Rastall引力中的球对称解.pdf

第52 卷第3期2023年6 月D0I:10.3969/J.ISSN.1000-5137.2023.03.010上海师范大学学报（自然科学版）Journal of Shanghai Normal University(Natural Sciences)Rastall引力中的球对称解Vol.52,No.3Jun.,2 0 2 3奚萍，代彬彬，盛磊，付林圣（上海师范大学数理学院，上海2 0 0 2 34）摘要：研究了在时空背景中充满正压物质的情况下,Rastall引力中的球对称解.首先，研究了时空背景中均匀分布着压强为0 的物质的情形.在入=2/3时，找到一个Rastall引力中的球对称解析解，这个解中的时间分量是一个常数，空间的径向分量是一个含r的函数.这个解可以描写四维时空中的“尘埃球”.其次，研究了时空背景中任意分布着正压物质的情形.用数值方法求解Rastall引力场方程和描写能动张量和曲率标量之间关系的方程.数值结果表明，球对称的引力势空间分布极其复杂，但在r趋于无穷时引力势的时间分量和空间分量均趋于1.关键词：Rastall引力；球对称解；正压物质中图分类号：0 412.1文献标志码：ASpherically symmetric solutions in Rastall gravity文章编号：10 0 0-5137(2 0 2 3)0 3-0 347-0 5XI Ping,DAI Binbin,SHENG Lei,FU Linsheng(Mathematics and Science College,Shanghai Normal University,Shanghai 200234,China)Abstract:In this paper,we consider the spherically symmetric solutionstothe field equation of Rastall gravity in the backgroundof positive pressure matter.Firstly,we study the spherically symmetric solution in Rastall gravityin the background of matter withzero pressure uniformly distributed.An analytical solution is obtained as A=2/3,the time component of which is a constant,andthe radial component of which is a function of r.This solution can describe a dust sphere in the four-dimensional spacetime.Secondly,we investigate the numerical solution of the Rastall gravitational field equation and the equation describing therelationship between the energy-momentum tensor and the Ricci scalar in the background of positive pressure matter arbitrarilydistributed.The numerical results show that the spherically symmetrical gravitational potential is extremely complicated.Fortunately,the time and space components of the gravitational potential tend to 1 as r approaches infinity.Key words:Rastall gravity;spherically symmetric solutions;positive pressure matter0引言1972年,RASTALL提出了一个基于爱因斯坦引力的修正引力理论,认为爱因斯坦引力理论中的收稿日期：2 0 2 3-0 3-2 8作者简介：奚萍（197 5一），女，副研究员，主要从事引力、黑洞和宇宙学方面的研究.E-mail：x i p i n g s h n u.e d u.c n引用格式：奚萍，代彬彬，盛磊，等.Rastall引力中的球对称解J.上海师范大学学报（自然科学版），2 0 2 3,52（3）：347-351.Citation format:XI P,DAI B B,SHENG L,et al.Spherically symmetric solutions in Rastall gravity J.Journal ofShanghai Normal University(Natural Sciences),2023,52(3):347-351.(2)348能动张量守恒条件在弯曲时空中失效，并提出能动张量的协变导数与曲率标量的梯度成正比，即T.R人们将这个基于爱因斯坦引力的能量不守恒的引力理论称为Rastall引力.当能动张量的协变导数与曲率标量的梯度之间的比例系数采用形式时(其中入是Rastall引力参数)2 ,Rastall引力中16元G的场方程在几=1时恢复到爱因斯坦引力中的场方程.显然，这个理论是一个比爱因斯坦引力理论更一般的引力理论3。近年来,对Rastall引力框架中的球对称解的研究引起了大家的关注.2 0 16 年，OLIVEIRA等4 研究了Rastall 引力中的真空球对称解,发现这个解的结构与爱因斯坦引力中的德西特史瓦西解的结构一样，即这个解可以描写德西特史瓦西黑洞时空.2 0 17 年，HEYDARZADE等5 在Rastall引力框架中研究了存在宇宙学常数的时空背景下的一组球对称解，这些球对称解的结构类似于带电史瓦西解和(反)德西特史瓦西解.