GV-平坦模.pdf

第5 9卷2 0 2 3年第5期 西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)V o l.5 9 2 0 2 3 N o.5 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)D O I:1 0.1 6 7 8 3/j.c n k i.n w n u z.2 0 2 3.0 5.0 0 6收稿日期:2 0 2 1 1 2 2 0;修改稿收到日期:2 0 2 2 0 4 0 6基金项目:国家自然科学基金资助项目(1 2 0 6 1 0 0 1)作者简介:张晓磊(1 9 8 6),男,山东青岛人,讲师,博士.主要研究方向为同调代数.E m a i l:z x l r g h j 1 6 3.c o mG V-平坦模张晓磊(山东理工大学 数学与统计学院,山东 淄博 2 5 5 0 0 0)摘要:研究G V-平坦模及其盖包理论.利用GV-平坦模给出了DW-环和v o n N e u m a n n正则环新的等价刻画;证明了任意模都有G V-平坦盖;环R是G V-凝聚环当且仅当任意R-模都有GV-平坦预包.通过具体例子区分了GV-平坦模和w-平坦模、G V-凝聚环和w-凝聚环.关键词:G V-平坦模;GV-凝聚环;平坦盖;平坦预包中图分类号:O 1 5 4.2 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 1-9 8 8(2 0 2 3)0 5-0 0 2 9-0 6GV-f l a t m o d u l e sZ HANG X i a o-l e i(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s,S h a n d o n g U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y,Z i b o 2 5 5 0 0 0,S h a n d o n g,C h i n a)A b s t r a c t:T h e GV-f l a t m o d u l e s a n d i t s c o v e r i n g p r o p e r t i e s a r e d i s c u s s e d.T h e DW-r i n g s a n d v o n N e u a m n n r e g u l a r r i n g s a r e c h a r a c t e r i z e d b y u t i l i z i n g GV-f l a t m o d u l e s.I t i s p r o v e d t h a t a n y R-m o d u l e h a s a GV-f l a t c o v e r,a n d a r i n g R i s GV-c o h e r e n t i f a n d o n l y i f a n y R-m o d u l e h a s a GV-f l a t p r e e n v e l o p e.S o m e c o n c r e t e e x a m p l e s a r e g i v e n t o d i s t i n g u i s h GV-f l a t m o d u l e s a n d w-f l a t m o d u l e s,GV-c o h e r e n t r i n g s a n d w-c o h e r e n t r i n g s.K e y w o r d s:GV-f l a t m o d u l e;GV-c o h e r e n t r i n g;f l a t c o v e r;f l a t e n v e l o p e0 引言本文所有的环均指有单位元的交换环.众所周知,平坦模类作为经典同调代数的三大模类之一,对同调代数与环论的发展起着非常重要的作用,例如,利用平坦模类构造模的经典平坦维数和环的弱总体维数;平坦模类也可以刻画v o n N e u m a n n正则环、P r f e r整环和凝聚环等经典环类1.近来,广义平坦模得到了越来越多学者的关注.2 0 1 0年,X i a n g2引入M a x-平坦模并研究了其盖包理论;2 0 1 3年,T a n g3引入强M a x-平坦模并研究了模的强M a x-平坦维数.1 9 9 3年,E n o c h s等4引入并研究了一般环上的G o r e n s t e i n平坦模,进而完备了一般环上的G o r e n s t e i n同调代数理论.星型算子,例如v-算子和t-算子,在经典整环的推广研究中起着关键作用,如M o r i整环既可以看成v-版本的诺特整环,又可以看成t-版本的诺特整环.为 了 研 究 强M o r i整 环,1 9 9 7年,W a n g等5引进整环上的w-算子,并且定义了w-模等相关概念.2 0 1 0年,Y i n等6将文献5 的工作扩展到一般交换环上.自此之后,交换环上w-算子的模理论成为研究交换环论的一种重要方法.2 0 1 4 年,K i m等7引入w-平坦模,并给出了w-内射模的若干等价刻画.随后,W a n g等8证明了R是v o n N e u m a n n正则环当且仅当任意R-模都是w-平坦模;W a n g等9利用w-平坦模引进了环的w-弱总体维数,证明了P v MD恰好是w-弱总体维数至多为1的整环.92西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第5 9卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.5 9 本文利用w-算子从另一个角度推广平坦模,得到了GV-平坦模.