半群I_(n,r)的极大(完全)独立子半群.pdf

年 月第 卷 第 期山 东 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)().收稿日期:基金项目:国家自然科学基金资助项目()贵州师范大学学术新苗基金资助项目(黔师新苗 号).作者简介:罗永贵男副教授硕士生导师.半群 的极大(完全)独立子半群罗永贵 余江慧 肖 坚(贵州师范大学数学科学学院贵阳)摘要设 和 分 别 是 有 限 集 上 的 对 称 逆 半 群 和 对 称 群.对 令 ():()则 ()是对称逆半群 的双边理想.对 再令 ()则 是对称逆半群 的子半群.为了研究半群 的极大(完全)独立子半群的完全分类本文分析了半群 的格林关系及生成关系.首先获得了半群 的(完全)独立子半群的完全分类其次确定了半群 的极大(完全)独立子半群的完全分类最后证明了半群 的极大独立子半群与极大完全独立子半群是一致的.关键词 对称逆半群 对称群 生成关系 极大独立子半群 极大完全独立子半群中图分类号 .文献标识码 :./.预备知识设 是半群 的子半群如果对任意的 存在 使得 可推出 则称 是 的独立子半群.如果对任意的 使得 可推出 或 则称 是 的完全独立子半群.若 是 的真(完全)独立子半群对 的任意(完全)独立子半群 有 可推出 或 则称 是 的极大(完全)独立子半群.对于有限半群的独立子半群的研究一直以来都是半群代数理论的研究热点之一.设自然数 并赋予自然数的大小序.和 分别表示 上的对称群对称逆半群和部分变换半群.对 令 ():()易见 ()是对称逆半群 的逆子半群且对任意的 ()都有()即 ()因而 ()是对称逆半群 的双边理想.记 则称 是 上的部分一一奇异变换半群显然 ().对 令 ()易证 是对称逆半群 的子半群.文献研究了半群 ()独立子半群与其它子半群的结构.文献分析了半群 在夹心运算下独立子半群的完全分类.文献探索了半群 在夹心运算下独立子半群的完全分类.文献描述了保序和降序变换半群的独立子半群的完全分类.文献确定了半群()的独立子半群的完全分类.设 是 的子集 表示集合 上的恒等变换易见恒等变换是幂等元.对任意的 令()()()():则 ()是 ()上的等价关系称 ()为 的核.用 ()表示集合:()称 ()为 的像.设 是半群对任意的 分别用 表示 所在的 类 类 类 类 类.为叙述方便引用 等价关系.在半群 中 有如下刻划:对任意的 有()()()()()().()易见 .对 令 :()则 ()()易见 恰好是 的 个 类.特别地 ():()().对任意的 有 .不难验证在半群 中有如第 期罗永贵等:半群 的极大(完全)独立子半群第 卷下包含关系的双边理想链:()()()()()().任意取 ()令 :使得 ()对任意 做如下定义:():().()当 时 即 :()()且 ()().本文在文献的基础上继续研究半群 的极大独立子半群和极大完全独立子半群获得如下主要结果:定理 对任意的 且 设 是半群 的独立子半群则 有且仅有以下 类:)().定理 对任意的 设 是半群 的完全独立子半群则 有且仅有以下 类:)().命题 对任意的 设 是半群 的极大独立子半群则 有且仅有以下 类:)().命题 对任意的 设 是半群 的极大完全独立子半群则 有且仅有以下 类:)().命题 对任意的 半群 的极大独立子半群与极大完全独立子半群完全一致.本文未定义的术语及符号见文献.主要结果及证明引理 对任意的 有 .引理 对任意的 有 ().引理 对任意的 且对任意的 有 .证 对任意的 设.任取 不妨设.令 第 卷山 东 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 期则 且 从而 且 .由引理 可知()再由 可知 ().注意到 且 可知 .因此 .引理 设 是一个周期半群任意的 使得 是一个幂等元即每个周期半群至少有一个幂等元.特别地有限半群为周期半群.引理 对任意的 设 是半群 的独立子半群且 ()()则 ().证 由 是有限半群且 是半群 的独立子半群可知 是有限半群再由引理 可知 ().若()()令 ():()()则 .设 任取 ()()令 则 且 从而 .易见 且()可知()()()且()()这 与 的极小性矛盾.因此 即 ().引理 对任意 设 是半群 的独立子半群且 ()则 ().证 第一步:证明 ()().对 任取 ()()设 .第 期罗永贵等:半群 的极大(完全)独立子半群第 卷当 时 且 ()当 时任取 ()令 则 且 .由 是半群 的独立子半群可知 .再由 的任意性可知 ()().第二步:证明 ().任取 ()若 ()()由第一步可知 .若 ()()()由引理 可知存在 使得 ()()再由第一步可知 .注意到 是半群 的独立子半群所以 由 的任意性可知 ().由引理 和引理 可以得到下面的推论.推论 对任意的 设 是半群的独立子半群且 ()则 ().引理 对任意的 设 是半群 的独立子半群且()则 ().证 由()可知存在 且 使得 ().易见 ()或 ()由推论 可知 ().