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2022
新高
圆锥曲线
问题
探究
32 福建中学数学 2023年第6期 2022 年新高考年新高考卷圆锥曲线问题的探究卷圆锥曲线问题的探究 徐茂林 房元霞 山东省聊城大学数学科学学院(252000)本文以 2022 年新高考卷第 21 题第一问为例,并将该类问题推广到双曲线的一般情形进行探究,归纳并证明出一般的公式;接着又受 2009 年辽宁卷第 20 题的启发,类比推广到椭圆与抛物线的情形;最后,利用圆锥曲线的统一方程,给出一般的公式 1 原题呈现原题呈现 例例 1(2022 年新高考卷21)已知(2 1)A,在双曲线2222:1(1)1=xyCaaa上,直线l交C于P Q,两点,直线AP AQ,的斜率之和为 0()求l的斜率;()若tan2 2=PAQ,求PAQ的面积 例例 2(2009 年高考辽宁卷 20)已知椭圆C过点3(1)2A,两个焦点为(1 0),(1 0),()求椭圆C的方程;()E F,是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值 2 推广到一般双曲线推广到一般双曲线 2022 年新高考卷第 21 题中双曲线实半轴的长与虚半轴的长有关联,如果没有关系,这个题目的第一问会有一般结论吗?我们带着这个问题,先利用 GeoGebra 软件进行了探索,发现了双曲线情形的一般结论(或公式)定理定理 1 如图 1,设双曲线2222:1(0 xyCabab=,0),点00()A xy,是双曲线上任意一点,直线l交C于P Q,两点,若直线AP AQ,的斜率之和为0(或之比为1),则直线l的斜率2020=b xta y若双曲线为2222:1(00)=yxCabab,则2020=a xtb y 本文仅以焦点在x轴上的圆锥曲线为例进行证明,其他情形可类似地讨论(略)图 1 直线和双曲线相交图 证明证明 由题意,直线AP AQ,的斜率都存在,设直线:=+l ytxm,直线100:()=+AP yk xxy,直线200:()=+AQ ykxxy,见图 1 联立直线AP与双曲线C的方程,得方程组 1002222()(1)=1.(2)yk xxyxyab=+,把(1)代入(2)得222222110()(2ba kxa k x+222222222101001002)20a k yxa k xa ya k x ya b+=分解因式得 22222220110010()()(2)0 xxba kxa k xb xa k y+=因为点P与点A不重合,且直线AP的斜率存在,所以0 xx,于是 2222222110010()(2)0ba kxa k xb xa k y+=,解得 2222101022212()a k ya kbxxba k+=此即为P点横坐标,再将其代入直线AP的方程,得到 2222222210101010222222112()()2()+a k ya kbxa kbyb k xPba kba k,因为P点在直线l上,有 222222221010101022222211()22()a kbyb k xa k ya kbxtmba kba k+=+化简得222222001001()(22)a ya x ta m kb xa y t k+22200()0b yb x tb m+=同理,联立直线AQ与双曲线C得2200(a ya x t+2222222200200)(22)()0a m kb xa y t kb yb x tb m+=所以直线AP与AQ的斜率12k k,是以下方程的两个根,该方程为222222000()(22a ya x ta m kb xa+222000)()0y t kb yb x tb m+=根据韦达定理有 O x l Q A y P 2023年第6期 福建中学数学 33 2200122220022b xa y tkka ya x ta m+=+又120kk+=,所以2200220b xa y t+=因此得到直线l的斜率2020b xta y=注注 1 对于 2022 年新高考卷第 21 题,易得双曲线方程为2212xy=,代入2200abxy,得到斜率1t=3 推广到椭圆与抛物线情形推广到椭圆与抛物线情形 上一节已知这个问题对于双曲线有一般结论受 2009 年辽宁卷第 20 题的启发,我们继续探索椭圆和抛物线的情形,也发现了一般公式(证明略)定理定理 2 如图 2,设椭圆2222:1(0)+=xyCabab,点00()A xy,是椭圆上任意一点,直线l交C于P Q,两点,若直线AP AQ,的斜率之和为0(或之比为1),则l的斜率2020=b xta y若椭圆为2222:1yxCab+=(0)ab,则2020=a xtb y 定理定理 3 如图 3,设抛物线2:2=C ypx,点00()A xy,是抛物线上任意一点,直线l交C于P Q,两点,若直线AP AQ,的斜率之和为 0(或之比为1),则l的斜率0=pty 若抛物线为2:2=C xpy,则0=xtp 图 1 直线和椭圆的相交图 图 3 既然三种圆锥曲线中都有一般的公式,圆锥曲线有运用离心率的统一定义、方程,如果从统一的角度进一步考虑这个问题,我们相信:应该会有统一的结论 