第32卷第2期河南教育学院学报(自然科学版)Vol.32No.22023年6月JournalofHenanInstituteofEducation(NaturalScienceEdition)Jun.2023收稿日期:2022-04-10基金项目:国家自然科学基金(11861072);云南省教育厅自然科学基金(2020J0020)作者简介:赵莉莉(1979—),女,云南大理人,云南大学数学与统计学院讲师,博士,主要研究方向为非线性微分方程、教师教育理论与实践。doi:10.3969/j.issn.1007-0834.2023.02.011常数项级数的若干种求和方法赵莉莉(云南大学数学与统计学院,云南昆明650091)摘要:汇总了常数项级数求和的若干种方法,如利用已知级数求未知级数的和、连锁消元法、子序列法等方法,并通过相应的例子加以说明。关键词:无穷级数;常数项级数;求和;子序列法;黎曼引理中图分类号:O175.2文献标志码:A文章编号:1007-0834(2023)02-0050-050引言无穷级数是用来逼近较复杂函数的有效工具,能够解决大量的实际问题,是微积分学的重要组成部分,也是历年考研中的重点与难点。它有两种主要的运算,其一为求无穷级数的和[1-3],其二为将函数展开成幂级数。熟练掌握求无穷级数,尤其是求常数项级数和的各种基本方法,是理解并运用无穷级数理论的基础,因此,有必要汇总常数项级数的求和方法。1利用已知级数求未知级数的和常数项级数的和等于其部分和数列的极限,因此需要将部分和数列向易于求和的数列(如等比数列与等差数列)转换,以便求出部分和数列的极限。例1求13+432+733+…+3n-23n+…的和。解分母为等比数列,分子为等差数列的常数项级数求和,一般使用错位相减法。2sn=3sn-sn=1+43+732+…+3n-23n-1()-13+432+…+3n-23n()=1+1+13+132+…+13n-2-3n-23n=2+131-13()n-1()1-13-3n-23n=2+121-13()n-1()-3n-23n,故,2s=limn→∞(2sn)=limn→∞2+121-13()n-1()-3n-23n()=52,即s=54。例2求∑∞n=1(n-1)12()n()的和。解考虑到n12()n+1-12n-1()12()n=(12)n,故第2期赵莉莉:常数项级数的若干种求和方法511-12()sn=1-12()12()2+212()3+…+n12()n+1()=12()2+12()3+…+12()n+1-n12()n+2=12()21-12()n()1-12-n12()n+2。又考虑到limn→∞n(12)n+2()=limx→+∞x2x+2=limx→+∞12x+2ln2=0,故12s=limn→∞12sn()=12,即s=1。2连锁消元法所谓连锁消元法就是巧妙利用公式,将常数项级数部分和数列的中间项消去,只剩下第一项与最后一项,以便求出极限。例3求∑∞n=012()2n1-12()2n+1的和。解sn=∑n-1k=012()2k1-12()2k+1=∑n-1k=011-12()2k-11-12()2k+1()=11-12-11-12()2()+11-12()2-11-12()4()+…+11-1...
