超临界拟线性海森堡铁丝链薛定谔方程.pdf

Mathemit数学物理学报2023,43A(4):1073-1084Cientiahttp:/超临界拟线性海森堡铁丝链薛定谔方程王继研*程永宽（华南理工大学数学学院广州510 6 40)摘要：该文考虑一类来自于海森堡铁丝链模型的拟线性薛定调方程，通过摄动方法、截断技巧以及变量替换证明了超临界情形下该方程有一族单参数慢速衰减的正解.关键词：拟线性薛定方程；约化方法；变量替换.MR(2010）主题分类：35B33;35J20文章编号：10 0 3-39 9 8(2 0 2 3)0 4-10 7 3-121引言本文研究的方程来源于以下物理模型izt=-z+W(a)-p(lal2)-I(l a 2)(l a/2)z,E R N,其中N3，是波函数，W(）是给定的位势，而l,p是实值函数随着实值函数l的不同方程（1.1）出现在量子力学、弹性物理、海森堡铁磁体理论以及流体力学等学科中例如当l(s)=s时，方程（1.1)出现在弹性力学的超流体膜方程中1；当1(s)=V1+s时，方程(1.1)来自于高功率超短激光脉冲的研究中2;当l(s)=V1-s时，方程（1.1)出现在经典平面海森堡铁丝自旋链中3.其它请参见文献4-6.2 0 0 2 年以来，对I(s)=s和l(s)=V1+s的情况，方程（1.1）一直是椭圆型偏微分方程中的研究热点之一，吸引了国内外很多学者的关注考虑方程(1.1)的驻波解，即形如(,t)=exp(iFt)u(a)的解，这里 F R,且u0是实值函数将代入方程(1.1)整理得u-V(r)u+l(u)ul(u2)+p(u)u=0,E RN,这里V(a)=W()+F为新位势.令l(s)=(1-s),p(s)=e(1-s)-且V(c)=入+e,由此得到最初描述海森堡铁丝链的方程-u+入u-V1-u2收稿日期：2 0 2 2-0 9-0 5；修订日期：2 0 2 3-0 2-0 6E-mail:基金项目：广东省自然科学基金（2 0 2 0 A1515010338)Supported by the GBABRF(2020A1515010338)*通讯作者中图分类号：O175.2V 1-u 2=e V1-u22文献标识码：A-eu,E RN.(1.1)(1.2)(1.3)1074在现有文献中关于方程(1.3)的结果很少.文献7 就一维情形给出了方程(1.3)在，lim_u(c)=0时解的存在性结果文献5 给出了此方程高维的结果王友军8 考虑方程-u+入u-V1-u2且把文献7 中的结果推广到了三维情形.令l(s)=V1-s,p(s)=s,同时限制u的取值并假设u在无穷远处衰减到0，于是方程（1.2）变成了拟线性薛定谔方程u-V()u-AV1-u2+uP=0,aERN,2V1-u21u，则方程（1.5）具有在无穷远处衰减为O(la|-2/(p-1)）的单参数族径向对称解.定理1.2 假设V0且VEL(RN).则下列两个条件2)N3.且存在C0和 N使得V(a)CI有一个成立时，方程（1.5)存在一族单参数解u(a)满足 limu(a)=0关于EIR一致成立.数学物理学报uV 1-u 2=e V1-u21-0Vol.43A1a/80u-u,aER3,(1.4)(1.5)(2.1)2定定理1.1的证明2.1摄动的引人此时方程(1.5)变成类似文献9，引入积分变换u2V1-u210u2U=G(u)AV1-u2+uP=0,ERN;lim u()=0.g(t)dt,（其中 g(t)=1+(t2)=1+2(l),t e 90,程Au+f(u)=0,aE RN,（1）0U 0.于是通过替换并整理，得到了以下与（2.2)式等价的方程(2.3)0U入G(2lim,(r)=0,?X王继研等：超临界拟线性海森堡铁丝链薛定谔方程Au+入(A)=0,1075其中 r=l(0,8).由于g(0)=1,g(0)=0,所以u=G-1(u)g(G-1(u)=1+4进而1十0(3),U 0+,12+0+0(02),+.