初中数学反例的内涵、功用与构造——以“图形与几何”领域为例.pdf

备课参考初中数学反例的内涵、功用与构造以“图形与几何”领域为例郭久星西北师范大学教师教育学院摘要：反例依托于正例而存在，它既是数学学习的工具、手段，也是培养思维的途径，还是推动数学向前发展的动力.教师需要基于学术研究确定反例的内涵，明确其具有强化概念理解、发展严谨数学思维，检验真假命题、准确掌握数学事实，发现错误问题、有力强调隐含条件，克服思维定式、培养良好思维品质等功用.在具体教学中，教师要根据教学内容合理、灵活地构造并使用反例，引导学生从不同角度、不同思维去审视数学中的概念、定理与命题等，从而更好地感受与理解数学.关键词：初中数学；反例；反例教学；图形与几何与义务教育数学课程标准(2011年版)一、数学教学中反例的内涵相比，义务教育数学课程标准(2022年版)反例是依托于正例而存在的，但对反例的(以下简称“课程标准”)突出强调了教学过内涵，不同学者作出了不同的界定.有人认为程中应当关注的数学方法，其中就包括对反例反例指符合某个命题的条件，但不符合该命题运用的建议，指出“教师应引导学生了解反例结论的例子；有人认为反例就是说明某个命题的作用、体会反证法的含义，学会利用反例发不成立所举出来的例子；还有人认为反例是教现问题、解决问题”查阅相关文献可知，近年师在教育教学过程中整理出来的关于典型例来对于反例教学的研究较多，但主要集中于高题的典型误解.笔者倾向于认同反例是一种等数学或高中数学，且聚焦于反例的概念界定学习方法，是证伪、纠错和发现正确认识的极与功能说明，对具体反例的呈现较少.而要在富说服力的思想方法，是一项创造性思维活初中数学教学中巧妙地应用反例，就要充分理动解反例的内涵、功用，弄清楚怎样构造反例可在初中阶段“图形与几何”领域，学生将要以提升教学效果.有调查研究表明，恰当地运学习几何图形的性质、变化等知识，涉及许多用反例教学可诱发学生的创造力，培养学生的概念、定理、命题，以及一些重要的数学解题思思维缜密性，提高学生的逆向思维能力等维.在教学过程中使用正例讲解后，如果发现因此，了解反例的内涵和功用，研究反例的构效果不佳，教师便可考虑使用反例.值得注意造很有必要.由于初中数学知识范围很广，考的是，反例使用的深层目的并不是否定结果，虑到反例较多地应用于几何问题的教与学中，而是帮助学生从不同角度、不同思维去审视数笔者以初中阶段“图形与几何”领域的知识为学中的概念、定理与命题等，旨在使学生更好例进行分析，阐述反例在数学教学中的小角色地感受与理解数学.例如，阅读相关数学史，我与大价值们知道，对于2000多年前古希腊数学家欧几教学月刊中学版教学参考20237/8备课参考里得在几何原本中给出的棱柱定义“有两个阶段“图形与几何”领域中，学生需要学习、掌面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是握与三角形、四边形、圆有关的一些命题与定棱柱”，数学家们一直在寻求证明或证伪，但直理，因此从几何直观的角度来看，只要能举出到20世纪初才找到否定该定义的一个凸多面与命题相反的例子，即依据命题的条件作图，体的反例，从而以最直观的实物模型来证明命找到反例，便可快速地判断命题的真伪题并不成立.这可表明，反例不但是数学学(三)发现错误问题，有力强调隐含条件习的工具、手段，是培养思维的途径，还是推动解决问题是将数学基础知识外化的具体数学向前发展的动力.表现形式，而当前大部分教辅资料中，关于数二、数学教学中反例的功用学题的解释与论证基本是以正例为主，过于注(一)强化概念理解，发展严谨数学思维重推理和论证的逻辑性，这不利于学生反向思数学概念教学，大致可分为概念的引人、维的拓展.笔者发现，在实际解题中，一些比较形成、巩固、应用四个阶段.在概念的引入与形抽象的数学问题，正面去解很难，而从反面去成阶段，学生初次接触此概念，此时应当更多解则容易得多.因此，通过反例解决疑惑是更地使用积极的事例，要尽量避免或减少使用反加灵活的一种方式，可提升学生的解题能力，例，以传递能够帮助学生迅速建立数学概念进而提高学生的解题效率.例如，对于初中阶“中心图像”的重要信息；在学生初步掌握概念段“图形与几何”领域中学生需要学习的直线、后的巩固与应用阶段，便可依据正例来引人反圆等知识，教师便可引入简单的反例，引导学例，帮助学生辨别概念的易混淆点，从而清晰生学会注意题目中包含的“前提信息”或“隐含判断概念、掌握概念5.