不定方程x%5E%282%29-2l%282%5E%282h-1%29%2Bδ%29y%5E%282%29%3D1与y%5E%282%29-Dz%5E%282%29%3D4%5E%28h%29的公解.pdf

第 卷第期东 北 师 大 学 报(自 然 科 学 版)V o l N o 年月J o u r n a l o fN o r t h e a s tN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)J u n e 文章编号 ()D O I /j c n k i d s l k x b 收稿日期 基金项目江苏省自然科学基金资助项目(B K );泰州学院教授(博士)科研基金资助项目(T Z X Y J B J J )作者简介管训贵(),男,教授,主要从事数论研究不定方程x l(h)y 与yD z h的公解管训贵(泰州学院数理学院,江苏 泰州 )摘要设p,pr为不同的奇素数,h,l,u,v都是正整数,以及xhl证明了:当D ppr(r)时除(x)(x)(x)D u或(x)D v外,不定方程x l(hl)y 与yD z h均仅有平凡解(x,y,z)(hl),h,)关键词不定方程;递推序列;整数解;公解;素因数 中图分类号O 文献标志码A主要结论设M为给定的正整数,d,D为给定的非平方正整数近 年来,不定方程组xd y与yD zM()的求解问题一直受到人们的广泛关注,但大多考虑方程组()中M或 的情形本文在Dppr(r)的前提下,讨论了一般情况,获得如下结果:定理设p,pr是不同的奇素数,h,l,u,v都是正整数,以及xhl若xnynl(hl)是P e l l方程xl(hl)y的正整数解,则当Dppr(r)时,不定方程组xl(hl)y与yD zh()除(x)(x)(x)D u仅有非平凡解(x,y,z)(x,y,h(hl)u)或(x)D v仅有非平凡解(x,y,z)(x,y,h(hl)v)外,均仅有平凡解(x,y,z)(hl),h,)推论若p,pr是不同的奇素数,则当Dppr(r)时,不定方程组x y与yD z()除D 仅有非平凡解(x,y,z)(,)以及D 仅有非平凡解(x,y,z)(,)外,均仅有平凡解(x,y,z)(,)若干引理引理设D且不是平方数若ab D是P e l l方程xD y()的基本解,则有:(a)方程()的全部整数解可表示为xy D(ab D)n,这里n为任意整数(b)方程()的整数解(xn,yn)满足递推关系xna xnxn,x,xa;yna ynyn,y,yb(c)xmnxmxnD ymyn,ymnxmynxnym(d)xnxn,ynyn东 北 师 大 学 报(自 然 科 学 版)第 卷根据引理容易证明下面的引理引理P e l l方程xl(hl)y的整数解(xn,yn)具有如下性质:()ynhynyn;()xnxnl(hl)ynxnl(hl)yn,ynxnyn;()xn(m o d),xn(m o dl),xn(m o dhl),xn(m o dhl),xn(m o dhl),yn h(m o dh),yn(m o dh),yn h(m o dhl),yn(m o dhl);()g c d(xn,yn)g c d(xn,xn),g c d(yn,yn)h,g c d(xn,yn)g c d(xn,yn),g c d(xn,yn)g c d(xn,yn)hl;()g c d(xn,xn),n(m o d)hl,n(m o d),g c d(xn,yn)hl,n(m o d),n(m o d),g c d(yn,xn)引理 设D且不是平方数,则丢番图方程xD y除D ,时分别有组正整数解(x,y)(,),(,);(x,y)(,),(,);(x,y)(,),(,)外,最多只有一组正整数解(x,y),且满足xx或x这里xyD是P e l l方程xD y的基本解由引理可得引理引理关于丢番图方程xl(hl)y,()有以下种情形:情形,h当l 