入-1vP+2(2.7)又因为是一致有界的，所以当入0 时，入()以下方程的摄动0U时，方程Au+up=0,ERN;u(0)=1具有唯一的径向对称解w(lal),满足w(r)=Cp,r=+o(1),r +8.则该方程的所有径向对称解可以表示为 (lacl)=入w(|cl)，入 0.2.2运用Banach不动点定理完成证明在范数下首先考虑以下的线性方程)up，因此方程(2.3）可以看成u+u P=O;(2.4)lim(r)=0.?80Il=sup,al o(a)/+_ sup,a|-0(a),a1I/l*=sup,e|+2/h(a)+_ sup,e/2+一-|h(a)1lim,(r)=0.(2.5)I:1(2.6)Ia:I1pwp-11p=h,r E(0,0),(2.8)1076这个方程的可解性依赖于下面的引理(见文献11.引理2.1设0。N-2,P，那么存在正常数使得对于任意h满足Il*有界，方程（2.7)都有一个解=T(h）（这是个有界线性算子)满足以下范数不等式接下来就是要找到方程(2.4)的形如=W+的径向对称解，其中的w是方程(2.5)的正解，那么我们就将问题转化为了求，为了在很小的情况下保证很小，结合Il*的定义，先说明是一致有界的事实上，首先=W十是Au+入-f(u)=0,ERN,0U-Glim(r)=02T8的解一方面，如果满足ll=1,则ldlC,从而在l=1时 w+是有界的另一方面，注意到2PqPJB1(0)对。0 适当小成立，则入于(八)I,对任意l1,都有w+l-)N(s)=入-f()+pwp-l-入-(w+)现在我们知道，给定一个合适的，根据引理2.1就可得知方程（2.8）有相应的解，我们将对应映射记为A，具体来说A的定义就是于是显然求解方程（2.8）就变成了求A的不动点定义空间=s:RNR IllCA)数学物理学报I/ll=II(h)I/ll*?dda+Bi(0)JBi(0)C+Clal-apada时保持有界因此，Il L9(Bi(0)Ipl C,Va E RN.A(p):=T(S(w)+N(p).Vol.43AwpqlolpadaNo.4我们接下来要证明两件事情，一是A是上的算子，即A(2)C2；第二个就是说明A是一个压缩映射对任意的E2,由引理2.1可知(2.9)先来估计IS(w)l*，事实上S(u)=|al)+(al)）是(2.4)式满足条件的连续解由于对于足够小的入,0 w+入G(）成立，我们得到(ll)G()，于是0 u(lal)，最终得(lal)=G-1(u(lal)就是我们想要找到的解.(3.1)3定理1.2 的证明3.1一些准备工作在这一部分，先对一般情况进行证明，首先的第一步和零质量情形的第一步是相似的，即通过换元引入摄动，但是在这里会有小小的不同同样令g(t)dt,0其中 g(t)=1+(t2)=1+2(),e那么我们可以将方程（1.5）转化为Au-V(a)I(s)+f(u)=0,E RN,0UGlim.,()=0,+80这里G-1(s)1(s)g(G-1(s):用入(入+s）替换上述方程中的(a)，得到与方程(3.1)等价的方程-V(c)入1()+入于()=0,E R,(1）0U 0,$E RN,V(c)=入-2 V(“=)由前面已经展开证明过的结论可知入于()uP,入0.同理可知入-()U,入 0.U=G(u)=lim ()=0,(3.2)No.4于是想要求解的方程就可以看成是以下方程的摄动接下来在范数Il-l*,=sup,-s1lo(a)|+sup,-s|/p(a),I-1I/l*,=ssup -s0+2h(a)+sup,-s/2+h(a)-1下考虑以下方程的可解性Ap-V(a)+pup-1lp=h+eZi,a E R,lim,(a)=0,a8其中 2=n_,这里的 w 是方程(3.3)的解，而 n 是截断函数。为了证明的完成，还需要两个引理(见文献11).引理3.1.