半正带一维Minkowski平均曲率算子的非线性Dirichlet问题的正解 (1).pdf

第6 1卷 第4期吉 林 大 学 学 报(理 学 版)V o l.6 1 N o.4 2 0 2 3年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n)J u l y 2 0 2 3d o i:1 0.1 3 4 1 3/j.c n k i.j d x b l x b.2 0 2 2 4 0 2半正带一维M i n k o w s k i平均曲率算子的非线性D i r i c h l e t问题的正解李志强,路艳琼(西北师范大学 数学与统计学院,兰州7 3 0 0 7 0)摘要:用时间映像原理证明在非线性项半正情形下带一维M i n k o w s k i平均曲率算子的边值问题u 1-u 2+f(u)=0,x(0,1),u(0)=0,u(1)=0正解的存在性和多重性,其中:参数0;f:0,)为连续函数,f(0)0,f(s)0,f(s)0,且存在常数,(0,1),使得f()=0,F()=0,F(s)=s0f(t)dt,并将非线性项从f(0)0推广到f(0)0的情形.关键词:M i n k o w s k i平均曲率算子;正解;多解性;时间映像中图分类号:O 1 7 5.8 文献标志码:A 文章编号:1 6 7 1-5 4 8 9(2 0 2 3)0 4-0 7 8 5-1 1P o s i t i v eS o l u t i o n s f o rS e m i p o s i t i v eN o n l i n e a rD i r i c h l e tP r o b l e mw i t hO n e-D i m e n s i o n a lM i n k o w s k iM e a nC u r v a t u r eO p e r a t o rL IZ h i q i a n g,L UY a n q i o n g(C o l l e g e o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,N o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y,L a n z h o u7 3 0 0 7 0,C h i n a)收稿日期:2 0 2 2-1 0-0 3.第一作者简介:李志强(1 9 9 5),男,汉族,硕士研究生,从事常微分方程与差分方程边值问题的研究,E-m a i l:2 5 9 3 7 4 1 9 9 0q q.c o m.通信作者简介:路艳琼(1 9 8 6),女,汉族,博士,副教授,从事常微分方程与差分方程边值问题的研究,E-m a i l:l u y q 8 6 1 01 2 6.c o m.基金项目:国家自然科学基金青年科学基金(批准号:1 1 9 0 1 4 6 4;1 1 8 0 1 4 5 3)、西北师范大学青年教师科研能力提升计划项目(批准号:NWNU-L KQN-2 0 2 0-2 0)、甘肃省青年科技基金计划项目(批准号:2 1 J R 1 R A 2 3 0)和甘肃省高等学校创新能力提升项 目(批准号:2 0 2 1 A-0 0 6).A b s t r a c t:B yu s i n gt h et i m em a p p i n gp r i n c i p l e,w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n d m u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n s f o r t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t ho n e-d i m e n s i o n a lM i n k o w s k im e a nc u r v a t u r eo p e r a t o r i nt h es e m i p o s i t i v ec a s eo fn o n l i n e a r t e r m su 1-u 2+f(u)=0,x(0,1),u(0)=0,u(1)=0,a n dt h en o n l i n e a rt e r mi sg e n e r a l i z e df r o mf(0)0t of(0)0i sap a r a m e t e r,f:0,)i sc o n t i n u o u s,f(0)0,f(s)0,f(s)0,a n dt h e r ee x i s t ss o m ec o n s t a n t s,(0,1)s u c ht h a tf()=0,F()=0,F(s)=s0f(t)dt.K e y w o r d s:M i n k o w s k im e a nc u r v a t u r eo p e r a t o r;p o s i t i v es o l u t i o n;m u l t i p l i c i t y;t i m em a p1 引言与主要结果物理学中的许多模型均可由给定的平均曲率方程表示,例如:刻画相对论意义下质点的运动状态1-2;人体眼角膜的形状3;非线性微电子力学系统模型4等.为研究这些模型的物理规律,使求解带有平均曲 率算子微 分方程边值 问 题 正 解 的 存 在 性 和 多 重 性 备 受 关 注3-6.