EP寿命分布的图像特征.pdf

EP 寿命分布的图像特征绎尹真真袁徐晓岭袁顾蓓青渊上海对外经贸大学统计与信息学院袁 上海201620冤摘要院针对指数-泊松分布袁 首先袁 结合已知定理证明了该分布各阶矩 E 渊xk冤 的存在性曰 其次袁 研究了分布的变异系数尧 偏度等数字特征与峰度 姿 参数的相关关系曰 最后袁 研究了分布失效率函数尧 平均失效率函数和平均剩余寿命函数等的图像特征袁 并证明了可靠性函数的单调性遥 得到了如下结论院 指数-泊松分布的各阶矩存在曰 该分布的数字特征仅与参数 姿 有关袁 与参数 茁 无关曰 失效率函数和平均失效率函数单调递减袁 平均剩余寿命函数单调递增遥关键词院指数-泊松分布曰 数字特征曰 寿命特征中图分类号院 TB 114.3文献标志码院 A文章编号院 1672-5468 渊2023冤 03-0035-06doi:10.3969/j.issn.1672-5468.2023.03.007Image Features of EP Lifetime DistributionYIN Zhenzhen袁 XU Xiaoling袁 GU Beiqing渊School of Statistics and Information袁 Shanghai University of International Business and Economics袁Shanghai 201620袁 China冤Abstract院For the Exponential-Poisson distribution袁 the existence of every moment E渊xk冤 of thedistribution is first proved by combining the known theorems.Secondly袁 the correlation betweenthe numerical characteristics of coefficient of variation袁 skewness and kurtosis and the parameter 姿of the distribution is studied.Finally袁 the image features of failure rate function袁 average failurerate function and average remaining life function are studied袁and the monotonicity of thereliability function is improved.The following conclusions are obtained院 the Exponential-Poissondistribution爷s moments exist曰 the numerical characteristics of the distribution are only related tothe parameter 姿袁 but have nothing to do with the parameter 茁曰 the failure rate function and theaverage failure rate function decrease monotonically袁 and the average remaining life functionincreases monotonically.Keywords院Exponential-Poisson distribution曰 digital features曰 life characteristics绎基金项目院 国家自然科学基金项目 渊11671264冤 资助遥收稿日期院 2020-03-20作者简介院 尹真真 渊1998要冤袁 女袁 山东济宁人袁 上海对外经贸大学统计与信息学院硕士研究生袁 