Feldman-Katok度量下Li-Yorke混沌和Proximal对.pdf

收稿日期2 0 2 3-0 3-0 1;修改日期2 0 2 3-0 3-2 8 基金项目国家自然科学基金(1 1 8 7 1 1 8 8)作者简介高昆梅(1 9 9 8-),女,硕士在读,应用数学专业.E-m a i l:2 1 0 2 3 7 9 0 0 3q q.c o m第3 9卷第3期大 学 数 学V o l.3 9,.32 0 2 3年6月C O L L E G E MATHEMAT I C SJ u n.2 0 2 3F e l d m a n-K a t o k度量下L i-Y o r k e混沌和P r o x i m a l对高昆梅,张瑞丰(合肥工业大学 数学学院,合肥2 3 0 6 0 1)摘 要通过F e l d m a n-K a t o k引入了F KL i-Y o r k e混沌和F KP r o x i m a l对,并且研究它们之间的关系.证明如果一个拓扑动力系统是F K敏感的,并且含有一个由传递点和周期点组成的F KP r o x i m a l对,则它是F KL i-Y o r k e混沌的.关键词F e l d m a n-K a t o k度量;F KL i-Y o r k e混沌;F KP r o x i m a l对 中图分类号O 1 9 2 文献标识码A 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 3)0 3-0 0 0 9-0 51 引 言称(X,T)是一个拓扑动力系统(简称T D S),如果X是一个具有度量d的紧度量空间,T:XX是一个连续映射.在遍历理论中,一个基本问题是将保测系统通过同构进行分类.1 9 5 8年,文献1 在遍历论中定义了熵,同时证明熵对保测系统来说是同构不变量.关于同构问题的一个重要的结果是文献2 理论,他证明两个等熵的B e r n o u l l i过程是同构的.在O r n s t e i n的理论中H a mm i n gd i s t a n c edn起到了关键的作用,其中dn:dn=(x0 x1xn-1,y0y1yn-1)=0in-1xiyin.文献3 通过将O r n s t e i n的理论中的H a mm i n gd i s t a n c edn改为e d i td i s t a n c efn:fn=(x0 x1xn-1,y0y1yn-1)=1-kn,这里k是最大的整数,使得存在0i1ikn-1,0j1jkn-1,且对s=1,k有xis=yjs,定义了l o o s eB e r n o u l l i系统,同时给保测系统的分类提供了新的思路.基于这些,他建立一个新的平行于O r n s t e i n理论的理论.2 0 1 7年D.Kw i e t n i a k和M.L a c k a在通常动力系统中定义一种对应于e d i td i s t a n c efn的度量,称为F e l d m a n-K a t o k度量,具体看第二节基础知识部分.在2 0 2 2年,文献4使用F e l d m a n-K a t o k度量去描述零熵l o o s e l yB e r n o u l l保测系统,他们还定义F K连续和F K敏感,并得到A u s l a n d e r-Y o r k e二分法.2 0 2 2年,文献5 进一步研究F e l d m a n-K a t o k度量中的限制敏感和熵,并得到条件熵公式.混沌性质是动力系统研究中人们关心的问题,关于混沌有不同的定义,例如正熵、拓扑混合、D e v a n e y混沌以及L i-Y o r k e混沌等,因此对于它们之间的关系人们做出了很多研究.1 9 7 5年,文献6定义L i-Y o r k e混沌并且证明周期3蕴含混沌.2 0 0 2年,文献7 证明正熵可以推出L i-Y o r k e混沌.同年文献8 证明以敏感为核心的D e v a n e y混沌蕴含L i-Y o r k e混沌,还有一些其他的它们之间的关系具体看文献9-1 0.随着研究的深入,动力系统中的许多定义都进一步给出了其平均版本的定义,如平均敏感、平均等度连续、平均d i s t a l i t y等,具体见文献1 1-1 4.对于混沌,也有对应的平均版本的研究.1 9 9 4年,文献1 5 从概率理论中介绍了一种类似于平均版本的L i-Y o r k e混沌,称为d i s t r i b u t i o n a l混沌.2 0 0 6年,文献1 6 证明D e v a n e y混沌不能推出平均L i-Y o r k e混沌.2 0 1 4年,文献1 7 提出平均L i-Y o r k e混沌等价于D C 2混沌,而平均L i-Y o r k e混沌不能推出正熵(具体见文献1 8-1 9).2 0 1 7年,文献2 0 给出平均P r o x i m a l对和平均L i-Y o r k e混沌之间的关系.从定义可以看出F e l d m a n-K a t o k度量也是一种平均意义上的度量,因此本文利用F e l d m a n-K a t o k度量定义一种新的平均版本的L i-Y o r k e混沌(即F KL i-Y o r k e混沌).并且,研究了它的性质,得到下面的结果:定理1 如果一个拓扑动力系统(X,T)是F K敏感的,且存在(p,q)XX是F KP r o x i m a l对,其中p是周期点q是传递点,则(X,T)是F KL i-Y o r k e混沌的;并且这里存在一个正数和X的子集K(可数康托集的并集),使得K是一个F KL i-Y o r k e集(模).注1 定理1中的名词解释具体看第二节基础知识部分.2 基础知识本节主要介绍动力系统中的一些基础定义以及在F e l d m a n-K a t o k度量下的一些定义.