32福建中学数学2023年第6期2022年新高考Ⅰ卷圆锥曲线问题的探究徐茂林房元霞山东省聊城大学数学科学学院（252000）本文以2022年新高考Ⅰ卷第21题第一问为例，并将该类问题推广到双曲线的一般情形进行探究，归纳并证明出一般的公式；接着又受2009年辽宁卷第20题的启发，类比推广到椭圆与抛物线的情形；最后，利用圆锥曲线的统一方程，给出一般的公式．1原题呈现例1（2022年新高考Ⅰ卷·21）已知(21)A，在双曲线2222:1(1)1−=>−xyCaaa上，直线l交C于PQ，两点，直线APAQ，的斜率之和为0．（Ⅰ）求l的斜率；（Ⅱ）若tan22∠=PAQ，求PAQ∆的面积．例2（2009年高考辽宁卷·20）已知椭圆C过点3(1)2A，，两个焦点为(10)−，，(10)，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）EF，是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．2推广到一般双曲线2022年新高考Ⅰ卷第21题中双曲线实半轴的长与虚半轴的长有关联，如果没有关系，这个题目的第一问会有一般结论吗？我们带着这个问题，先利用GeoGebra软件进行了探索，发现了双曲线情形的一般结论（或公式）．定理1如图1，设双曲线2222:1(0xyCabab−=>，0)>，点00()Axy，是双曲线上任意一点，直线l交C于PQ，两点，若直线APAQ，的斜率之和为0（或之比为1−），则直线l的斜率2020=−bxtay．若双曲线为2222:1(00)−=>>yxCabab，，则2020=−axtby．本文仅以焦点在x轴上的圆锥曲线为例进行证明，其他情形可类似地讨论（略）．图1直线和双曲线相交图证明由题意，直线APAQ，的斜率都存在，设直线:=+lytxm，直线100:()=−+APykxxy，直线200:()=−+AQykxxy，见图1．联立直线AP与双曲线C的方程，得方程组1002222()(1)=1.(2)ykxxyxyab=−+−，把（1）代入（2）得222222110()(2bakxakx−+222222222101001002)20akyxakxayakxyab−−−+−=．分解因式得22222220110010()[()(2)]0xxbakxakxbxaky−−++−=．因为点P与点A不重合，且直线AP的斜率存在，所以0xx≠，于是2222222110010()(2)0bakxakxbxaky−++−=，解得2222101022212()akyakbxxbak−+=−．此即为P点横坐标，再将其代入直线AP的方程，得到2222222210101010222222112()()2()−++−−−akyakbxakbybkxPbakbak，．因为P点在直线l上，有222222221010101022222211()22()akbybkxakyakbxtmbakbak+−−+=+−−．化简得222222001001()(22)ayaxtamkbxaytk++−+22200()0bybxtbm++−=．同理，联立直线AQ与双曲线C得2200(ayaxt...