研究方向为数理统计遥电 子 产 品 可 靠 性 与 环 境 试 验耘蕴耘悦栽砸韵晕陨悦 孕砸韵阅哉悦栽 砸耘L陨粤月陨蕴I栽再 粤晕阅 耘晕灾陨R韵晕酝耘晕栽粤蕴 栽耘杂栽陨晕郧可靠性与环境适应性理论研究0引言近年来袁 由比较经典的离散型分布和寿命分布复合成的一种新型寿命分布受到统计学及寿命分布研究领域的广泛关注遥 由于具有单调失效率的寿命分布通常可以用来模拟生存分析尧 保险精算和可靠性等领域的寿命数据袁 因而有关这类分布的研究引起了国内外统计学家的兴趣遥 2007 年袁 Kus 在文献 1 中通过复合零截断泊松分布和指数分布得阅陨粤晕在陨 悦匀粤晕孕陨晕 运耘运粤韵X陨晕郧 再哉 匀哉粤晕允I晕郧 杂匀陨再粤晕35电子产品可靠性与环境试验阅陨粤晕在陨 悦匀粤晕孕陨晕 运耘运粤韵X陨晕郧 再哉 匀哉粤晕允I晕郧 杂匀陨再粤晕电子产品可靠性与环境试验2023 年到了一种新的失效率降低的双参数分布即指数-泊松分布 渊简称 EP 寿命分布冤袁 并利用 EM 算法确定了参数的极大似然估计遥 徐凌云等在文献 2尧张丽等在文献 3尧 Xu 等在文献 4 中袁 研究了在不同损失函数下指数-泊松分布参数的 Bayes 估计问题遥 杜伟娟在文献 5 中讨论了寿命分布参数的经验 Bayes 估计的检验问题遥1指数-泊松分布Coskun Kus 将零截断泊松分布和指数分布复合得到一种失效率递减的新型寿命分布袁 简称为EP 寿命分布遥 设随机变量 X 服从 EP 寿命分布袁记作 XEP 渊姿袁 茁冤袁 其分布函数和密度函数分别为院F 渊x冤=1-exp-姿+姿exp 渊-x/茁冤1-exp 渊-姿冤渊1冤f 渊x冤=姿茁exp-姿+x/茁+姿exp 渊-x/茁冤1-exp 渊-姿冤渊2冤式 渊1冤 渊2冤 中院 茁要要要尺度参数曰姿要要要形状参数袁 x袁 姿袁 茁0遥若 x 0袁姿 寅0+袁则lim姿寅0+F 渊 x冤=lim姿寅0+1-exp-姿+姿exp 渊-x/茁冤1-exp 渊-姿冤=1-exp 渊-x/茁冤袁 即随机变量 X 服从均值为 茁 的指数分布袁 记作 Xexp 渊1/茁冤袁 故 EP 寿命分布可以作为指数分布的一种拓展遥2EP 分布的数字特征引理 16院 设 g 渊x冤 是 a袁+肄冤 上的非负函数袁 且对任何 ba袁 g 渊x冤在 a袁 b 上可积袁 如果limx寅+肄lng 渊x冤lnx=p袁 当-肄臆p-1 时袁+肄a乙g渊x冤dx收敛曰 当-10冤上连续袁 所以g渊x冤 在 0袁 b 上可积遥因为limx寅+肄lng渊x冤lnx=limx寅+肄klnx-x/茁+姿exp 渊-x/茁冤lnx=limx寅+肄1茁k茁-x-姿xexp 渊-x/茁冤=-肄由引理 1 可知袁+肄0乙g 渊x冤 dx 收敛袁 从而E 渊Xk冤 存在袁 k=1袁 2袁 3袁 噎遥由定理 1 可知袁 随机变量 X 的期望 E 渊X冤 及其方差 Var 渊X冤 都存在遥一阶矩院E 渊X冤=姿exp渊-姿冤1-exp渊-姿冤+肄0乙x茁exp-x/茁+姿exp 渊-x/茁冤dx=姿茁exp渊-姿冤1-exp渊-姿冤+肄0乙yexp-y+姿exp 渊-x/茁冤 dy渊3冤二阶矩院E 渊X2冤=姿茁exp渊-姿冤1-exp渊-姿冤+肄0乙渊x茁冤2exp-x/茁+姿exp渊-x/茁冤dx=姿茁2exp渊-姿冤1-exp渊-姿冤+肄0乙y2exp-y+姿exp渊-y冤dy渊4冤方差院Var 渊X冤=茁2姿exp渊-姿冤1-exp渊-姿冤+肄0乙y2exp-y+姿exp 渊-y冤dy-姿exp渊-姿冤1-exp渊-姿冤+肄0乙yexp 渊-y+姿exp 渊-y冤冤 dy2渊5冤变异系数院CV=Var渊X冤姨E渊X冤=exp渊姿冤-1+肄0乙y2exp-y+姿exp 渊-y冤 dy姿 渊+肄0乙yexp-y+姿exp 渊-y冤 dy冤2-1渊6冤偏度院Skew=E