L_%28p%29-Minkowski问题周期解的存在性.pdf

第39 卷第4期2023年8 月Journal of Harbin University of Commerce(Natural Sciences Edition)哈尔滨商业大学学报(自然科学版)Vol.39 No.4Aug.2023L，-M in k o w s k i 问题周期解的存在性何瑞瑞，梁载涛（安徽理工大学数学与大数据学院，安徽淮南2 32 0 0 1）摘要：L,-Minkowski问题是凸几何分析L,-Brunn-Minkowski理论的核心，其实质是分析给定测度是否为凸体的L，表面积测度问题.这个问题可以简化为二阶微分方程的周期解的存在性,L,-Minkowski问题中周期解的存在性问题如下h(t)u+u=其中h0是连续的周期函数，常数p=1-p.利用了二阶微分方程周期解存在的充分条件，通过建立的一个方程的周期解的存在性判据，再利用Sobolev inequality证明了这个二阶微分方程周期解的存在性，得到在一定条件下周期解存在,这个方法在一定程度上扩大P的取值范围.最后给出一个例子,验证文中所得到的主要结果的可行性.关键词：周期解；Sobolev inequality;L,-Minkowski问题；微分方程；周期函数；不等式中图分类号：0 17 2.1文献标识码：A文章编号：16 7 2-0 9 46(2 0 2 3)0 4-0 437-0 4Existence of periodic solution of L,-Minkowski problemHE Ruirui,LIANG Zaitao(School of Mathematics and Big Data,Anhui University of Science and Technology,Huainan 232001,China)Abstract:The L,-Minkowski problem was the core of convex geometric analysis,specificallythe L,-Brunn-Minkowski theory.It aimed to analyze whether a given measure is the surfacearea measure of a convex body.This problem could be simplified as the existence of periodicsolutions for second-order differential equations.The existence of periodic solutions in theL,-Minkowski problem is stated as follows:h(t)u+uwhere h is a continuous periodic function and the constant p=1-p.By utilizing the suffi-cient condition for the existence of periodic solutions in second-order differential equations,the existence of a periodic solution for a derived equation was established.This was further收稿日期:2 0 2 3-0 1-10.基金项目：安徽理工大学研究生创新基金项目（2 0 2 2 CX2136）作者简介：何瑞瑞（1998），女，硕士，研究方向：微分方程与动力系统。E-mail:；梁载涛（198 7），男，副教授，硕士生导师，研究方向：微分方程与动力系统。E-mail：l i a n g z a i t a o s i n a.c n438proved using Sobolev inequality,demonstrating the existence of periodic solutions for the sec-ond-order differential equation under certain conditions.This method expanded the range ofvalues for p to a certain extent.Finally,an example was provided to verify the feasibility ofthe main results obtained in this paper.Key words:periodic solution;Sobolev inequality;L,-Minkowski problem;differential equa-tion;periodic function;inequality哈尔滨商业大学学报（自然科学版）第39卷L-Minkowski问题属于凸几何分析，2 0 世纪初凸几何分析刚刚成形，2 0 世纪末飞速发展.数学家Firey将凸体中Minkowski线性组合延伸到对任意实数p1的情况下凸体的Firey线性组合，此线性组合可以看成是Minkowski在L，空间中的一种推广1.1993年Lutwak在Firey线性组合基础上，结合经典的Brunn-Minkowski理论，给出了L，混合体积、L，一混合均质积分和L，表面积测度等概念以及对应的积分表达式,并提出了p1 时的L,Minkowski问题,文献中进一步研究了在R中凸体的L，表面积测度是球面 S-上的一个有限的Borel 测度2.当p=1时,L,-Minkowski 问题就是经典的Minkowski问题，经典的Minkowski问题已被解决3-4.在解析上，它等价于Monge-Ampere方程正解的存在性det(Vgu+eju)=h(x)u-1其中:h(x)是一个特定的函数,e;是在 Sn-1里的标准黎曼度量.