■徐勇“痛点”是当下比较热的互联网术语,一般指市场不能充分满足的,而客户迫切需要满足的需求。在数学解题过程中,我们也会经常碰到类似的“痛点”,明明觉得思路清晰,解答正确,而最终还是出现偏差。下面就复合函数的定义域这一“痛点”加以剖析。一、表层“痛点”———复合函数的定义域问题求复合函数的定义域就是求它的自变量x的取值范围,这是复合函数中的表层痛点所在。要注意函数y=f(x)中的x与y=f[g(x)]中的g(x)的取值范围是相同的。1.已知f(x)的定义域确定f[g(x)]的定义域例1已知y=f(x)=2x-x2,求函数y=f(x)的定义域。分析:根据y=f(x)的解析式确定对应的定义域,再求函数y=f(x)的定义域。解:由y=f(x)=2x-x2,可得2x-x2≥0,解得0≤x≤2,即y=f(x)的定义域为[0,2]。函数y=f(x)中的x与函数y=f(x)中的x取值范围相同,所以0≤x≤2,解得0≤x≤4,即函数y=f(x)的定义域为[0,4]。评析:由已知函数的定义域,求复合函数的定义域,只要把所求复合函数式中括号内的式子看成已知函数式中的x,再解不等式,即得复合函数的定义域。2.已知f[g(x)]的定义域确定f(x)的定义域例2已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-3,3],则函数y=f(x)的定义域为。分析:根据自变量x的取值范围确定x2-1的取值范围,即为函数y=f(x)的定义域。解:由于y=f(x2-1)的定义域为[-3,3],所以x∈[-3,3],可得x2-1∈[-1,2],即y=f(x)的定义域为[-1,2]。评析:函数f[g(x)]的定义域即为x的取值范围,再结合整体思维的应用,可得函数y=f(x)的定义域。3.运算类的复合型函数的定义域例3若函数y=f(x)的定义域是[1,2023],则函数g(x)=f(x+1)x-1的定义域是()。A.[0,2022]B.[0,1)∪(1,2022]C.(1,2023]D.[-1,1)∪(1,2022]分析:由函数y=f(x)的定义域确定f(x+1)的定义域,再结合运算形式加以综合分析与处理。解:令t=x+1。由已知函数的定义域为[1,2023],可得1≤t≤2023。要使函数f(x+1)有意义,需满足1≤x+1≤2023,解得0≤x≤2022,所以函数f(x+1)的定义域为[0,2022]。要使函数g(x)有意义,需满足0≤x≤2022,x-1≠0,解得0≤x<1或1
