从2023年全国新高考数学Ⅰ卷第22题的求解谈备考启示.pdf

GUANG DONG JIAOYUGAO ZHONG从2 0 2 3年全国新高考数学I卷第2 2 题的求解谈备考启示广东省东莞市嘉荣外国语学校易文辉李亚秀2023年全国新高考数学I卷第2 2 题是一道好题，把解析几何的基本思想体现得淋漓尽致，整个试题设计匠心独运，背景简单而深刻，体现了基础性、综合性、应用性和创新性，突出思维的考查，对广大考生备考有很好的导向作用。、真题呈现（2 0 2 3年全国新高考数学I卷第2 2 题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于到点（0的距离，记动点P的轨迹为W.(1)求W的轨迹方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3/3.二、真题解析(1)y=x2过程省略）(2)解法1：不妨设A，B，D 三点在W上，且BAIDA，显然AB，A D 的斜率都存在且不为零，原命题等价于证明33I ABI+I ADI 32设A(a,a+直线BA，D A 的斜率分别为k，由对称性不妨设k0，则直线AB的方程为：-（ak(x-a),即y=kx+aka.41=x4联立方程，y=kx+a?由韦达定理：xaxg=ka-，即xg=k-a.故|AB|=(x-x)+(yA-y)=1+1+k/k-2al.同理可得IADIk:AB|+AD|=V1+kIk-2a当k1时,k1IAB|+IAD|=V1+k?12a当且仅当k=1时等号成立.由 于 Ih-2al+1+2ak1k+IABI+IAD22K41=1即k=/2时均值不等式等号成立，两次放缩等号不能2同时成立.当0 k,2评注：解法1 是常规解法，考生不难想到根据矩形的特征，原问题转化为抛物线的两条弦长之和问题，可以通过弦长公式|AB|=V1+|xi-2l、韦达定理解决，在问题求解过程中，考生的难点在于求AB|+IAD|=1+K1 k-2a+2a的最小值，由于这是关于k，a的二元函数求最值问题，可以通过含绝对值三角不等式la|+|b|lab|消去2 a.事实上，根据含绝对值函数的+2a当k=2a或者1性质，V1+k|k-2al+k=-2a时取得最小值，可以根据抛物线的对称性，不妨设a0，则显然有1+klk-2al+2ak21V1+Kk+1V1+k+的最小值，可以用均值不等式也可构造函数k(1+t)3t?+3t+kaBkaD=-1，因此可以不妨设|h|1即0 0，n0的最小值问题有以下结论：当mn时,f(x)n(|x-a+x-bl)n|b-al;当mn时,f(x)m(lx-al+lx-bl)mlb-al;即f(x)=m|x-a|+n|x-b|min|m,n)b-al.解法2：根据题意，将抛物线y=x+向下平移个单位得到抛物线y=x，与原问题等价不妨设ABIAD，显然AB，A D 的斜率都存在且不为零，要证明矩形ABCD的周长大于3/3等价于证明|AB|+|AD12设A（a，），直线AB的倾斜角为，根据对称性，不妨设a0,02设A(a,a)，B(b,b)，D(c,c)，不妨设ca3311 b+b+a1/1+(b+a).图形的对称性和放缩，将问题进一步简化，然后通过均值不等式或构造函数进行不等式证明.单(1+m)+m30广东教育高中2 0 2 3年第8 期GUANGDONG JIAOYU GAO ZHONG以上提供三种解法实际上是解题的三种思路，如果将分三种形式，但是对于本题来说，由于直线方程的点斜式是通类讨论和求最值的不同思路分开来，可以得到十余种解法，过点A构建的，因此，消元之后的方程x-kx+ka-=0必本文不从这个具体细节的角度展开，主要从这个高考题带给然有一个解为x=，利用这个性质结合韦达定理，就可以将教学的启示谈谈笔者的看法.运算简化，最佳选择是形式二考生对于恰当方法的选择，三、追本朔源和问题引申核心是要理解弦长公式各种形式的本质，包含每一种形式的1.追本朔源使用条件和情境，理解其运算背后的“算理”.本题源自上海市1 9 9 8 年高中数学竞赛题：已知抛物线y事实上，解析几何复习时，处处都彰显着解析几何研究=x上有一个正方形的三个顶点A，B，C，求这种正方形面问题的本质，其思维特征如下：积的最小值。一从“形”到“数 2.问题引申坐标系几何问题代数问题引申1：在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(o，)(t 0)的距离，记动点P的轨迹为W.若矩形 ABCD 有三个顶点在 W上，则短形 ABCD 的周长大于孕至t引申2：在直角坐标系xOy中，已知矩形ABCD有三个顶3/3点在抛物线y=ax上，则矩形ABCD的周长大于Tal.引申3：若实数a，b，c 满足（a+b)（b+c）=-1.a+bVa+62引申4：若实数a，b，c 满足（a+b)（b+c）1F,F,11,通过两点坐标公式得到（x+c)+y+(x-c)+y=2a为了让方程更加简洁，需要将这个方程进行化简，化简方向是直接两边平方还是先移项再两边平方教学中不能直接就告诉学生“移项平方”，而是要引导学生理解平方的-aa+ba+62用几何视角看代数结果目的是什么，平方之后后续的运算将会是什么情况，需要提前做一些预判，这就是数学的直觉思维，领会“算理”，抓住教学中每一次能体现解析几何“本质”的细节，加深学生的领会和感悟。比如说，椭圆方程整理到x-c）+=xa这一步时，可以让考生体会一下“它的几何意义”，让考生更加深刻领会“从数到形”的思维，也领会椭圆各个定义之间的本质联系，也有利于提升考生直观想象、数学运算和逻辑推理素养.又如，在“双曲线及其标准方程”一节中，对于双曲线标准方程的推导，类比椭圆标准方程的推导，完全可以交给学生自主完成，体会其数形之间的本质联系可以设计一下问题让学生更加深刻理解“算理”和解析几何数形之间“本质”联系.