Riemann-Liouville分数阶半线性发展型H-半变分不等式的可解性和最优控制.pdf

数学杂志Vol.43(2023)J.of Math.(PRC)No.4Riemann-Liouville分数阶半线性发展型H-半变分不等式的可解性和最优控制施翠云(桂林理工大学南宁分校基础学科部，广西南宁530 0 0 1)摘要：本文研究了Hilbert空间中半线性Riemann-Liouville分数阶发展型H-半变分不等式的可解性和最优控制.首先，利用不动点理论和Clarke广义次微分性质得到半线性Riemann-Liouville分数阶发展型H-半变分不等式解的存在性其次，在一般假设条件下证明系统的最优控制存在性.最后，给出一个例子来验证本文的主要结果.关键词：发展型H-半变分不等式；最优控制；Clarke广义次微分；Riemann-Liouville分数阶导数MR(2010)主题分类号：34K37;34K45文献标识码：A1引言近年来，分数阶微分方程引起了学者们的广泛关注，可参见文献 1-4 正如Heymans 和Podlubny在文献 5 中已经指出物理学中用Riemann-Liouville分数阶导数或积分来表示粘弹性初边值问题比起通常的物理解释更加合适正因为如此，Riemann-Liouville分数阶发展型微分包含近年来得到研究者的极大关注，见文献 6-8 及其参考文献.H-半变分不等式首先是由希腊著名数学家与力学家Panagiotopoulos9-12在研究非凸非光滑超势能的力学与工程问题中所提出的自此，学者们发现它在粘弹性理论、经济学等领域有着广泛的应用，研究人员对于它的单调性、拓扑性质和控制理论等方面做了大量研究并取得不错的成果，见 11-17 及其参考文献.另一方面，最优控制在控制理论中扮演着非常重要的角色.最优控制问题是为给定系统寻找一个控制法则，从而使得系统状态在某个时间点达到某个最优性准则.为此，许多研究者对其进行深入研究，例如，Pantoja等人 18 研究了离散系统约束控制不等式的最优控制问题.19，2 0 】讨论了具有终端状态约束的线性二次型最优控制问题.微分方程、变分不等式和拟变分不等式的最优控制问题是应用数学中一个不断延拓和充满活力的分支，已经得到了广泛的应用，见 2 2-30 及其参考文献.近十年来，分数阶H-半变分不等式的控制理论得到许多学者的关注，例如，Liu 和Zeng31研究了其能控性。文献 32,33 探讨了其可解性和最优控制.但是，所有这些成果的研究都是针对Caputo型分数阶H-半变分不等式的.Riemann-Liouville分数阶H-半变分不等式的可解性和最优控制一直是尚待解决的问题.本文的主要目的是在适当的假设条件下研究Riemann-Liouville分数阶H-半变分不等式的可解性和最优控制.*收稿日期：2 0 2 2-0 2-2 6基金项目：广西自然科学基金基金资助（2 0 2 1GXNSFAA220130，2 0 2 2 G XNSFA A 0 356 17).作者简介：施翠云（198 9-)，女，广西南宁，讲师，主要研究方向：微分方程控制理论.中图分类号：0 2 31.4文章编号：0 2 55-7 7 97(2 0 2 3)0 4-0 30 7-16接收日期：2 0 2 2-0 4-12308设H为可分Hilbert空间.本文主要考虑如下H-半变分不等式问题：-LDa(t)+Ar(t)+Bu(t),u)H+F0(t,c(t);u)0,Vu E H,t E J=0,b,(10-a()/-0=20,其中，H表示Hilbert空间H的内积，LD表示0 0,J0其中 表示的整数部分.接下来，本文将用到如下记号：P(X）表示X中所有非空集合组成的集族.Pf(X)=(S E P(X):S 是闭的),Pfb(X)=S E P(X):S 是闭合有界的),P(w)k(c)(X)=S e P(X):S 是(弱)紧(凸)的).