特 别 地,具 有 一 维M i n k o w s k i平均曲率算子的非线性D i r i c h l e t边值问题正解的存在性研究目前已获得许多结果5-1 2.M a等8用时间映像原理获得了带一维M i n k o w s k i平均曲率算子的非线性D i r i c h l e t边值问题u 1-u 2+f(u)=0,x(0,1),u(0)=u(1)=0(1)正解的存在性和多重性,其中:0是参数;f(0,),)满足f(0)0,存在a1b1a2b2bn-1an,使得f(ai)0,且F(bi)F(u)(0ubi,i=1,2,n-1)成立.Z h a n g等9用时间映像原理获得了边值问题u 1-u 2+f(u)=0,x(0,1),u(x)0,-Lx0为参数;f为具体的非线性函数,即f为f(u)=up,f(u)=up+uq(p,q0),f(u)=au(0a0为参数;f满足fC2(0,),),f(0)0,f(u)0,u f(u)f(u)+12u2f(u),0uL.注意到文献5-1 0 的结果中非线性项均要求f(0)0,而当f(0)0为参数;fC2(0,),),f(0)0.M a y a等1 5将上述结果发展到半线性椭圆型D i r i c h l e t问题上.此后,该类半正条件被应用于各类边值问题正解的存在性研究中1 3-1 7.当非线性 项 满 足f(0)0;f满足如下假设条件:(H1)fC2(0,),)且f(0)0时,f(s)0,f(s)0;(H5)f(0)0,存在00;当s时,f(s)0.基于以上假设,本文主要结果如下:687 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 定理1 假设(H1)(H4)且f()f()成立,则存在01*2时,边值问题(1)至少有一个正解,如图1所示.进一步,如下结论成立:1)l i mp(p)=*;2)l i mp1-(p)=.图1 定理1的时间映像函数图像F i g.1 T i m em a pf u n c t i o n i m a g e so f t h e o r e m1图2 定理2的时间映像函数图像F i g.2 T i m em a pf u n c t i o n i m g e so f t h e o r e m2定理2 假设(H1)(H3),(H5)且f()0,使得当(0,*)时,边值问题(1)没有正解;当=*时,边值问题(1)至少有一个正解;当*时,边值问题(1)至少有两个正解,如图2所示.进一步,如下结论成立:1)l i mp(p)=;2)l i mp1-(p)=.787 第4期 李志强,等:半正带一维M i n k o w s k i平均曲率算子的非线性D i r i c h l e t问题的正解 2 预备知识下面利用时间映像原理讨论问题(1)解的一些性质.由假设条件(H1)(H3),记S=p p,f(p)f(u),u0,p).引理17 若(,u)是问题(1)的一个正解,则0,u=pS.若存在x0(0,1),使得u(x0)=0,则以下结论成立:1)x0=12,x0(0,1);2)u(x0)是u(x)唯一的最大值;3)当x(0,x0)时,u(x)0;当x(x0,1)时,u(x)0,定义映射T(p)=p0du1-(1+(F(p)-F(u)-2=p10dv1-(1+(F(p)-F(p v)-2=12,(6)T(p)称为函数f的时间映像.显然,若u为问题(1)的正解,则u必满足微分算子u(x)1-u(x)2,易验证u 2 1,故u(x)1.令u=x0u(t)dt,则易见u=m a xx(0,1)x0u(t)dtx0u(t)dt1.实际上,边值问题(1)解的存在性等价于式(6)解的存在性8-1 0.为计算方便,令=(F(p)-F(p v),=p=(f(p)-v f(p v),=(f(p)-v2f(p v),记T(p)=T(p),T(p)=T(p)p,其中T(p)=p101+(2+)dv.引理2 假设(H1)(H3)成立,则当p时,问题(1)无正解.证明:反设当p时,问题(1)存在正解u(x),则u(x)满足问题(1),结合式(5)并整理得0u(x)2=1-(1+(F(p)-F(u)-1/2,x(0,1).887 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 又因为当p时,1+(F(p)-F(u)1,所以1-(1+(F(p)-F(u)-1/20.显然矛盾.故当p0,p,1),T(p)关于单调递减.证明:对T(p)关于求偏导数,得T=p102(2+)-(1+)2(2+)3/2dv.令h()=2(2+)-(1+)2,则h()=2(2+)-(1+)2=-,又因为0,故h()0.因此T0,有:1)l i mp+T(p)=T();且存在0,使得当时,T()12;当时,T()0,对任意给定的0,取v 0,+,p(,+),均有f(p v)0,存在0,使得F(p)-F(p v)时,l i mp+T(p)0,存在0,使得当1-u1时,均有f(u)0和(,p),对任意的-3+8+4a2(1-)f(),-3+8+4a2(-)f(),存在p*(,1),使得当p(,p*)时,T(p)关于p单调递减;当pp*时,T(p)关于p单调递增.证明:显然时间映像为T(p)=p0du1-(1+(F(p)-F(u)-2=p10dv1-(1+(F(p)-F(p v)-2.令G(v)=F(p)-F(p v),则有G v(v)=-p f(p v).若(H4)成立,则G v(v)0,v 0,p;G v(v)Gp;当vp,1时,G(v)0,v 0,p;G v(v)Gp;当vp,1时,G(v)F(p).图3 满足假设条件(H1)(H4)的G(v)函数图像F i g.3 G(v)f u n c t i o n i m a g e t h a t s a t i s f i e sa s s u m p t i o nc o n d i t i o n s(H1)(H4)图4 满足假设条件(H1)(H3),(H5)的G(v)函数图像F i g.4 G(v)f u n c t i o ni m a g e t h a t s a t i s f i e sa s s u m p t i o nc o n d i t o n s(H1)(H3),(H5)令h(v)=1-(1+(G(v)-2,由G(v)的单调性可知,当v 0,p时,h(v)单调递增,当vp,1时,h(v)单调递减.又因为T