藏在新教材习题里的数学建模——以人教版%282019%29选修性必修第三册第八章习题为例.pdf

福建教育研究聚焦藏在新教材习题里的数学建模以人教版（2 0 1 9）选修性必修第三册第八章习题为例泉州市教育科学研究所汤向明摘要随着福建省新教改的推进，如何落实课标中核心素养是关键。数学建模作为综合性很强的素养，在新教材使用中需多方位去发现和挖掘。文章以习题为例，尝试对新教材如何在习题中全方位渗透并培养数学建模进行分析，以期培养学生数学建模能力。关键词新教材；数学建模；习题随着福建省新课改一步步推进，第一届使用人教版（2 0 1 9）数学教科书这套新教材的高中数学老师，已经完成了这套新教材完整的一轮教学。回头再看，关于新教材与旧教材的诸多变化，一线教师们都有了许多实践心得。数学建模是解决现实问题的重要方法和手段，笔者一直关注高中“数学建模”教学研究的工作者，在新教材使用过程的这两年多，也特别留意新教材中与“数学建模”相关的内容。在普通高中数学课程标准（2 0 1 7 年版）解读P192193中提出了新课标中数学建模的整体设计的八个层次，除了第六到第八条是数学建模专项要求即具体的数学建模活动外，前面五条则是对日常教学中如何培育数学建模提出了具体要求。数学建模作为综合性很强的素养，不可能一而就，需要平时的日积月累，这就需要我们去发现和挖掘新教材中数学建模的身影。数学建模的过程包含了从实际情境发现问题，提出问题，建立模型，求解模型，模型结果分析、模型检验等。传统应用题中指向最多的是“建立模型”和“求解模型”，旧教材习题也是以传统应用题为主，“提出问题”“模型结果分析”“模型检验”则鲜有涉及，而人教版（2 0 1 9）新教材的习题在这上面做了很多突破与尝试。笔者接下来将以选修性必修第三册第八章部分习题为典型案例，着重从数学建模“提出问题”“模型结果分析”“模型16检验”的角度，对新教材如何在习题中全方位渗透并培养数学建模进行分析，而选择这一章节的原因是，这部分内容较旧教材变化较大，要求也有所提高，感知也较为深刻。一、习题引领“发现和提出问题”新教材开始在习题中通过设置开放型问题，不断引领学生自己去发现和提出问题。这类习题新教材中比比皆是，以习题设置目的角度来看，最常见的有两种。首先，以“概念理解”为目的设置的习题，比如教材P95练习1“举例说明什么叫相关关系。相关关系与函数关系有什么区别？”和P107练习1“说明函数模型与回归模型的区别，并分别举出这两个应用函数模型和回归模型的例子”，这两道课后练习的设置，均是从概念出发，有针对性地引领学生去发现问题和提出问题。虽然是开放型问题，但核心是围绕数学概念，所以在教学实践中，学生的答案不会出现太过脱钩的回答但又会有很多思维火花，比如学生在相关关系举例时提到“带货主播人气与直播室销售量”“内卷程度与成绩”非常接地气，学生的思考积极型甚高。相比于以前给出一些实际问题让学生判断是相关关系还是函数关系的习题，这样的习题难度是增大了，但学生在完成这类习题的过程中，不仅深化对概念的理解，也拓展了对相关概念外延的认知，同时让学生主动建立数学世界与现实世界的链接，也就是数学建模“提出福建教育研究聚焦问题”能力的培养，教学中倘若能用好这类习题，可谓一举两得。另一种，是以“掌握模型”为目的设置的习题，比如教材P122拓展探索6“生活中有许多变量之间的关系是值得我们去研究的。例如，数学成绩、物理成绩和化学成绩之间是相关的吗？哪两个学科成绩之间相关性更大，你能解释其中的原因吗？语文成绩对数学成绩有影响吗？等等，请用你们班的某次考试成绩，研究它们之间的关系。如果它们之间有关系，请建立统计模型进行分析。”类似这样，给出一个生活场景，指明一个大致方向，让学生在给定的有限范围内发现和提出问题，建模解模最终实现对相关模型的掌握，并完成了一场小型的“数学建模活动”。