4 推广到圆锥曲线的一般公式推广到圆锥曲线的一般公式 根据圆锥曲线的统一方程2222(1)2exype x+220p e=(当01e时,表示双曲线;当1e=时,表示抛物线),我们得到如下一般结论:定理定理 4 设圆锥曲线2222:(1)2Cexype x+220p e=,点00()A xy,是圆锥曲线上任意一点,直线l交C于P Q,两点,若直线AP AQ,的斜率之和为0(或之比为1),则l的斜率2200(1)expety=当圆锥曲线C的焦点在y轴时,0220(1)xteype=证明证明 因为点A在圆锥曲线C上,所以 222222000(1)20exype xp e+=联立直线AP与圆锥曲线C的方程:100222222()(3)(1)20.(4)yk xxyexype xp e=+=,将(3)代入(4)得222211010(1)(22+ekxk yk x 2222221001002)20+=pexk xyk x yp e 化简该方程得22201010()(1)(xxekxxk x+2201022)0e xk ype+=因为点P与点A不重合,且直线AP的斜率存在,所以0 xx,则 222221010010(1)(22)0ekxxk xe xk ype+=,2221010221(1)221kexk ypexek+=+,此即为P点横坐标,代入直线AP的方程,得到 2221010221(1)221Pkexk ypexek+=+,2222101012212(1)(1)21Pek xkeype kyek+=+因为P点在直线l上,有 2222101012212(1)(1)21+ek xkeype kek 2221010221(1)221+=+kexk ypetmek 化简得22200100()(222yx tm ke xxpe+22220100002)(2)0y t kye ytxe txptemme+=同理,联立直线AQ与曲线C,进行类似计算可得 2220020002()(2222)+yx tm ke xxpey t k 22220000(2)0+=ye ytxe txptemme 所以直线AP与AQ的斜率12k k,是以下方程的两个根该方程为 22200000()(2222)+yx tm ke xxpey t k Q O l x P A y A y P O l x Q 34 福建中学数学 2023年第6期 22220000(2)0+=ye ytxe txptemme 由韦达定理,得 2200012002222e xxpey tkkyx tm+=+又120kk+=,得到2200022220e xxpey t+=,于是直线l的斜率2200(1)expety=可以计算:(1)当01e,圆锥曲线是双曲线时,直线l的斜率2200200(1)exb xtya y=(3)当1e=,圆锥曲线是抛物线时,直线l的斜率22000(1)expeptyy=可以证明,定理 4 的结论对于圆也成立,此时0e=,直线l的斜率00 xty=中点为中点为“引引”,等线段为,等线段为“道道”2022 年南通中考填空压轴题的解法探究与教学反思 张浩杰 章礼满 江苏省南通市海门区东洲国际学校(226100)近期研究 2022 年南通中考试题第 18 题,发现该题几何构图巧妙,内涵丰富 根据题中已知条件,不同学力的学生,立足于自己的认知结构,可以形成多样的解法探究的过程,产生颇多感悟,与大家分享交流 1 试题呈现试题呈现(2022 年南通中考卷18)如图 1,点O是正方形ABCD的中心,3 2=ABt BEFR中,90=BEF,EF过点D,BE BF,分别交AD CD,于点G M,连接OE OM EM,若=BGDF,tanABG 13=,则OEM的周长为_ 图 1 2 思路分析思路分析 从解决的问题看,求OEM的周长,基本思路1,整体角度,图中是否存在与之相似的三角形,利用相似三角形的性质解决;基本思路2,转化角度,让OEM的三边与已知线段之间分别建立联系,转化为定量计算问题 从已知的条件看,正方形与直角三角形为背景,获知两个基本几何图形的性质,结合“点O是正方形ABCD的中心”,辅助线BD的添加水到渠成,进而发现12=OEBD,点A B C D E,共圆等有效信息,由于正方形的边长已知,则可求OE的长对于线段OM EM,是否也能寻找出与之相关联的线段?思路的顺延,EM是否为t BEFR斜边上的中线?OM是否为BDF的中位线?由此问题解决的聚焦为点M是否为线段BF的中点 结合已知条件=BGDF,对于数量“有关系”、空间“有距离”的两条相等线段,如何建立有效联系?如何为证明点M是线段BF中点铺路架桥?这是本题的难点所在,也是最能体现几何思维“质量”的关键所在根据以上分析,我们一起围绕条件=BGDF,深入探寻解法 3 解法探究解法探究.3 1 全等构全等构造,转移等线段造,转移等线段 方法方法 1 如图 2,连接BD,过点F作FNDC,垂足为N因为点O是正方形ABCD的中心,所以点O是BD中点又因为/ADNF,所以EDG=DFN由=ABGEDG,得=ABGDFN,可证ABGNFD,所以=ABNFGB,AG=DN因为NFBC/,可证NFMCBM,所以MFE DC B A OG