引理 对任意的 设 是半群 的独立子半群且 则 .证 由 可知存在 易证!.任取 易知!由 的独立性可知 .再由 的任意性可知 .引理 对任意的 设 ()则)()()()()().引理 对任意的 若 使得 则()且().证 第一步:证明().对任意的()()有 从而 即()()易见 ()().不妨设 ()()()是 ()的 个不同的同余类.对任意的 ()()有()()()故()()即 ().因此对于任意的 有 ()().由 的有限性可知()().若存在 使 得()()则 有 ()()()()这与 ()()矛盾.易见对于任意的 有 ()()且()()因此 ()()即()().再由格林 关系可知().第二步:证明().由 及 引 理 可 知 ()()().再 由 可 知()()从而 ()().由格林 关系可知().引理 对任意的 且 在半群 中有.证 任取 由 是半群的 的有限子群可知!从而 即.第 卷山 东 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 期任取 则存在 使得 .由引理 的结论)可知 ()()().若()则 由 是 的子群可知 这与 矛盾.易见 ()()即 .由引理 可知()且().因此()即 .由 的任意性可知.因此.引理 对任意的 且 是半群 的独立子半群.证 显然 是半群 的子半群.对任意 若 则()!从而 .再由引理 可知 即 .因此 是半群 的独立子半群.引理 设 是半群 的真子半群则 是半群 的独立子半群当且仅当 是半群 的某些子半群的并.定理 对任意的 且 设 是半群 的独立子半群则 有且仅有以下 类:)().证 注意到 ()都是半群 的子半群 ()且 ().由引理 可知()和 都是半群 的独立子半群.再由引理 可知 是半群 的独立子半群.反之设 为半群 的独立子半群下面分以下 种情形讨论:)若 且 ()则由引理 可知 即 .)若 且 ()则由引理 引理 及推论 可知 即 .)若 则 ()若 ()则由推论 可知 ()即 ().)若 则 ()若 ()则 .如果 ()()则对任意的 ()()存在 使得 ()()()这与 矛盾.如果 ()假设存在 使得 且 可知 且 即().由引理 可知 ()这与 矛盾因此 .对任意的 由引理 的证明可知 即 因此 .引理 设 是半群 的真子半群则 是半群 的完全独立子半群当且仅当 是半群 的子半群.特别地若 是半群 的完全独立子半群则 也是半群 的完全独立子半群.引理 若 是半群 的完全独立子半群则 一定是半群 的独立子半群若 是半群 的独立子半群则 不一定是 的完全独立子半群.定理 对任意的 设 是半群 的完全独立子半群则 有且仅有以下 类:)().证 由引理 可知 ()都是半群 的完全独立子半群.对于 令 .其中 且 .易见 但 故 不是半群 的完全独立子半群.反之设 是半群 的完全独立子半群.若 且 ()则由引理 引理 及推论第 期罗永贵等:半群 的极大(完全)独立子半群第 卷 可知 因此 若 且 ()则 若 则 ()由 的独立性及定理 的结论)可知 ()或 .再由 的完全性可知 .因此半群 的完全独立子半群有且仅有 类即 以及 ().引理 对任意的 是半群 的的极大独立子半群.证 由定理 可知 是半群 的独立子半群对半群 的任意独立子半群 有 .若 ()则 故 若 ()则由引理 及推论 可知 .所以 是半群的极大独立子半群.引理 对任意的 ()是半群 的的极大独立子半群.证 由定理 可知 ()是半群 的独立子半群对半群 的任意独立子半群 有 ().若 则 ()即 ()若 则由引理 可知 即 ()是半群 的的极大独立子半群.命题 对任意的 设 是半群 的极大独立子半群则 有且仅有以下 类:)().证 由引理 和引理 可知 和 ()为半群 的极大独立子半群.反之设 是半群 的极大独立子半群若 且 ()则 若 且 ()则由引理 引理 及推论 可知 ()这与 的极大性矛盾.若 则 ()由 的独立性及定理 的结论)可知 ()或 再由 的极大性可知.因此半群 的极大独立子半群有且仅有 和 ().类似于命题 的证明可以得到如下命题 与命题:命题 对任意的 设 是半群 的极大完全独立子半群则 有且仅有以下 类:)().证 类似命题 的证明可得半群 的极大完全独立子半群有且仅有 和 ().命题 对任意的 半群 的极大独立子半群与极大完全独立子半群完全一致.证 由命题 和命题 的证明可知半群 的极大独立子半群和极大完全独立子半群完全一致.研究展望本文通过分析半群 的格林关系及生成关系获得了半群 的(完全)独立子半群的完全分类.进一步证明了半群 的极大独立子半群与极大完全独立子半群是一致的.在今后的研究中可以进一步考虑以下两个问题:)半群 的秩和平方幂等元秩)半群 的极大(逆)子半群.参考文献 .():.():.():.:.袁月赵平.半群()的独立子半群.西南大学学报:自然科学版():.():.():.():.第 卷山 东 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 期 .:.:.()().():()().()().().().().责任编辑:马合成