一个点xX被称为传递点,如果它的轨道在X中稠密,等价于 Tnxn0=X.一个点的周期为n,如果Tnx=x;一个点的最小正周期为n,如果对于1in-1,Tnx=x但Tixx.下面给出具体的F e l d m a n-K a t o k度量的定义:令(X,T)是一个X上具有度量d的T D S,对x,yX和n 定义一个x和y的匹配的保序变换(即(i)(j),ij):D()R().这里的D(),R()0,1,n-1,并且对每个iD()有d(Tix,T(i)y)0,fn,(x,y)0,存在0,当d(x,y)时,dF Kn(x,y)0,由T是一个连续映射,知道存在1.当d(x,y)1时,对i=0,1,n-1有d(Tix,Tiy).取=i d(i)=i,i=0,1,n-1),对i=0,1,n-1,有d(Tix,T(i)y)=d(Tix,Tiy)0,fn,(x,y)=00完成证明.在文献2 0 中G a r c i a-R a m o s和J i n关于平均度量,引入了平均L i-Y o r k e混沌和平均P r o x i m a l对的定义.因此,类似地在F e l d m a n-K a t o k度量下也给出F KP r o x i m a l对和F K L i-Y o r k e混沌的定义如下:定义1 称点对(x,y)XX为F KP r o x i m a l对,如果l i mni n fdF Kn(x,y)=0.一个拓扑动力系统01大 学 数 学 第3 9卷(X,T)是F KP r o x i m a l的,如果每个点对(x,y)XX为F KP r o x i m a l对.定义2 称点对(x,y)XX为F KL i-Y o r k e对(模),如果(x,y)是F KP r o x i m a l对且满足l i mns u pdF Kn(x,y)()0.X的子集S称为F KL i-Y o r k e集(模),如果对xyS,(x,y)为F KL i-Y o r k e对(模).如果(X,T)具有不可数F K L i-Y o r k e集,则称(X,T)为F K L i-Y o r k e混沌的.类似地,下面给出F K敏感的定义:定义3 称动力系统(X,T)是F K敏感的,如果0,对每个xX和每个0,有yB(x,)满足l i mns u pdF Kn(x,y).3 F e l d m a n-K a t o k度量下L i-Y o r k e混沌和P r o x i m a l对本节主要对本文最重要的一个定理 定理1进行证明.在证明定理1之前,需要介绍一个M y c i e l s k i引理2 1.引理2(M y c i e l s k i引理)2 1 令Y是一个没有孤立点的紧度量空间,C是YY的一个对称稠密的G子集.则存在一个稠密的子集KY,它是可数康托集的并集,使得KKCY.接下来开始证明定理1.证 设d为X上的度量,由于(X,T)是F K敏感的,故0,对于每个xX和每个0,有yB(x,),满足l i mns u pdF Kn(x,y),令=20且D=(x,y)XXl i mNs u pdF KN(x,y).注意到D能够被写为如下形式:D=m=1l=1nl(x,y)XX:dF Kn(x,y)-1m,令W=(x,y)XXdF Kn(x,y)-1m,下证W是开集.设(x,y)W,则dF Kn(x,y)-1m,设dF Kn(x,y)=0,记0-1m+2.由引理1存在1使得当d(x,x1)1,d(y,y1)1时有dF Kn(x,x1)和dF Kn(y,y1)-1m+2-2=-1m.因此有(x1,y1)W,即B(x,y),1)W(其中B(x,y),1)是x和y以1为半径的邻域),则W中的点都是内点,所以W是开集.由上可知D是XX的一个G子集.下证D在XX中是稠密的,反设D在XX中不是稠密的,则0和x,zX,对每个yB(x,)有l i mNs u pdF KN(y,z),l i mNs u pdF KN(x,z).则对每个yB(x,),有 l i mNs u pdF KN(x,y)l i mNs u p(dF KN(x,z)+dF KN(z,y)l i mNs u pdF KN(x,z)+l i mNs u pdF KN(z,y)+=.这与(X,T)是F K敏感的矛盾,因此D在XX中是稠密的.故D是XX的一个稠密子集.令PF K=(x,y)XXl i mNi n fdF KN(x,y)=0为所有XX的F KP r o x i m a l对的集合.则PF K可写为11第3期 高昆梅,等:F e l d m a n-K a t o k度量下L i-Y o r k e混沌和P r o x i m a l对PF K=m=1l=1nl(x,y)XXdF Kn(x,y)1m,令H=(x,y)XX:dF Kn(x,y)1m,下证H是开集.设(x,y)H,则dF Kn(x,y)1m,设dF Kn(x,y)=0,记012 1m-0,则 01m-2.由引理1存在 1使得当d(x,x 1)1,d(y,y 1)1时有dF Kn(x,x 1)和dF Kn(y,y 1).因此由三角不等式有dF Kn(x 1,y 1)dF Kn(x,y)+dF Kn(x,x 1)+dF Kn(y,y 1)0+20和0jt-1,有l i mNidF KNi(Tn1t+jq,Tn2t+jq)l i mNidF KNi(Tn1t+jq,Tjp)+l i mNidF KNi(Tn2t+jq,Tjp)=0.这意味着(Tn1t+jq,Tn2t+jq)PF K.因此,对0jt-1,PF K在XjXj中是稠密的.由于X=t-1j=0Xj,故存在j使得Xj内部非空,用Aj表示非空Xj的内部.令A=Aj.由于AjAj是开的且由上述知D和PF K在AjAj中是稠密的,因此在AA中也是稠密的.故有PF KD(AA)是AA的对称G稠密子集.由(X,T)是F K敏感的定义,知X是没有孤立点的.又有Aj是开的,所以有Aj也是没有孤立点的.因此,A是一个没有孤立点的空间.应用引理2和上述证明以及L