问题1：如何将双曲线定义IIMF,|M F,I=2 a 代数化？问题2：如何化简|(x+c)+-c)+|=2a?问题3:如何简化(c-)x-=(c-)？问题4：你能找到-的几何表示吗？2注重通性通法的落实章建跃博士认为“注重通性通法的教学是好的数学教学”，他提出“通性”是概念所反映的数学基本性质，“通法”就是概念所蕴含的数学思想和方法注重通性通法的考查，淡化特殊技巧，也是高考数学命题的一贯风格从实际教学中来说，不少教师还是津津乐道于“技巧”的训练；重视通性广东教育高中2 0 2 3年第8 期31应考方略数学有数通法的落实，不能仅仅是一句口号，而是真的要在教学中去落实，在学生训练中落实，如上述高考第2 2 题解法中，将矩形ABCD的周长问题，转化为弦长IABI与C D 之和，然后用弦长公式去解决，这就是非常自然的思路和方法对于考生来说，难点在于ABI+A D I=+-2 a l+六+2 a丨的最值如何求解，而处理这一类问题在1+函数与不等式教学中常常出现，是典型的“二元函数和含绝对值最值问题”，其中这里出现的两个元“，k”是独立的，也就是可以采用“设立主元”去消元，显然应该先看作关于的函数消元会更加容易，这就联系到含绝对值不等式1 丨+iblbl，想到这里，要统一系数1+k与1+就水到渠成了.通性通法就是反映数学本质的一种方式，只要平时在教学中落实了通性通法，不管题目如何变化，问题也能迎刃而解学生只有掌握了通性通法，才能在遇到新的问题、新的情境时构建新旧之间的心理联系，其基本图式是：已有知识与技联系能、思想与方法、活动经验其实，教材也特别重视通性通法，无论是例题还是习题，都始终围绕“坐标法”为核心，凸显解析几何的学科特点但是在当前教学现状中，教师往往不重视教材，或者认为教材的例题、习题过于简单而忽视它，而是通过各种教辅资料、试卷等来充斥解析几何题，重视特定的解题技巧，不仅耗费学生大量时间和精力，而且对于圆锥曲线的定义和性质理解起不到很好的作用教学中，还是要围绕教材、紧扣教材，在例题与习题的选编时，帮助学生理解圆锥曲线的几何特征，熟练运用坐标法研究圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，并能解决一些综合性的问题，以此来感悟解析几何中蕴含的数学思想例如，在帮助学生理解直线与椭圆的位置关系时，就要讲透以下教材中的例习题：题1：（椭圆的简单几何性质中例7)如图，已知直线l：4x-5y+m=0 和椭圆 C:=1.m25+9+为何值时，直线l与椭圆C：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？题2：（椭圆的简单几何性质练习第2 题）经过椭圆2+=1的左焦点F，作倾斜角为6 0 的直线l，直线1 与椭圆交于A，B两点，求线段AB的长.题3：（椭圆的简单几何性质习题第1 3题）已知椭圆25+=1，直线l：4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点，9使得：（1）它到直线1 的距离最小？最小距离是多少？（2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？题4：（椭圆的简单几何性质习题第1 4题）已知椭圆4号-1，一组平行直线的斜率是号392（1）这组直线何时与椭圆相交？（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一直线上。3.突出思维品质的培养思维是人类特有的一种高级的、复杂的认知活动，它是人脑通过分析、综合、抽象、概括、比较、具体化等过程和概念判断、推理等形式，指向客观事物的本质特征及内在联系，认识掌握客观规律的心理活动思维品质是思维在不同个体中发生和发展时表现出来稳固心理，意识倾向的差异性.数学是思维的体操，数学思维品质主要表现为思维的深刻性、灵活性、独创性、批判性和严谨性，良好的思维品质是数学新情境分析问题表征：量与量的关系、式子结构、图新问题形特征、符合意义形成解题思路(问题解决）核心素养的重要体现。上述高考第2 2 题是一道好题，除了题目设计新颖、简洁之外，也是对考生思维品质的很好考查.在解决问题过程中，如何选择弦长公式，如何通过对称性简化分类讨论等都体现了对数学思维深刻性、灵活性的考查，对于几次放缩“等号成立”的条件，体现了对数学思维严谨性的考查无论是新课还是复习课，都应该以问题为载体，通过发现问题、解决问题，通过抽象、概括、归纳、类比、对比、反思等活动，提升学生的思维品质。比如，在处理“抛物线的简单几何性质”中的例题：斜率为1 的直线1 经过抛物线？=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长考生根据条件特征进行解题思路的对比分析，利用一般弦长公式IAB=+（x-2）+（-），和抓住AB过焦点这一特征得到焦点弦长1 ABI=+x2+P，通过不同思路、一题多解的对比，根据运算的简洁性和使用条件的分析，可以设置一些变式题让考生进一步深化理解，以提升考生思维的深刻性和灵活性.变式1：已知直线l经过抛物线y=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB长的最小值.变式2：已知直线1 经过抛物线y=4x的焦点F，且与抛X物线相交于A，B两点，试判断线段AB长为5的直线I有几条？并说明理由.变式3：斜率为1 的直线l经过抛物线y=2px（p 0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，若IABI=6，求抛物线的标准方程.变式4：已知直线l经过抛物线y=4x的点M（2，0），且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB长的最小值责任编辑徐国坚32广东教育高中2 0 2 3年第8 期