若N4,P,方程(3.6)在c,=0,=0时有依赖于h的解=(h),且存在常数C使得引理 3.2 若 N3,P,那么方程(3.6)有解(g,C1,c2。,c N)=T(h)线性依赖于h，并且存在常数C使得进一步，所有ci0当且仅当准备工作完成后，正式开始证明一般情况，这里根据P分为两种情况进行证明.3.2 p 这一种情形我们的证明和零质量情况很相似，将取为0,还是寻求方程(3.2)形如w+的解，将它代入方程(3.2）并改写形式得A-V(a)+pwp-1p=Si(u)+N(s)+P(p),a E RN,lim_(a)=0,其中Si(u)=S(u)+V(r)入i(w)P(a)=V(a)-(w+)-1(w)-4王继研等：超临界拟线性海森堡铁丝链薛定谔方程Au-V(ar)u+wP=0,a E RN,0U，根据第 2 节对 G-1()和 g(G-1(u)的展开以及 l(u)=(%),又注意到V(c)=o(lac|-2),可知V()-(A(w+)-I(u)-12(+g)3-3)+0(入),入 0.512于是有sup,la|a+2/P()/C sup,a|0+2Va(a)入(lw2l+o13)Il:1另外由范数的定义知因此sup,le2+P()C入 sup a/2+V(a)入(lu20l+0l3)I:I1综合上述各式得数学物理学报入(A六w)=w+o(入-1w3,入 0,V(a)入(Aw):=(入)=0(1),入 0.*.0IISi(w)*,.=S(w)+V(a)入1(2=(:RN RI l*,0 Cp(A),Ax(p):=T(Si(w)+N(p)+P(p).:1C)sup,lal(lw2s0l+/0l3):1 C入-Il,0.Ip(a)/Ca|-一1 l-l*,0,V|a|1,w(a)C(1+al)-r,Va E RN,I1I/:I1C入一(l,0 I/ll,).Vol.43A(入-W Cp(),*,0G-1(u)No.4最后结合在上一部分对N(）的估计有IIA(s)*,ClISi(w)+N()+P()*,0 C(入)+p(A)2+p()P+p(入)+p(入)3Cp(A),Vp E 2.这说明A(2)C2入.接下来说明它是压缩算子任取P1，P2 E 入，记这里的位于1与2的连线之上，因此有a|2+P(1)-P(2)/a2DP()l/1-(p2*,0,Va|1,a/2+-P(1)-P(p2)a/2 DP(0)/1-42,V/a|1.进一步IP(1)-P(2)*,0 C sup,(a/2DP()Il/P1-2*,0,直接计算P()的导数DpP(a)=V(r)(w+)-1=V(a)-2)(w+0)+0(w+)2),0,由此知sup.(lal2/DsP(a)C)1.aERN综上所述，当入足够小有王继研等：超临界拟线性海森堡铁丝链薛定谔方程IP(p1)-P(p2)|=DP()(1-2)l,CERN1081又因为综合引理3.1得IIAx(1)-Ax(2)*,C I N(1)-N(p2)*,0+IIP(1)-P(p2),0 因此A是上的压缩算子,它在 有唯一的不动点，将其记为，那么易知函数u(lal）=G-1（入（w(入lal)+(A/al)）是方程（3.1）的连续解，它依赖于入，有无数个.3.3此时不能直接考虑方程（3.7）的解，因为此时的p不能满足引理3.1的条件，所以要对第一种情况的一些地方做出改动首先定义新的范数Ill,=sup,-s lo(a)I+sup,la-s0(a),-1sup,-s0+2/h(a)+sup,-s2+|h(a)|a-I1a-I1l-11082并考虑以下方程的可解性Ap-V(a)+pup-1p=Si(u)+N(p)+P()+c;Zi,a E RN,lim()=0.固定 (o,min2,),我们有这里 p()=o(1),入0.定义空间算子A的定义同上，于是根据引理3.2 可知此算子定义是合理的，同样运用前面的方法可以证明它是2 。上的压缩算子，于是可知道 A在入,。中一定存在不动点，即方程（3.8)的解这个解当且仅当它的所