从这个角度可以看出，L,-Minkowski问题涉及一个具有支撑函数的闭凸超曲面的存在性,它的倒数高斯曲率为h()up-l,其中h()是一个特定的函数.这个问题引起了很多专家们的探讨与研究,其中的维度有很多,最令人感兴趣的是二维的情况.这个问题可以简化为二阶微分方程的正周期解的存在性.u+u=h(t)u-l,其中：h(t)是连续的正周期函数.该二阶微分方程在Caratheodory意义下的周期解存在，解函数uECf.即使对这种简单情况的分析，目前的研究也是不完整的.当然随着时间的流逝，研究越来越深人。比如对于p0的情况下研究了函数在非负的情况下解的存在性5-7，并对其与各向异性曲线缩短问题进行了大量的研究8-12.本文创新点在对p 0 的情况下,研究L,-Minkowski 问题中T-周期解的存在性.即研究L,-Minkowski问题的一般形式,即为u+u=其中:h0 是连续的 T-周期函数,p=1-p,一定程度上扩大了p的取值范围.下面给出方程（1)正周期解的存在的充分条件1主要结果本文定义Cr=ul u C(R,R),u(t+T)=u(t)则Il u ll=,max,I u(t)Iteo,T由于C,=(ul ue C(R,R),u(t+T)=u(t)存在Ilu ll cl=Il u ll。+I u I l。利用参考文献中的定理3.113，可以得到下面的引理1.1.引理1.1假设存在正的常数co,c 和c2,其中：0 coc，使以下三个条件成立（A,)如果V入=（O,1,则每个可能的T-周期解在方程 u=4C=0.u中满足下列不等式Co u(t)ci,I u(t)I C2,Vt e R.（A 2）对于下面方程h-V+=0其中:u满足Cov0 是连续T-周期函数，常数p1和T 0,有hu*andu得到u.u,显然有to=0,T,使u（t o）=h.在不失一般性的情况下，我们假设t=0.令u(t）=h+（1+(t)）,其中:u(t)Cl.方程(2)乘以u(t),然后再对其进行积分,积分区间为0,T,即得Tu(t)dt=u（(t)dt-h(t)ul-p(t)dt 将u(t）=h(1+u(t)）带人上面不等式,得到I u1=u2(t)dil(1+v(t)d.(5)利用 Sobolev inequality4,有Iull()Ilul 2,Vu=Cl.(6)由式(5)、(6),可得Il /l(1+(t)dTIu+2TI l+TU+27()u2+T.何瑞瑞，等：L,-Minkowski问题周期解的存在性te0,T(s)dsu*t)dt.439.2/T(7)然后利用式(6）（7)得到lul/22-TTIlul()由式(8)和u(t)=h(1+u(t)可得0h础2-2 T础22-T2-T其中:T1假设函数u(t)在t 时是最大值,即得u（t）=0 然后对方程（2)积分，积分区间为t，打，得到(t)=(h)-（s）其中:teti,ti+T,故得i+Th(t)I u(t)I 入u(t)1+Th(t)dt+t1uP(t)+Th(t)dt+TI uI。:tuP(t)根据式(9）、（10)可以得到(4)ThI u(t)I TITh2+Th+2-2T)2-T12-T令Co，C 和c2都是正的常数0co2-T2-TTh2C2+Th+2-2T)12-T)故可以得到方程(2)所有可能的正周期解u满足Co u(t)Ci,I u(t)I 0,当=c有一1hc0(8)(9)(s）du(t)dt1+TI u(t)I dtt122-Th+二0-ci0,p=1-p=2 0 和 T=1.则微分方程(13)至4少有一个T-周期解u.证明通过式(12)可得1h=4/(1+0.01sin(8mt)dt=1.根据式(4)和p=1-p=2 有k=沂=1.1利用式(9)和T：1,可得460u(t)7根据式(11)得到I u(t)令Co，C 和c都是正的常数60,c212可以得到方程(2)所有可能的T-周期解u满足Co u(t)ci,I u(t)I cVt R,即引理1.1中的条件（A,）成立.下面方程V+=0有一个独一无二的正根=l（c o,c i）.当=Co有10得到引理1.1中的条件（A,）和条件（A，）成立.利用引理1.1我们可以得到方程(12)中至少存在一个正的T-周期解u.哈尔滨商业大学学报（自然科学版）参考文献：1FIREY W J.P-means of convex bodies J.Math.Scand.1962,10:17-24.2LUTWAK E.The brunn-minkowski-firey theory I:Mixed volumes and the Minkowski problem J.Journalof Differential Geometry,1993,38(20):131-150.3ALEKSANDROV A D.On the theory of mixed volumesu(t)?of convex bodies.III.Extension of two theorems ofMinkowski on convex polyhedral to arbitrary convexbodies.Mat.Sbornik N.S,1938,3:27-46.4FENCHEL W,JESSEN B.Mengenfunktionen und kon-vexe Korper.Danske Vid.Selskab J.Mat.Fys.Medd.1938,16:1-31.5BOROCZKY K J,TRINH H T.The planar L,-Minkows-ki problem for O p1J.Advances in Applied Math-ematics,2017,87:58-81.6IVAKI,MOHAMMAD N.A flow approach to the L,Minkowski prob