习题具有一定开放性又没有完全开放，学生有一定自主选择发挥空间，而为了让习题更具活力和探究性，教师可对问题进行创新性改造，比如笔者对这个问题进行了升级，即某两种学科的某两种题型之间的相关性研究，就有学生提出了“语文阅读题得分率”与“英语阅读题得分率”相关性分析，还有“语文阅读题得分率”与“数学应用背景问题得分率”等，充分挖掘并调动了学生发现并提出问题的潜力。二、习题引导“模型结果分析”对模型结果进行分析在概率统计问题中并不罕见，常见概率的决策问题，统计的预测问题等，但之前大部分问题都是基于计算结果进行简单的判断或预测，而新教材更注重对于模型结果的实际意义分析与解释，也就是从数学语言到生活语言的一个“翻译”。比如教材P110课文原文先分析“这里的经验回归方程y=0.839x十2 8.9 5 7，其斜率可以解释为父亲身高每增加1 cm，其儿子身高平均增加0.839cm.分析模型还可以发现，高个子父亲有生高个子儿子的趋势，但一群高个子父亲的儿子们的平均身高要低于父亲们的平均身高”，同时在右侧提问框提出“根据模型，父亲身高为多少时，长大成人的儿子的平均身高与父亲的一样？你怎么看这个判断？”再次引导学生对模型结果进行分析，理解统计思想，学会用规范的统计语言表达、解释生活问题。再比如P104习题第3 题研究一根弹簧伸长长度x和相应所受外力F，问两个变量的样本相关系数是否为1？并要求解释其中的原因.经计算易得r0.9997，可见两个变量几乎完全正相关，但不等于1 的原因，学生要懂得结合实际分析，其原因可能跟测量误差，弹簧制造工艺、气温湿度等有关，这种“模型结果分析”更加完整，更能培养学生“会用数学语言观察、表达现实世界”的能力。三、习题引发“模型检验与反思”笔者觉得，新教材在体现数学建模的“模型检验与反思”这一环节下足了功夫，在习题设置上做了很大的尝试与突破，笔者恰好在一次教学调研中，简单了解到了P120习题2 这道题学生的一些解答情况，该班级学生在本市处于中偏上，所以就选择该题为例来做个分析。该题以1 9 9 7 一2 0 0 6 年我国的国内生产总值（GDP）的数据为背景展开了个问题。前两问是很常规很常见的，作散点图选择模型，进一步建立以年份为解释变量，以GDP为响应变量的一元回归模型并计算残差，第（3）问引导学生分析用第（2）问建立的模型预测2 0 1 7 年GDP产生的误差，到这里学生都能比较顺利地作答，关键是第（4）问“你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗？请说明理由”，这实际是一个开放型设问，答案不唯一。主要有以下两种，调研班级有超七成的学生懂得去计算决定系数R，分析（2）一元回归模型计算其R0.9 2 1 3，我们都知道，R越接近于1，拟合效果越好，从R0.9 2 1 3 来看，学生的结论普遍认为，这个一元回归模型拟合效果还不错，该模型可以较好地刻画GDP和年份的关系；实际上，教师用书里除了计算R外，还用到了残差，残差呈现的是两头正数，中间负数的规律。在前面残差的学习中，我们知道残差图中如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选择的这个模型是比较合适的，并且这个带状区域越窄，说明拟合精度越高，我们还分析过各种残差图的形态分布及其成因。而本题的这个残差图说明，两个变量的关系可能不适合用线性模型，而是更适17聚焦福建教育研究合用非线性模型来刻画。据了解，调研班级仅有1个学生提到并运用了这个规律，说明学生对于残差分析的理解与掌握都是比较薄弱的。教师用书的答案从R和残差图两个角度，辩证地分析了这个一元回归模型，很好地体现了数学建模中“模型检验与反思”的思想。