时,方程()仅有组正整数解(x,y)(,)和(,)当l 时,方程()最多只有组正整数解,若la(a为正整数),则方程()仅有正整数解(x,y)(a,);若(l)b(b为正整数),则方程()仅有正整数解(x,y)(b,l);若la且(l)b,则方程()无正整数解情形,h若hla(a为正整数),则方程()仅有正整数解(x,y)(a,h);若(hl)b(b为正整数),则方程()仅有正整数解(x,y)(b,h(hl);若hla且(hl)b,则方程()无正整数解情形无论h为何正整数,方程()总无正整数解引理 当a,b且a是平方数时,丢番图方程a xb y最多只有组正整数解由引理可得引理引理丢番图方程(hl)xl(hl)y仅有整数解(x,y)(,h)引理 设D且不是平方数,则丢番图方程xD y()最多有组正整数解(x,y)若方程()恰有两组正整数解(x,y),则:当Ds ,s,时,(x,y)(,s)且(x,y)(,s );当Ds 时,(x,y)(u,v)且(x,y)(u,v),这里(un,vn)是P e l l方程uD v的正整数解若方程()仅有一组正整数解(x,y)且正整数n适合(x,y)(un,vn),则:当n为偶数时,必有n;当n为奇数时,必有n或p,这里p是适合p(m o d)的素数由引理可得引理引理对于丢番图方程xhl(hl)y,当h,l 时,仅有正整数解(x,y)(,),(,)和(,);其他情形均仅有整数解(x,y)(,)和(hl),)引理设n为非负整数,则:()当时,若hla(a为正整数),则xn为平方数n,或;若(hl)b(b为正整数),则xn为平方数n或;若hla且(hl)b,则xn为平方数n当时,则xn为平方数n第期管训贵:不定方程xl(h)y与yD zh的公解()xnhl为平方数n()当h,l 时,yn/h为平方数n,或;其他情形,yn/h为平方数n,证明()当,h时,若xn为平方数,可设xna(a为正整数),代入xnl(l)yn得al(l)yn根据引理的情形,当l 时,yn或 ,此时n或n当l 时,la(a为正整数),则yn,此时n;若(l)b(b为正整数),则yn l,此时n;若la且(l)b,则yn,此时n当,h时,若xn为平方数,可设xna(a为正整数),代入xnl(hl)yn得al(hl)yn根据引理的情形,若hla(a为正整数),则ynh,此时n;若(hl)b(b为正整数),则yn h(hl),此时n;若hl a且(hl)b,则yn,此时n当时,若xn为平方数,可设xna(a为正整数),代入xnl(hl)yn得al(hl)yn根据引理的情形,yn,此时n反之,显然成立()若xnhl为平方数,可设xn(hl)a(a为正整数),代入xnl(hl)yn得(hl)al(hl)yn根据引理可得ynh,此时n反之,显然成立()若yn/h为平方数,可设ynhb(b为正整数),代入xnl(hl)yn得xnhl(hl)b()当h,l 时,()式成为xn b()根据引理,()式给出xn,或 ,此时n,或;其他情形根据引理,()式给出xn或hl,此时n或反之,显然成立证毕定理及推论的证明P e l l方程xl(hl)y的基本解为hlhl(hl),由引理结论(a)知,该方程的全部整数解为xyl(hl)(hlhl(hl)n,这里n为任意整数若z,可得方程()的平凡解为(x,y,z)(hl),h,)若z,不妨设(xn,yn,z)为方程()的任一组正整数解,此时xnynl(hl)(hlhl(hl)n,这里n为任意正整数根据引理的结论()可得D zynhynyn,n()情形n(m o d)令ns(s是正整数),则()式给出D zysyshys/hys/h由引理的结论()可知,hys,hys,故ys/h与ys/h均为奇数,此时D为奇数,与D为偶数的假定矛盾因此该情形方程组()无正整数解情形n(m o d)令ns(s是正整数),根据引理的结论()可知,()式给出D zysysxsysxsxsys()由引理的结论()得,g c d(xs,ys)g c d(xs,xs)g