三次多项式的非单调高度_包军元.pdf

2 0 2 3年4月第3 8卷第4期内江师范学院学报J o u r n a l o fN e i j i a n gN o r m a lU n i v e r s i t yA p r.2 0 2 3V o l.3 8N o.4三次多项式的非单调高度包 军 元*(四川大学 数学学院,四川 成都 6 1 0 0 6 4)摘 要:非单调高度通过描述非单调连续函数在迭代下非单调点个数的变化来刻画函数在迭代下的复杂程度.前人已经证明二次多项式这类特殊的连续函数的高度或者是1或者是无穷,即随着迭代次数的增加其非单调点的个数或者恒为1或者单增到无穷,并对单增到无穷的情形计算非单调点个数变化时的参数,猜测当参数7.5时非单调点个数按2n-1增长.本文研究了三次多项式函数的非单调高度,证明其高度或者是0或者是无穷.另外对二次多项式否定了前人提出的猜测.关键词:多项式;迭代;非单调高度;拓扑共轭D O I:1 0.1 3 6 0 3/j.c n k i.5 1-1 6 2 1/z.2 0 2 3.0 4.0 0 9中图分类号:O 1 9 2文献标志码:A文章编号:1 6 7 1-1 7 8 5(2 0 2 3)0 4-0 0 4 2-0 50 引言考虑一个连续函数f:II,其中I是一个区间.对于一个给定的正整数n1,f的第n次迭代fn定义为fnx()=f fn-1x()(),f0 x()=x,xI,如果f在x0I的某个邻域内严格单调,则称x0为f的一个单调点;否则称x0为f的一个非单调点.如 果 认 为 动 力 系 统 的 复 杂 性 由 其 非 线 性 决定1-3,不如说更受其非单调性的影响.事实上,一个非线性单增函数的迭代并不会增加不动点和周期点.而一旦是非单调的,比如一维单峰映射,也可以产生复杂的动力学行为,如由F e i g e n b a u m现象4产生的周期轨和混沌5.一类基本的非单调函数是具有有限个非单调点的连续函数,称为逐段严格单调函数(简称PM函数).文 献 6-7 对PM函 数f的 非 单 调 点 个 数N(f)证明了以下结论:(i)0N(f)N(f2)N(f3)N(f3)N(fk)N(fk+1);(i i)如果N(fm)=N(fm+1),那么N(fn)=N(fn+1)对于任意的nm成立.结论(i i)表明存在一个那样的最小正整数m,记为H(f)并称为f的非单调高度8(简称高度),它是每一个PM函数f独有的指标,标志着f在迭代下的复杂程度.一个函数即使非单调点数很多,也不意味着它在迭代下复杂,因为其高度未必很大.例如f1(x)=(1/6)x6-(5/4)x4+2x2+4有N(f1)=5但H(f1)=1,而f2(x)=(1/4)x4-(1/2)x2-2有N(f2)=3但H(f2)=+.高度是拓扑共轭意义下的不变量9,是影响连续函数动力学性质的重要因素8-1 3.因此,研究连续函数的高度具有重要的意义.关于多项式函数高度的部分结果已经被得到1 4.2 0 1 8年Y u等1 5研究了二次多项式的高度,证明了二次函数的高度或者为1或者为无穷,即随着迭代次数的增加,二次多项式的非单调点个数要么恒为1,要么单增到无穷的结果和条件,并给出了计算非单调点个数的算法.最后,对二次多项式g(x)=x2+,得到当参数从正无穷变到负无穷的过程中,N(gk)的改变次数l(k)的前7项依次为0,1,2,3,5,8,1 3.给出了两个猜测:其一是随着参数从正无穷变到负无穷,N(gn)的改变次*收稿日期:2 0 2 2-0 7-1 8 作者简介:包军元(1 9 9 5-),男,甘肃天水人,四川大学硕士研究生,研究方向:微分方程与动力系统第4期包军元:三次多项式的非单调高度数l(k)(用l(1)=1替换l(1)=0后)符合F i b o n a c-c i律;其二是当参数满足k,l(k-2)(k,l(k-2),k=2,3,7)1 5时,N(gk)=2k-1.