数学概念是数学学习条件”，达成深刻理解并能准确应用基础知识的基础，是其他数学知识的起点，例如，推理、的教学目标证明、计算等都需要数学概念的支持.而数学(四)克服思维定式，培养良好思维品质概念的学习又是抽象的、枯燥的，对初中生的数学课程在传授数学学科知识，培养学生抽象能力、思维水平要求较高.如果可结合概问题解决能力的同时，还要进一步发展与训练念使用正、反例进行教学，通过二者之间的差学生的批判思维与创新能力.批判思维与创新异性激发学生的认知与理解，帮助学生牢固掌能力是适应当今社会发展需求，于个人发展而握概念，便可降低学生在应用概念时发生错误言可终身受益的良好品质.作为一种学习方的概率法，在新概念、新理论的学习中，使用反例可促(二)检验真假命题，准确掌握数学事实进学生对新知识的接受，帮助学生及时克服在定义、命题、定理是数学学习的重要组成传统一贯的教学中可能会形成的思维定式，防部分，课程标准对此类数学知识的教学建议止产生墨守成规、负迁移等不利影响.反例是是，结合具体实例，引导学生去了解意义、区别灵活的，反例的运用也是灵活的，教师应在充命题、发现结论与证明结论.实例包括正例与分了解学情的基础上，把握好运用反例的量、反例，在定理、命题的教学中，学生不能仅学会度以及运用时机等使用正例加以阐述，还需要应用适当的反例，三、初中阶段“图形与几何”领域中反例的从基础概念或定理的另一面抓住它们的本质构造属性，弥补正例在教学中的不足之处，进而深初中阶段“图形与几何”领域，存在不少可化学生对知识的思考、掌握与运用.在初中使用反例帮助学生学习的机会，很多反例可通教学月刊中学版教学参考20237/8备课参考过更直观的形式，以最清晰的方式，帮助学生的高的作法是错误的？理解概念，否定谬论，发展核心素养.初中阶段构造反例：直接举出反例，让学生独立分要求学生在理解图形概念的基础上，认识图形辨哪一种作图是错误的，从而帮助学生加深对的性质、关系以及变化规律等.该阶段学生是“三角形的高”这一概念的理解.与三角形有关首次接触几何证明，感悟数学论证，因此教师的线段中，三角形的高极其重要，它是学习三要有意识地培养学生的几何直观与空间想象角形后续知识的基础.学生在前两个学段已经能力，使其形成初步的数学推理能力与严谨的学习过三角形的面积公式，故已经接触过三角科学精神.形的高，该学段主要引导学生更加准确地理解下面，笔者先从概念的学习、命题与定理概念，能够准确作出不同类型三角形的高.该的学习、思维训练三个视角，列举并分析几个内容的学习需从画图入手，直观的图式可在学在初中阶段“图形与几何”领域中比较典型的生的头脑中留下清晰的印象，使学生更容易记反例，然后以“全等三角形及其判定”的教学为住知识.例如，图1中的第三张图片，是很典型例设计反例教学片段，希望可为初中数学教师却常被学生忽略的错误的三角形的高的作法，的教学提供参考.当然，反例的构造与使用并结合该反例，再回头分析概念“三角形的高是不是一成不变的，而是在以往的教学经验中总从一个顶点向它的对边所在的直线作垂线”，结与生成的，重要的是，教师要将反例作为一能够发现反例呈现的是从三角形的一边向顶种教学工具，促进学生的学习.点作垂线，即使DBBC,也显然是错误的.(一)初中阶段“图形与几何”领域中的反【案例2】菱形例示例问题：对角线互相垂直的四边形是菱1.概念的学习形吗？李邦河院士说：“数学根本是玩概念的，技构造反例：菱形的概念学生是第一次接巧不足为道.”由此可见概念教学的重要性.数学触，但从初中生的认知水平来看，他们对于菱概念是反映客观事物在数量关系和空间形式方形并不是很陌生，可能在小学就已经略有了面的本质属性的语言形式.概念是数学思维的解.菱形属于一种特殊的平行四边形，初中教细胞，任何数学学习都源于概念的学习，比如判材对菱形的概念也进行了定义.引导学生理解断、推理、论证等.初中阶段“图形与几何”领域，菱形的概念，理解菱形与平行四边形之间的包学生主要学习了三角形、平行四边形与特殊的含关系，对于学生后续学习平面几何是非常重平行四边形、正多边形、圆等概念，以及它们之要的.例如，在应用对角线判断菱形时，要注意间的关系.下面以三角形、菱形的相关知识为定理的两个条件，一是平行四边形，二是两条例，构造其反例以加深学生对概念的理解对角线互相垂直.为了加深印象，可向学生提【案例1】三角形的高出上述问题，随后向学生举出反例，即根据条问题：图1中的三个三角形，哪些三角形件进行作图，构造出如图2所示的反例.显然，BDCBCDB图1教学月刊中学版教学参考20237/8