“套路”诚然好 “通法”价更高.pdf

靠几道题目的讲解，几节课的学习就能够实现的这需要长期的时间积累，需要教师们在教学中要充分发掘教材中的知识点和典型例子中所蕴含的数学思想和方法，依靠数学思想指导数学思维、数学问题求解，让学生在“润物细无声”中去领悟，并用其作为指导来引领问题的解决 ，进而逐步内化为自身的思维品质，促使他们能力的提升，日积月累的积淀，就形成了数学素养参考文献 钱佩玲 数学思想方法与中学数学 北京：北京师范大学出版，史宁中，林玉慈等 关于高中数学教育中的数学核心素养 史宁中教授访谈之七 课程教材教法，（）：何文昌，念杰 立意数学思想培养核心素养 以解析几何解题教学为例 数学之友，：蔡长宝，林新建 基于核心素养的极限化解题认知活动设计 中学数学研究（江西），：陈昂，任子朝 数学思想在高考中的考查实践 中学数学教学参考（上），：林新建 思想立意发展数学核心素养 数学通报，（）：，檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻 “套路”诚然好“通法”价更高安徽省合肥市第六中学（）王其 一、问题提出在数学学习中，对于典型的问题往往都有特殊的处理方法，即固化的解答套路，如在排列组合问题的处理中，相邻的问题计数用“捆绑法”，不相邻问题计数用“插空法”比较方便，但这些特殊的方法只适用于特殊的试题情境，故并不是通性通法，但是根据辩证法“普遍性寓于特殊性之中”的原理知，解题套路必然来源于“通性通法”，其实，“通性通法”不仅是“套路”的来源，而且也是培育学生核心素养的生长点，然而，教学中发现，教师在处理典型的问题时，往往仅仅注重“解题套路”的应用，而忽视支撑“解题套路”背后的“通性通法”的掌握，不利于核心素养的达成，所以教学中不仅仅要介绍套路，更重要的是要揭示“套路”背后的“通性通法”二、案例展示将 本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人本，其余两人分别一本，问共有多少种方法？此题显然属于“分组”问题，由于其中有两组的元素个数相同，教学中，对于此类问题，教师往往告诉学生思路如下：先将 人按、分成“无序”的 组，组数为，然后再将分成的组分给甲、乙、丙三人，即方法数为 ，这个解答中有一个套路就是对于有“平均分组”的问题时，有 组的元素个数相同，欲将“有序”分组化为“无序”分组时，就将“有序”分组的总数除以 ！，对此解法，学生也能记住套用，但它仅仅是一个技巧而已，不具有一般性关于此题，除了上面的“套路”解法，还有其他方法吗？我们不妨将甲、乙两人每人分得 本书、丙分得 本书，则有 种方法，同理，甲、丙每人分得 本书、乙得 本及乙、丙每人分得 本书、甲得 本方法种数分别是 种，由加法计数原理得，共有 种分配方法 显然，此法是采用分类讨论的思想进行解答的，轻松自然，具有一般性，是处理计数问题的通性通法 事实上，采用“套路”的解法，先将 本书按 、分成“无序”的 组，到底哪两个人得到 本，有 种可能，故总数为！，显而易见，“套路”解法也蕴含着通性通法 分类讨论的思想方法三、教学启示诚然，学习数学是需要“刷题”，如果不刷题，谁也学不好数学，正因为这个逻辑关系，“刷题”俨然成为了学习数学的代名词，于是乎，“忽视原理的揭示重机械刷题”的教学模式大行其道至今，教师教学表现为将同一类型的问题用什么方法整理得头头是道，让学生照猫画虎去套用，例如，案例中的平均分组的问题，如何将“有序”分组化为“无序”分组的套路，教学中如何教师引导学生总是沉浸在“套路”之中去处理计数问题，这种学习方式就是机械刷题，因为机械套用这法那法，缺乏思维灵活性，则学生就觉得这一章难学，因为不少题目的处理是没有套路的，需要学生有深度思考的能力，而深度 年第 期中学数学研究思考的能力来源于通性通法的理解与掌握 当然，并不是说“套路”一定不好，其实，对于套路化的题目，用“套路”十分快捷，只不过，如果数学学习一味追求“套路化”，大脑就会僵化，缺乏宏观的策略引领，学生见木不见林事实上，解决计数问题的两个原理，是处理计数问题的根本方法，其中分类加法计数原理是分类讨论思想的具体体现，而分步乘法计数原理与分类加法计数原理息息相关，它是分类加法计数原理的进一步优化，基于此认识，可以说，分类讨论思想是处理计数问题的通性通法，是灵魂所在，故分类讨论思想也是此类解决问题的方向，虽然面对套路化的题目，诚然采用“套路”更快捷，但毕竟使用范围有限，但是“通性通法”具有一般性，其价值更高檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻“补”教材之“白”促数学理解 以“利用导数判断函数的单调性”教学为例山东省宁阳县复圣中学（）张志刚 一、问题提出教学中教师首先要吃透教材，并对教材做适当“补白”，即对教材中省略的过程或单一的学材进行调整和补充，这是教师根据教学需要进行二次加工，使之更契合学生认知现实的过程，也是教师教学中常态化的工作之一 下面举例说明 普通高中教科书数学选择性必修第二册 版（人民教育出版社 年 月第 版）（下文简称“教材”）第 页有如下例题：求函数（）的单调区间本例旨在以三次多项式函数为例，介绍用导数求函数单调区间的一般步骤 而通过必修课程的学习，学生知道单调性的定义是求解函数单调性问题的基本方法，本题能用单调性的定义思考函数单调区间吗？教材也在第 页“边空”提出问题：“如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？”显然，“边空”提出的问题并不“边缘”，它贴合学生的最近思维发展区，有利于深化对数学知识的整体架构的认识 在教学实践中，教师一般也会让学生尝试从单调性的定义讨论，在得出 （）（）（）（）后，很难发现在哪些区间内正负性保持不变，尝试到此为止，绝大部分教师会“启发”学生改用导数“利器”求解，以此突显导数求函数单调区间的重要性和优越性 在笔者看来，如此粗枝大叶、蜻蜓点水、浅尝辄止的“努力”，容易让学生质疑单调性的定义的有效性：单调性的定义在讨论三次多项式函数的单调区间时“失效”了吗？是“使用不当”、“不会使用”还是真正“不能使用”？换言之，讨论三次多项式函数的单调性只能用导数吗？若事实如此，对于高中阶段并不学习导数知识的上海地区学生而言，又用什么工具讨论三次多项式函数的单调性呢？可见，上述教学过程看似行云流水，顺理成章、快捷高效，实则隐患较多，对误导学生理解数学的损失则是无法挽回的 下面针对以上疑问展开研究，予以澄明二、问题探究是什么导致我们的解题半途而废、无疾而终呢？由于（）（）（）（），所以问题的关键在于判定 的符号，即在哪些区间内 和 ，本质上是双元等式的证明问题 证明双元不等式的核心思想是消元，即将双元不等式转化为一元不等式去解决具体消元方法有商式换元、差式减元、韦达消参、主副元减元等 采用何种策略要视具体题设条件而定，不可一概而论 由于 呈现二元二次多项式形式，我们可考虑主副元减元法，其基本原理是：在双元函数不等式中，将其中一个变量作为主元，另外一个变量作为副元（参数），从而构造一元函数来证明，达到减元的目的中学数学研究 年第 期