数学杂志J(c,u)=/L(t,(t),u(t)dt.tEJ(t-s)a-1f(s)ds,t 0,01,1Vol.43(1.1)No.4现在给出一些集值映射的基本定义和结果，对于详细介绍见专著 34.定义2.3设W,Z 为Hausdorf拓扑空间，则(i）如果对于每个开子集 D Z,F(co)D,存在 co的邻域O(co）使得F()D对于所有的EO(co),则称F在 coEX点是上半连续的（简记为u.s.c.);(ii）如果对于每个有界集VCW都有 F(V）是相对紧的，则称 F 是全连续的;(ii）设（,Z）是可测空间，（E,d）为可分度量空间如果对于每个闭集C E有F-1(C)=t:F(t)C0),则称集值映射 F:P(E)是可测的.下面介绍局部Lipschitz函数h：E R 的Clarke广义梯度的定义与相关结论.根据文献 35，用符号ho(;u）表示h在点沿方向的Clarke广义方向导数，即ho(c;u)=lim,supa入0+那么h在点的Clarke广义次微分，表示为hCE*，由下式给出h()=*X*:h(;u)0 为 h 在 附近的Lipschitz 常数);(i）广义梯度h 的图在E拓扑中是闭的，即，如果序列【n，y E*使得 yn EOh(an）和在E中 an,在 E*中 yy*，则 y*f(ac)（其中 E表示Banach空间E赋予w*-拓扑);(iv）集值函数h()E从映到X*是上半连续的.引理2.2 文献 37 性质2.35 令E为可分自反的Banach空间，0 b0，函数h：(0,b)E R，使得对任意EX,h(,）可测，对所有tE(0,b)，h(t,）局部Lipschitz连续.则集值函数(0,b)E(t,)h(t,)C X*可测.接下来，考虑半线性Riemann-Liouville型分数阶微分包含：LDea(t)E Ar(t)+Bu(t)+OF(t,a(t),t E J=0,b),0 1,T-aa()l=0=20,其中LD表示0 )LDga(t)=Aa(t)+Bu(t)+f(t),a.e.t E J=0,b),I-a(t)lt=0=o,施翠云：Riemann-Liouville分数阶半线性发展型H-半变分不等式的可解性和最优控制309h(c+入u)-h()入使得 f(t)E oF(t,(t)和(2.1)310则称EC1-(J,H）是系统(2.1）的解。由解的定义，有-LDer(t)+Ac(t)+Bu(t),u)H+f(t),u)H 0,a.e.t E J=0,b,Vu E H,I-a(t)l=0=2o.由于 f(t)EF(t,(t)且 f(t),u)H Fo(t,(t);u),则有 使得 f(t)EF(t,c(t)a.e.tE J 和一Qa(t)=ta-1Ta(t)ro+/0则称函数c(）是系统（2.1）的温和解，其中T(t)=Jo0a(0)(ta0)d,a(0)=1o-1-wa(-)0,数学杂志tt/(t-s)-1Ta(t-s)Bu(s)ds+(t-s)-1Ta(t-s)f(s)ds,(2.2)0Vol.43W(0)=Z(-1)-1-na-1 I(n+1),n=1S是定义在（0,8 0）上的概率密度函数38 ,并且S(0)0,E(0,0),不难验证80A(0)deJo1(1+)引理2.3文献39 引理3.2-3.4】算子T(t)具有如下性质：(i)对任意固定的tO,Ta(t)是线性有界算子,即对任意E H,有(ii)T(t),t0)是强连续的.(ii)如果 T(t)是紧的，则对任意t0,Ta(t)也是紧的.引理2.4 4 0,4 1 设0,a(t）在0,6 上是非负局部可积的函数，b(t)是定义在区间0,b上非负非递减连续函数且 b(t)M(常数)，并且函数y(t)在0,b 上是非负局部可积的函数,且有sin(nT),e(O,80),n！80Sa(0)dg=1.01MIIT(t)l y(t)a(t)+b(t)(t-s)-1y(s)ds,t E 0,b.