本文针对三次多项式函数研究非单调高度.在第一节我们证明其高度或者是0或者是无穷,即随着迭代次数的增加其非单调点的个数或者恒为0或者单增到无穷,并给出了三次多项式在不同高度下参数满足的条件.第二节对文献1 5 中对二次多项式提出的猜测2做出了否定回答.1 三次多项式的高度考虑一般实系数三次多项式函数f(x)=ax3+bx2+c x+d,其中a0.利用同胚h(x)=x/(|a|-b3a)可以将f简化为g(x):=h-1(f(h(x)=x3+x+,(1)其中:=s i g n(a)=1且,是实数.由文献1 1引理5和文献8 推论3.2知,如果f与g拓扑共轭,那么N(f)=N(g)并且H(f)=H(g).因此,我们只需要讨论g的高度.为了体现对参数的依赖性,我们将g记为g,.定理1 当 0时,H(g,)=0;否则,H(g,)=+.要证明这个结论我们需要以下工具.引理11 2 x0为实系数多项式函数f的一个非单调点当且仅当x0是实系数多项式函数f的一个奇数重实零点.而且,当f的阶数m为偶数(奇数)时,N(f)为奇数(偶数).引理21 5 假设:RR且:RR是两个连续函数.那么S()=S()S(),(2)其中S()表示的非单调点集,且S():=xR:(x)S().定理1的证明:当 0时,g(x)单调,从而N(g)=0,即H(g)=0.如果 0,由g(x)=3x2+知g有两个实零点1=-/3和2=-/3.由引理1,g恰有两个非单调点,分别为10.事实上,1是极大值点,2是极小值点.为了进一步讨论,假设F i x(g),m(g)和M(g)分别表示g的不动点集,极小值点集和极大值点集,即F i x(g):=x:g(x)=x,m(g):=x0:存在0使得当x(x0-,x0+)x0时,成立g(x)g(x0),M(g):=x0:存在0使得当x(x0-,x0+)x0时,成立g(x)g(x0).我们分别讨论=1的情况.当=1时,l i mx(g(x)-x)=.(3)分g(2)2和g(2)2两个情况讨论.情形1 g(2)0是极小值点,g在(2,+)上严格递增.由于g(2)2,因此g(x)g(2),进而g(1)g(2)21,结合(3)中取-的结果以及连续性得到,存在2(-,1)使得g(2)=2.由于1为g的极大值点,所以g在(-,1)上严格递减.因为g(1)1,故g(x)x,x(2,1).令a0=1,递归地,定义an=g-1(an-1)(2,1),n1.那么序列 ann=1严格递减.类似于情形1,我们有对任意的n0,anS(gn+1)S(gn).因此(5)成立,进而H(g)=+.如果=-1,考 虑G(x):=g2(x),可 见G(x)首项系数为1.由(4)可知S(g)S(G),因此,N(G)2.设m(G)=iki=1,M(G)=iki=1均严格递增,因G的首项系数为1,因此34内江师范学院学报第3 8卷1122kk.(6)当G(k)k时,类似于上述g(2)1时,类似于g(2)2的情形,得到H(G)=+.如果前两种情形均不发生,即G(k)k且G(1)1.因g在 1,1严格递减,因此G(1)G(1),进而由(6)知,G(1)G(1)11.此时,存在2ik-1使得G(i)i+1.(7)如若不然,因G(1)1,故G(2)2,进而G(2)G(2)2G(k)kk,矛盾.因此,存在2ik-1使得(7)成立.于是存在3(i,i+1)F i x(g),作与g(2)2且g(1)1的情形类似的讨论,得到H(G)=+.若H(g)=s+,即对于任意的is,有N(gi)=N(gi+1).故N(Gs/2+1)=N(Gs/2+2),即H(G)s/2+1,这与H(G)=+相矛盾,故H(g)=+.这就完成了定理1的证明.2 对猜测2的回答本小节我们考虑二次函数f(x)=x2+,其中0.文献1 1 的第四节研究了N(f)关于参数的依赖性,分别计算出当从正无穷减小到负无穷的过程中,N gk()(k=1,2,7)的改变次数l(k)依次为0,1,2,3,5,8,1 3.