方后把 变形为（），问题得证 两种证明都需要较强的观察能力和代数变形能力从中我们也可以发现，配方途径有多向性 同一个式子可以有不同的配方结果，可以配成一个平方式，也可以配成多个平方式 在基本配方形式中，（）（）()槡()槡()槡()槡()槡()槡()槡()槡()槡()槡()，下面再看它的一个简单应用例 （年高考全国卷理科第 题）根据函数单调性的定义，证明函数 （）在（，）上是减函数证明：设，则 （）（）（）（）（(）)槡()，所以 （）（），即函数 （）在（，）上是减函数三、结论通过以上案例的分析可知，对于三次多项式函数的单调性，导数不是唯一的解决之道，我们完全可以利用单调性的定义探求吗，具体解答时充分考虑配方法、二次函数、主副元法等的应用，而不需要特别高深的知识与技巧 笔者建议，把本问题以研 年第 期中学数学研究究型活动的形式与学生一同探讨，让学生经历完整的定义法判定单调性的思维过程，之后再与导数方法比较，才能更深刻的感受到导数工具的便捷性同时通过探究活动，正本清源，澄清一些错误认识，也为学生提供一次训练数学运算素养的大好机会事实上，自从导数的概念和方法进入高中教材后，导数作为一种重要的工具，在判断函数的单调性，求函数的极值、最值以及证明不等式方面发挥出势如破竹般的巨大作用（相对传统方法而言），显示出独有的魅力，用导数方法解决问题渐成“时尚”但是，细究起来，用导数方法解决问题要求函数连续和可导，条件还是很苛刻的 幸好现在处理的函数大多数满足这一条件 当函数不满足这些条件时，导数方法岂不是“英雄无用武之地”了？数学的活力在于最大限度地发挥想象力、创造力，不断引进新观念和新方法，不断激发人们的观察、比较、实验和归纳的能力，通过持续精益求精，臻于严格化，致力于普适性，这种数学学科上的诉求对教学提出了更高的要求 在常规课堂教学中，若能以核心素养的知识创新水平为目标，将会极大程度地培养学生的创新精神，以数学的内在力量教育学生檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻优化教学设计，落实“少教多学”以基本不等式为例江 苏 省 扬 州 中 学（）王晨江苏省扬州市教育科学研究院（）戚有建一、问题提出著名教育家陶行知先生曾说过：“所谓教师之主导作用，重在善于启迪，使学生自奋其力，自致其知，非谓教师滔滔讲说，学生默默聆听”其中深意就是“少教多学”的教学理念“少教”即启发性地教、针对性地教、创造性地教和发展性地教；“多学”指学生在教师地引导下走向深度学习、积极学习、独立学习 因此教师要对教学课程有科学的设计，对教学进程有巧妙的干预和调适，才能达到少教多学的目的 本文以基本不等式第一课时为例，从“精教少教不教”三个阶段逐层推进，展示基本不等式课堂教学中的“少教多学”二、教学案例教材分析：本节课选自苏教版（版）必修一第三章第二节，主要内容是基本不等式的证明与应用 此前学生已学过不等式的六个基本性质，对比较法、分析法、综合法会简单的应用教学目标（）了解基本不等式包含的物理、代数、几何知识及生活背景，掌握基本不等式的证明方法，学会运用基本不等式解决一些函数的最值问题（）培养学生数形结合、转化与化归的数学思想，体会换元代换的数学方法，发展学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养教学过程 情境引入妈妈买回来两个苹果，小明用自己的玩具天平来称，他先把苹果放在天平的一个盘子上，另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得质量为 ，妈妈说不对 原来天平制造得不精确，天平两臂长略有不同（其他因素不计）于是他将苹果调换到另一个盘子上，称得质量为 ，并将二者“平均”一下得来表示苹果的质量问 ：看完这段材料你有什么想法？追问 ：苹果实际质量是吗？（学生思考后发现并得出苹果实际质量为槡）追问 ：下面你想研究什么呢？生：想研究是否等于槡？设计意图：通过生活情境的引入，增加学生的探究兴趣 对情境中方案的“不合理”，学生能自主发现并用已有的物理知识解决，极大地满足他们学习的成就感，同时也找出了本节课的研究对象，发展了学生数学建模的核心素养 课内探究 猜想中学数学研究 年第 期