“指、对同构法”在不等式问题中的应用◉山东省博兴县第三中学王丽慧摘要:指数式与对数式综合的不等式问题是导数压轴题的常见题型,同构法是处理这类问题的常用方法．“指、对同构法”的应用主要有“变指”“变对”两种变形技巧,将函数模型统一后,再结合切线放缩处理．关键词:指数;对数;同构指数式与对数式综合的不等式恒成立或不等式证明问题,是各类模拟考试及高考的常见题型．解答此类问题的常用策略是利用指数式与对数式的变换关系,构造相同的函数模型,并利用函数的性质求解．下面针对这一方法的应用引例说明．１题目呈现例１已知函数f(x)＝x２e３x．(１)若x＜０,求证f(x)≤１９;(２)若x＞０时,恒有f(x)≥(a＋３)x＋２lnx＋１,求实数a的范围．本题第(１)问较为基础,直接利用导数求函数的最值即可．第(２)问由不等式恒成立求参数的范围,题目所给的不等式既含有指数式,又含有对数式,可利用“同构法”处理．下面详细阐述同构法的变形与应用技巧．２解法综述在此类问题中常涉及如下几种函数模型:y＝xex,y＝exx,y＝xex,y＝x±ex,y＝xlnx,y＝lnxx,y＝xlnx,y＝x±lnx．这些函数的性质直接利用导数即可判断,在此不再赘述．同构法的应用有两种变换方式:一种是化指数式,如xex＝elnxex＝elnx＋x;exx＝exelnx＝ex－lnx;xex＝elnxex＝elnx－x;另一种是化对数式,如x＋lnx＝lnex＋lnx＝ln(xex);x－lnx＝lnex－lnx＝lnexx;切线放缩法主要有两个切线模型,即ex≥x＋１(x＝０时取等号)和x－１≥lnx(x＝１时取等号)．这两个不等式也可利用导数法直接证明,过程略．３问题解答当x＞０时,不等式f(x)≥(a＋３)x＋２lnx＋１恒成立,即x２e３x≥(a＋３)x＋２lnx＋１恒成立．分离参数,得a≤x２e３x－(３x＋２lnx＋１)x．令g(x)＝x２e３x－(３x＋２lnx＋１)x,则问题转化为求函数g(x)的最小值．下面采用两种同构变形方式处理．３．１“化指”当x＞０时,因为x２e３x＝elnx２e３x＝e２lnx＋３x,所以函数g(x)＝e２lnx＋３x－(３x＋２lnx＋１)x．由切线不等式ex≥x＋１,得e２lnx＋３x≥２lnx＋３x＋１,当２lnx＋３x＝０时等号成立．令h(x)＝２lnx＋３x,则h′(x)＝２x＋３＞０,所以h(x)在区间(０,＋∞)内单调递增．又h(１e)＝－２＋３e＜０,h(１)＝３＞０,所以存在x０∈(１e,１),使得２lnx０＋３x０＝０．所以g(x)＝e２lnx＋３x－(３x＋２lnx＋１)x≥３x＋２lnx＋１－(３x＋２lnx＋１)x＝０．即函数g(x)的最小值为０．所以满足条件的a的范围是(－∞,０)．３．２“化对”因...