(2.3)No.4则另外,如果(t)在区间0,b上是非递减函数，则其中E是定义如下的Mittag-Lefler函数引理2.5文献4 2 引理3.5 设半群T是H中的紧Co-半群，则对任意p施翠云：Riemann-Liouville分数阶半线性发展型H-半变分不等式的可解性和最优控制y(t)a(t)+ds,t e 0,b.S0T(n)Ln=1y(t)a(t)Ep(b(t)r()tP),Eg(2)=28T(k+1):k=0311t8b(t)r(B)n-1a(s)算子(1Ig)(.)=从 LP(J,H)映射到 C(J,H)是紧的.下面的结果是本文用到的重要不动点定理4 3.引理2.6【4 3)令E为局部凸Banach空间，假设FEP(E)为紧凸值的上半连续集值映射，且存在0 的一个闭邻域V，使得F(V）为相对紧集.如果集合是有界的，那么F存在不动点.3可解性本章给出证明主要结果需要的可解性结果.为此，整篇文章需要如下假设.H(A)：算子 A在空间H中生成强连续半群T(t),t0,并且存在常数 M1使得sup、I T(t)M.对任意的t0,T(t)是紧的.te0,o0H(F):F：JH R 满足如下条件.(i)对所有的E H,函数tF(t,)是可测的;(ii)函数F(t,c)是局部Lipschitz 的,对a.e.tE J;(i)对所有的 E H,存在函数 E LP(J,R+)(p)IIOF(t,a)llI=supl/llH:f OF(t,a)a(t)+ctl-llH,H(B):算子 B E Lb(Y,H).H(U):集值映射 U:JPs(Y)是可测的并且存在函数uELP(J,Y)(pIIU(t)l=supllull:E U(t)u(t),for a.e.t E J.(-s)a-1Ta(.-s)g(s)ds,for g E LP(J,H)02=(E E:对某些入 1,入 E F()和常数c0使得使得312定义允许控制集如下Uad=SB=u E LP(J,Y):u(t)E U(t)a.e.t E J),p 则Uad0（见文献34 中的命题2.1.7 和引理2.3.2)，同时显然对所有的uEUad有Bu E LP(J,H).为了证明需要,定义算子 N:L(J,H)P(LP(J,H)(+=1)如下N()=w E LP(J,H):w(t)E OF(t,r(t)a.e.t E J),E L(J,H).由文献9 中的引理5.3,我们有.引理3.1如果条件H(F）成立，则对于EL(J,H)，集合N(）具有非空弱紧凸值的.同时，下面的引理在证明主要结果的时候也占据重要位置.引理3.2 文献17 引理11 设H(F）成立，算子N满足：若在L(J,H）中zn,若在 LP(J,H)中 wn 一 w且 wn EN(zn),则 w E N(z).接下来给出系统(2.1）的一个先验估计.引理3.3设条件H(A),H(B),H(F）和H(U)成立，则对于系统(2.1)的任意解 EC1-(J,H),存在正数 K 使得(3.1)证设 是系统(2.1)的一个温和解，由定义2.4,有f(t)EF(t,(t)及ta(t)=ta-1Ta(t)ao+/(t-s)a-1Ta(t-s)f(s)ds+Jo由已知条件，利用引理2.3和Holder不等式，得到Mt1-ll/(t)Ht(t-s)a-1Ta(t-s)Bu(s)ds0MMt1-T()MMb1-P-1P6-IllLp+Bull pT()(pQ-1Mcb-1t(t-s)a-1gl-allc(s)/ds.I()0令W(t)=tl-all(t)lH,则MW(t)T()数学杂志PIlallCi-(J,H)K./(t-s)a-1Ta(t-s)Bu(s)ds.Jot1-(t-s)a-1Ta(t-s)f(s)dsJo(t-s)-1 a(s)+cs1-l/(s)+I Bu(s)ds_1Mcb-1P一T()(pQ-1Vol.436Q-Ilall Lp+IlBul LpDMcb1-T()(t-s)a-1,l-all(s)l ds.0No.4由Gronwall不等式（见引理2.4)，得到