那么，如果背景时空中分布的物质是一般正压物质,Rastall引力中的球对称解又是怎么样的呢？本文研究了在时空背景中充满正压物质的情况下,Rastall引力中的球对称解.首先,研究了时空背景中均匀分布着压强为零的物质的情形下Rastall引力的球对称解,得到一个球对称解析解,这个解可以描写四维时空中的尘埃球”.其次,研究了时空背景中任意分布着正压物质的情形下Rastall引力的球对称解，数值结果表明该球对称引力势极其复杂，但当r趋于无穷远时，引力势的时间分量和空间分量均趋于1.1Rastall引力理论Rastall引力是一个基于爱因斯坦引力的能量不守恒的修正引力理论 .该理论中的能动张量Tw满足如下关系2 ;(1)R16元G其中,R是里奇标量，是Rastall引力参量，G为引力常数.相应的Rastall引力场方程为：其中,R是里奇张量，gm,是度规张量.显然，当入=1时，式（2)就变成了爱因斯坦引力中的场方程.假定背景时空中充满了理想流体：(3)其中,p(r),p(r)和U分别是理想流体的密度、压强和四速度.四速度U采用(1,0,0,0)形式,其中=0,1,2,3.2Rastall引力中的球对称解采用一般的球对称时空度规：其中,t、r、0 和是四维时空的球坐标分量,分别表示时间、径向距离和两个角。结合方程(3)和(4),方程(1)和(2)可以写成如下形式：-3元-1=8元GA?(r)2(1-2.元)上海师范大学学报（自然科学版）J.Shanghai NormalUniv.（Na t.Sc i.）ds?=-B(r)dt?+A(r)dr?+r?(de?+sin?dp),2023年1-元1-2V.TT=p(r)+p(r)jUU-p(r)g,p(r)+2(1-2.元)(4)3(-1)(5)第3期rA(r)2A(m)4.A(r)B(r)2其中，“是对r求一阶导，“是对r求二阶导。将p(r),p(r)和r进行无量纲化：则方程(5)(8)变为如下无量纲方程组：A(n)11.1+2A(r)rA(n)r2B(r)2.A(n)4A(r)B(r)22P)Bn)A(n)2.A(r)B(r)2.1背景时空中均匀分布着压强为零的物质的情形在这种情形下,p(r)=0,及p(r)=(是一个常数),则相应的无量纲方程(9)(12)变为：rA(r)A(r)A(r)2(1-2.元),奚萍，代彬彬，盛空磊，等：Rastall引力中的球对称解rB(n)1-入8元GA(r)A(r)B(r)r?B(r)r2 A(r)B(r)4A(r)B(r)p()B(n)A(r)2.A(r)B(n)p(r)(8元G)p(r),p(r)(8元G)p(r),r11r A(r)B(r)4A2(r)B(r)3491+元(6)2(1-22)2(1-2rB(n)rB(r)=8元G2.A(r)B(r)2.A(r)B(r)1-元3p(r)-p(n)p(r)+p(r)=2(1-2.元)rA(n)3元-1A(n)2(1-2.元)rB(r)1-元A(r)B(r)2(1-2)(n),rB(n)r2B(n)2.A(r)B(r)2A(r)B(r)1-元3p(r)-p(n)p(r)+p(n)2(1-2.2)3元-11-元2(1-2.2)A(n)8元G3(-1)2(1-2.元)1+元2(1-2)P(),1-元2(1 2.2)A(n)1+元2(1-21)P(n)(7)(8)(9)(10)1+元p(r),(11)2(1-2.元)(12)(13)rBn)1A(r)2rA(n)r2B(r)2A(n)4A(r)B(r)22由方程(16)得:B(r)=(是一个常数).当几=3应的球对称解为：1ds?=-dt2+12a21-元A(r)B(r)2(1-2元),r?A(r)B(n)rB()4A(r)B(r)2.A(r)B(r)B)=0.B()2时,通过方程(13)(15),得到A-(r)=1-2dr?+r?(do?sin?0 dp?).(14)r2B(n)1-元2A(r)B(n)2(1-2元)(15)(16)r2.因此,相(17)这个解的结构与温伯格在广义相对论中讨论的“尘埃球 的内部时空结构类似6 .当球对称解（17)中的值取为1或t一t时,该修正解就与“尘埃球 的非缩解一致，即在“尘埃球 的内部时空度规的参数=2 n（n=1,2,3，）的解6 .又因为现在讨论的是在背景时空中均匀分布着压强为0 的物质的情形，1-元该情形的里奇标量和能动张量的迹均为常量,且,TW=R=0,而入对1的偏离部分可以被能动16元G350张量所吸收，这样Rastall场方程回归到爱因斯坦场方程.在这种情况下，修正解可以解释为四维时空中的一个“尘埃球”,其外部时空几何用史瓦西度规描写.2.2背景时空中任意分布着正压物质的情形在这种情形下,取边值条件：当r趋于无穷大时,B(r)趋于1,A-(r)趋于1,p(r)和p(r)均趋于0,然后数值计算方程（9)（12).数值结果给出了球对称引力势及背景时空中正压物质的能量密度和压强在空间的分布，如图1 4所示.上海师范大学学报（自然科学版）J.ShanghaiNormalUniv.（Na t.Sc i.）2023年1.000 006 r1.0000001.0000040.999 9981.000 0021.0000000.9999980.999 9960图1引力势时间分量B(r)在空间的分布0.999.9960.999 9940.999 9920.999990210641066x1068x10601106210631064106510661067106图2引力势径向分量A(r）在空间的分布6x10-11110-108x10-116x10-11410-11210-11510-1l410-11310-11210-11110-110.510