c d(ys,xs)g c d(xs,ys),g c d(xs,xs)g c d(xs,ys),g c d(ys,ys)h情形 若s为正偶数,再由引理的结论(),g c d(xs,xs),g c d(xs,ys)hl,g c d(ys,xs),故xshl,ysh,xs,xs,ysh(hl)()两两互素当s时,()式成为D zxyxxy()考虑到|/xxx,hy,hy,故()式右边给出的方幂为h,这导致D为奇数,与D为偶东 北 师 大 学 报(自 然 科 学 版)第 卷数的假定矛盾当s时,()式成为D zxyxxy()易知xhlx(x)hl(hl)(x)()若|/(hl),则|/x,此时g c d(hl),x),且(hl)与x均不是平方数,故xhl至少为D提供个不同的奇素因数若|(hl),则|x,此时()式给出xhl(hl)x,这里g c d(hl),x假定(hl)f(f为正整数),则有 hlf,取模知不可能同理,(x)/g(g为正整数)也不可能故x/(hl)至少为D提供个不同的奇素因数,即x/(hl),y/h,x,x,y/(h(hl)至少为D提供个不同的奇素因数,从而()式不成立,因此方程组()无正整数解当s时,令st(t),则ysxtyt,g c d(xt,yt)由引理知,xt(t为偶数时)或xthl(t为奇数时)不是平方数,且为奇数,此时()式至少为D提供个不同的奇素因数,从而()式不成立,因此方程组()无正整数解情形 若s为正奇数,再由引理的结论()知,g c d(xs,xs)hl,g c d(xs,ys),g c d(ys,xs),故xshl,ysh,xs,xshl,ysh()两两互素当s时,()式成为D zxyxxyx(x)y(x)(x)xyxy(x)(x)(x)若(x)(x)(x)D u(u为正整数),则zxyuh(hl)u,此时方程组()的正整数解为(x,y,z)(x,y,h(hl)u),从而方程组()的非平凡解为(x,y,z)(x,y,h(hl)u)当s时,由引理知,()式中各式均不是平方数且都是奇数,此时它们至少为D提供个不同的奇素因数,从而()式不成立,因此方程组()无正整数解情形n(m o d)令ns(s是正整数),根据引理的结论()知,()式给出D zysysxsysxsxsys()由引理的 结 论()知,g c d(xs,ys)g c d(xs,xs)g c d(ys,xs)g c d(xs,ys),g c d(xs,xs)g c d(xs,ys),g c d(ys,ys)h情形 若s为正偶数,再由引理的结论()知,g c d(xs,xs),g c d(xs,ys)hl,g c d(ys,xs),故xshl,ysh,xs,xs,ysh(hl)()两两互素当s时,()式成为D zxyxxy()考虑到|/xxx,hy,hy,故()式右边给出的方幂为h,这导致D为奇数,与D为偶数的假定矛盾当s且h,l 时,()式成为D zxyxxyx yx ,()故()式右边至少为D提供个不同的奇素因数,从而()式不成立,因此方程组()无正整数解除s且h,l 外,当s时,由引理知,()式至少为D提供个不同的奇素因数,第期管训贵:不定方程xl(h)y与yD zh的公解从而()式不成立,因此方程组()无正整数解情形 若s为正奇数,再由引理的结论()知,g c d(xs,xs)hl,g c d(xs,ys),g c d(ys,xs),故xshl,ysh,xs,xshl,ysh()两两互素当s时,()式成为D zxyxxyxy(x)若(x)D v(v为正整数),则zxyvh(hl)v,此时方程组()的正整数解为(x,y,z)(x,y,h(hl)v),从而方程组()的非平凡解为(x,y,z)(x,y,h(hl)v)当s时,由引理知,()式中各式均不是平方数且都是奇数,此时它们至少为D提供个不同的奇素因数,从而()式不成立,因此方程组()无正整数解综上,定理得证在定理中,令h,l,则l(hl),h,即得()式且x 由D v(x),可得D ,