X-E渊X冤3Var渊X冤3/2=姿exp渊-姿冤Var渊Y冤3/2渊1-exp渊-姿冤冤+肄0乙y-E渊Y冤3exp-y+姿exp 渊-y冤 dy渊7冤峰度院Krut=E X-E渊X冤4Var渊X冤2=姿exp渊-姿冤Var渊X冤2渊1-exp渊-姿冤冤+肄0乙y-E渊Y冤4exp-y+姿exp 渊-y冤 dy渊8冤由以上表达式可知袁 EP 分布的变异系数尧 偏度和峰度的值仅与参数 姿 有关袁 而与参数 茁 无关遥36阅陨粤晕在陨 悦匀粤晕孕陨晕 运耘运粤韵X陨晕郧 再哉 匀哉粤晕允I晕郧 杂匀陨再粤晕第 3 期当 茁=1 时袁 随机变量 X 的变异系数尧 偏度尧 峰度关于 姿 的图像如图 1 所示遥3EP 寿命分布的图像特征定理 2院 对于所有的参数值袁 EP 分布的密度函数有如下两个结论遥1冤lim姿寅0+f渊x冤=姿茁 1-exp 渊-姿冤袁limx寅+肄f渊x冤=0曰2冤 密度函数 f渊x冤递减遥证明院1冤EP 分 布 的 密 度 函 数 为 f 渊 x冤=姿茁exp-姿-x/茁+姿exp渊-x/茁冤1-exp渊-姿冤渊9冤则lim姿寅0+f 渊x冤=姿茁exp-姿-x/茁+姿exp渊-x/茁冤1-exp渊-姿冤=姿茁1-exp渊-姿冤渊10冤limx寅+肄f渊x冤=limx寅+肄姿茁exp-姿-x/茁+姿exp渊-x/茁冤1-exp渊-姿冤=0渊11冤2冤 f 渊x冤=姿exp-姿-x/茁+姿exp渊-x/茁冤茁1-exp渊-姿冤渊-1茁冤1+姿exp 渊-x/茁冤=-姿exp-姿-x/茁+姿exp渊-x/茁冤茁21-exp渊-姿冤1+姿exp 渊-x/茁冤 0渊12冤则 f 渊x冤 0袁则 h 渊x冤 单调递增曰 若对所有 x 有 浊 渊x冤 0袁 故 浊 渊x冤 0袁则 h 渊x冤 单调递减袁 即 EP 寿命分布的失效率函数随着 x 的增大而减小遥下面给出参数 茁=1袁 姿=1袁 2袁 3 时袁 失效率函数 h 渊x冤 的图像袁 如图 3 所示遥定理 4院 如果随机变量 XEP 渊姿袁 茁冤袁 则平均失效率函数 h渊x冤有如下两个结论遥1冤limx寅0+h渊x冤=姿茁 1-exp渊-姿冤袁limx寅+肄h渊x冤=1茁曰2冤 平均失效率函数 h渊x冤单调递减遥证明院1冤 随机变量 X 的平均失效率函数 h渊x冤为 h渊x冤=-1xln1-F渊x冤=-1xlnexp-姿+姿exp渊-x/茁冤exp渊-姿冤1-exp渊-姿冤渊16冤则limx寅0+h渊x冤=limx寅0+-1xln exp-姿+姿exp渊-x/茁冤-exp渊-姿冤1-exp渊-姿冤=姿茁limx寅0+exp-x/茁+姿exp渊-x/茁冤exp姿exp渊-x/茁冤-1=姿茁1-exp渊-姿冤渊17冤limx寅+肄h 渊x冤=limx寅+肄-1xln exp-姿+姿exp渊-x/茁冤-exp渊-姿冤1-exp渊-姿冤=姿茁limx寅+肄exp-x/茁+姿exp渊-x/茁冤exp姿exp渊-x/茁冤-1=姿茁limx寅+肄1+姿exp渊-x/茁冤姿=1茁渊18冤2冤 h 渊x冤=1x2 ln 渊exp姿exp渊-x/茁冤-exp渊-姿冤1-exp渊-姿冤冤-exp姿exp渊-x/茁冤姿xexp渊-x/茁冤茁1-exp渊姿exp渊-x/茁冤冤冤=1x2ln 渊1-exp姿exp渊-x/茁冤1-exp渊-姿冤冤-exp姿exp渊-x/茁冤姿xexp渊-x/茁冤茁1-exp渊姿exp渊-x/茁冤冤渊19冤因为 0exp 渊-x/茁冤1袁 所以 姿exp 渊-x/茁冤 姿袁ln 渊1-exp姿exp渊-x/茁冤1-exp渊-姿冤冤 1袁则1-exp 姿exp 渊-x/茁冤 0袁exp姿exp渊-x/茁冤姿xexp渊-x/茁冤x茁1-exp渊姿exp渊-x/茁冤冤0袁 b 渊 x冤=姿exp 渊-x/茁冤+1-exp姿exp渊-x/茁冤则 b渊x冤=姿exp渊-x/茁冤exp渊姿exp渊-x/茁冤-1冤茁遥 因为 b渊x冤0袁 即 b渊x冤单调递增袁 且limx寅+肄b渊x冤