可以看到如果用l(1)=1替换l(1)=0,那么l(k)的前7项满足F i b o n a c c i数列,从而提出猜测1:l(k)(替换l(0)后)是F i b o n a c c i数列;并通过对(-,7.5)(7.5-1.9 9 6 3 7 6 1 3 8)计算N(g)=1,N(g2)=3,N(g3)=7,N(g4)=1 5,N(g5)=3 1,N(g6)=6 3,N(g7)=1 2 7,因而提出猜测2:当k,l(k-2)时,N(gn)=2n-1.下面的定理表明对任意的(-2,7,5),当n充分大时N(gn)2n-1,从而否定了猜测2.定理2 二次函数f(x)=x2+,其中0.对任意的n1,N(fn)=2n-1成立当且仅当-2.证明 令:=f(0),:=m a x F i x(f),:=f2(0).容易验证对于任意的k1,有f-k(0)(-,).事实上,f-1(0)(-,),假设f-i(0)(-,),由 于 当|x|时,f(x),故f-i-1(0)(-,).这表明对于任意的正整数k,S(fk)(-,).首先,我们证明当-2时,N(fn)=2n-1.我们只证-2的情况,对于=-2的情况可类似证明.由(2)和fn+1=fnf,知S(fn+1)=S(f)x:f(x)S(fn).故S(fn+1)S(fn)=x:f(x)S(fn)S(fn-1),(8)即S(fn+1)S(fn)=f-1(S(fn)S(fn-1),(9)进而N(fn+1)-N(fn)=#f-1(S(fn)S(fn-1).(1 0)当=f(0),故(-,)(f(0),).(1 1)令I1:=(-,0,I2:=(0,),因0是f唯一的极小值点,因此f在I1和I2严格单调.由(1 1)知I1f(I1)f(I2),I2f(I1)f(I2).(1 2)假设S(fn+1)S(fn)中的点有i(n)个落在Ii中,其中i=1,2.根据(8)和(1 0),我们有N(fn+1)-N(fn)=1(n)+2(n).(1 3)注意到S(f)=0,利用f在Ii单调以及(1 2)可知,存在唯一的ii n tIif-1(0),其中i=1,2.由(9)知S(f2)S(f)=1,2,结合(1 3),这意味着1(1)=1且2(1)=1.由(1 2)知对于每个i,存在唯一的i ji n tIjf-1(i),这里i,j=1,2,即S(f3)S(f2)=1 1,1 2,2 1,2 2.因此i(2)=1(1)+2(1),这里i=1,2.一般地,倘若S(fk+1)S(fk)有2m个点且i n tIi中有m个,这里i=1,2,根据(1 2),这2m个点在f作用下产生4m个 原 像 且I1和I2中 各 分 配2m个,S(fk+2)S(fk+1)恰好由这4m个点组成.由(1 3)得i(k+1)=1(k)+2(k),其中i=1,2.于是我们得到差分方程组和初值条件1(n+1)=1(n)+2(n),2(n+1)=1(n)+2(n),1(1)=1,2(1)=1.(1 4)因此1(n)=2(n)=2n-1,n1.(1 5)由(1 3)和(1 5)得到N(fn+1)-N(fn)=2n,(1 6)44第4期包军元:三次多项式的非单调高度结合N(f)=1得到N(fn)=2n-1.(1 7)下面我们证明当(-2,0)时,对于充分大的n,N(fn)2n-1.因f在(-,0 和(0,)严格单调,因此,(-,)中每个点在f-1下至多产生2个原像.由(1 0)我们有N(fn+1)-N(fn)=#f-1(S(fn)S(fn-1)2#(S(fn)S(fn-1)=2(N(fn)-N(fn-1)2n(N(f)-N(f0)=2n,(1 8)上式中等号成立当且仅当对任意的n和任意xS(fn+1)S(fn),x在f下产生两个原像.由(1 8)和N(f)=1知N(fn)2n-1.往证当n充分大时,N(fn)2n-1.事实上,令b0:=0,对于任意的n1,递归地,定义bi=f-1(bi-1)(0,),那么序列 bii=0严格