我们研究了GV-平坦模的一般性质和盖包性质,特别地,利用GV-平坦模刻画了DW-环、v o n N e u m a n n正则环和GV-凝聚环.由于本文涉及w-算子理论,所以我们首先回顾相关概念1.设J是R的有限生成理想,若自然同态:RJ*=H o mR(J,R)是同构,则称J为G l a z-V a s c o n c e l o s 理想,简称为GV-理想,并且记JGV(R).设M是R-模,定义T o rGV(M)=xM:存 在JGV(R)满 足J x=0.如 果T o rGV(M)=M,则 称M为GV-挠 模;如 果T o rGV(M)=0,则称M为GV-无挠模.一个 GV-无挠模称为w-模,如果对任意JGV(R),都有E x t1R(R/J,M)=0.任意R-模都是w-模的环称为DW-环.2 0 1 9年,T a m e k k a n t e等1 0从模理论 角度给出了DW-环的等价刻画.最近,文献1 1 从同调角度刻画了DW-环,即证明了环R是DW-环当且仅当R的小有限维数至多为1.特别地,半单环、遗传环、K r u l l维数为0的环以及K r u l l维数为1的整环都是DW-环.一个极大w-理想是R的关于包含关系极大的w-理想.所有极大w-理想构成的集 合 记 为w-M a x(R).根 据 文 献 1 定 理 6.2.1 4,集合w-M a x(R)非空且所有的极大w-理想都是素理想.设M是一个GV-无挠 模,定 义Mw=xE(M):存在JGV(R),使得J xM,并称之为M的w-包络,其中E(M)是M的内射包.因此,M是w-模当且仅当Mw=M.R-同态f:AB称为 w-单同态(w-满同态,w-同构),如果对任意mw-M a x(R),都有fm:AmBm是单同态(满同态,同构).序列ABC称为w-正合列,如果对任意mw-M a x(R),AmBmCm是正合列.设M是R-模.若存在有限生成自由F和一个w-满同态g:FM,则称M为有限型的;若存在w-正合序列F1F0M0,其中F0和F1是有限生成自由模,则称M为有限表现型的.1 GV-平坦模若对任意GV-挠模T都有E x t1R(T,M),则称R-模E为GV-内射模.设I是R-理想,若I包含R的一个GV-理想,则称I是弱GV-理想.类似于经典B a e r准则的证明可得,R-模E是GV-内射模当且仅当对任意弱GV-理想I都有E x t1R(R/I,E)=0.对偶地,我们给出GV-平坦模的定义.定义1 设F是R-模.若对任意GV-挠模T都有T o rR1(T,F)=0,则称F为GV-平坦模.所有的GV-平坦模构成R的模类记为FGV.定理1 设F是R-模,则下列结论等价:(1)F是GV-平坦模;(2)对任意弱GV-理想I都有T o rR1(R/I,F)=0;(3)对任意GV-理想J都有T o rR1(R/J,F)=0;(4)对任意弱GV-理想I,乘法同态iI:IRFI F是同构;(5)对任意GV-理想J,乘法同态iJ:JRFI F是同构;(6)设E是R-模的内射余生成子,则H o mR(F,E)是GV-内射模;(7)对任意内射模E,H o mR(F,E)是GV-内射模.证明(1)(2)(3)和(7)(6)显然.(1)(6).假设T是GV-挠模,E是R-模的内射余生成子,则由伴随同构H o mR(T o rR1(T,F),E)E x t1R(T,H o mR(F,E)可得T o rR1(T,F)=0当且仅当E x t1R(T,H o mR(F,E)=0.(2)(7).假 设 对 任 意 弱GV-理 想I,T o rR1(R/I,F)=0.设E是内射R-模,则由伴随同构H o mR(T o rR1(R/I,F),E)E x t1R(R/I,H o mR(F,E)可得:对任意弱GV-理想I,有E x t1R(R/I,H o mR(F,E)=0.从而H o mR(F,E)是GV-内射模.(2)(4).设I是R的弱GV-理想,考虑长正合列0 T o rR1(R/I,F)IRFI F0即可得证.(3)(5).类似于(2)(4).(5)(4).设I是弱GV-理想,则存在GV-理想LI.由此只需证明iI是单同态即可.若iI ni=1aixi=ni=1aixi=0.03 2 0 2 3年第5期 张晓磊:G V-平坦模 2 0 2 3 N o.5GV-f l a t m o d u l e s令J=R a1+R an+L,则J是GV-理想(文献1 命题6.1.9(2).考虑交换图则由条件(5)可得iJ是同构.故在JRF中,ni=1aixi=0.由交换图可知,在IRF中,也有ni=1aixi=0.从而,iI是单同态.】设M是R-模.若对任何w-单同态f:AB,1MRf:MRAMRB仍是w-单同态,则称M为w-平坦模7.R-模M是w-平坦模当且仅当对任意mw-M a x(R),Mm是平坦Rm-模1.关于w-平坦模的更多介绍可参见文献1 2.显然,GV-挠模和平坦模都是w-平坦模.下面例子说明GV-挠模不一定是GV-平坦模.例1 设R=kx1,x2 是域K上的二元多项式环.令J=x1,x2,则根据文献1 例7.6.1可得J是GV-理想,从而R/J是GV-挠模.因为J不是幂等理想,所以T o rR1(R/J,R/J)=J/J20.从而R/J不是GV-平坦模.众所周知,环R是DW-环当且仅当R的GV-理想只有R本身.下面利用GV-平坦模刻画DW-环.定理2 设R是环,则下列结论等价:(1)R是DW-环;(2)任意R-模都是GV-平坦模;(3)GV-平坦R-模的子模是GV-平坦模;(4)平坦R-模的子模是GV-平坦模;(5)任意有限生成理想都是GV-平坦理想.证明(1)(2)(3)(4)(5)显然.(5)(1).设I是R的有限生成理想,J是R的GV-理想.考虑两个短正合列0IRR/I0,0JRR/J0.再由(5)可得T o rR1(R/J