懂得检验与反思，才知道如何改进模型，优化模型。实际上，笔者认为，这个问题也可以从散点图分析，也可以达到跟残差图类似的效果。从散点图上看，前后两端的散点都在经验回归直线的上方，中间段的散点都在经验回归直线的下方，这说明散点并不是均匀分布在经验回归直线的附近，两组数据还是呈现出比较一定的非线性相关特征的，当然，跟上面残差图相比，散点图表现出的特征没有那么明显。有点可惜的是，当时没有学生从散点图的角度给出了理想的解释。此外，还有近三成的学生直接用（3）的计算结果，即2 0 1 7 年的GDP预测值比实际值少4 6 1 0 7 0亿元，而2 0 1 7 年的实际的GDP为8 2 0 7 5 4 亿元，学生认为这个误差过大，因此认为这个模型是有问题的，就粗略下了判断说这个模型不能刻画CDP和年份的关系，虽说有一些道理，但其原理阐述都不够明确。学生其实在这可能对题目理解有误。结合这个题后面几个小问去看，（3）得到的误差大更多的可能是由于用1 9 9 7-2 0 0 6 年的数据来分析预测2 0 1 7 年GDP产生的，因为模型是有时间性的，显然这组数据对于2 0 1 7 年来讲太久远了。所以这个模型能不能较好地刻画GDP和年份的关系，也不适合用2 0 1 7 年的预测值误差的大小来判断，最终还是回到残差和决定系数R进行分析。最后，这道题的第（5）问给出了2 0 0 7-2 0 1 6年的GDP数据，让学生用一元线性回归模型拟合1 9 9 7-2 0 1 6 年的数据，用新的模型预测2 0 1 7 年的GDP并计算与实际值的误差。通过统计软件计算，学生可以很容易得到新的预测值比实际值少116729亿元。最后一问，问的是“你发现了什么”。这是一个完全开放的设问，但实际上又是有迹可循的，如何给出一个比较好的“发现”呢？学生18要读懂编者层层设问的用意，首先是两个预测值的差别，其次是要懂得分析背后的成因。显然第2个模型预测误差更小更准确，究其原因就是模型中解释变量的取值范围，模型的适用范围不能超出取值范围太多，否则容易产生较大的误差。除了这道题像这样的习题课本还很多，比如教材P121的第4 题、第5 题，也都在引导学生检验并反思模型的合理性。而上述这道题可以说是非常具有数学建模味道的一道题目了，它比较完整地呈现了数学建模的过程。虽然这样的题目在实际教学实践中会比较麻烦，比如学生做作业时需要有上机条件，数据来源实际较复杂、完成所需耗时较长等，但完成这样一道题，不仅对回归分析，也对数学建模会有更加深刻的理解。如何能真正灵活运用好统计工具、统计思想去分析解决问题，而不是停留在一些套路化的套公式计算上，是新教材统计习题编制传达给我们的信号。通过上述对人教2 0 1 9 选修性必修第三册第八章习题的分析，我们很清楚地看到，新教材在习题编制上，为了更好地在日常教学中培育学生的数学建模素养，从题型、题量、设问构思等多方面人手进行了较多的创新与尝试，使之能够成为数学建模的日常教学的良好载体。作为一线教师，如果能够用好新教材的相关习题，能够看到并充分挖掘习题中蕴含的数学建模思想，让学生在潜移默化中逐步形成数学建模所需的各项能力，那么相信学生达到数学建模专项要求最高层次即能够全过程全自主进行数学建模活动，也会是水到渠成的事了。【本文系2 0 2 1 年度福建省基础教育课程教学研究课题“高中数学人教A版新旧教材与不同版本教材的比较及校本化实施研究”（编号MJYKT2021-159）、泉州市教育科学“十四五”规划（第一批）研究课题“基于新课程理念的人教A版高中数学教材习题使用”（编号QG1451-082）的研究成果。】参考文献：1兰小根，朱文芳数学建模进入中学课程的意义与价值 .数学教育学报，2 0 2 3(0 3):8-1 2.