2023年4月第38卷第4期内江师范学院学报JournalofNeijiangNormalUniversityApr.2023Vol.38No.4三次多项式的非单调高度包军元*(四川大学数学学院,四川成都610064)摘要:非单调高度通过描述非单调连续函数在迭代下非单调点个数的变化来刻画函数在迭代下的复杂程度.前人已经证明二次多项式这类特殊的连续函数的高度或者是1或者是无穷,即随着迭代次数的增加其非单调点的个数或者恒为1或者单增到无穷,并对单增到无穷的情形计算非单调点个数变化时的参数,猜测当参数μ<μ7.5时非单调点个数按2n-1增长.本文研究了三次多项式函数的非单调高度,证明其高度或者是0或者是无穷.另外对二次多项式否定了前人提出的猜测.关键词:多项式;迭代;非单调高度;拓扑共轭DOI:10.13603/j.cnki.51-1621/z.2023.04.009中图分类号:O192文献标志码:A文章编号:1671-1785(2023)04-0042-050引言考虑一个连续函数f:I→I,其中I是一个区间.对于一个给定的正整数n≥1,f的第n次迭代fn定义为fnx()=ffn-1x()(),f0x()=x,∀x∈I,如果f在x0∈I的某个邻域内严格单调,则称x0为f的一个单调点;否则称x0为f的一个非单调点.如果认为动力系统的复杂性由其非线性决定[1-3],不如说更受其非单调性的影响.事实上,一个非线性单增函数的迭代并不会增加不动点和周期点.而一旦是非单调的,比如一维单峰映射,也可以产生复杂的动力学行为,如由Feigenbaum现象[4]产生的周期轨和混沌[5].一类基本的非单调函数是具有有限个非单调点的连续函数,称为逐段严格单调函数(简称PM函数).文献[6-7]对PM函数f的非单调点个数N(f)证明了以下结论:(i)0≤N(f)≤N(f2)≤N(f3)≤N(f3)≤…≤N(fk)≤N(fk+1)≤…;(ii)如果N(fm)=N(fm+1),那么N(fn)=N(fn+1)对于任意的n≥m成立.结论(ii)表明存在一个那样的最小正整数m,记为H(f)并称为f的非单调高度[8](简称高度),它是每一个PM函数f独有的指标,标志着f在迭代下的复杂程度.一个函数即使非单调点数很多,也不意味着它在迭代下复杂,因为其高度未必很大.例如f1(x)=(1/6)x6-(5/4)x4+2x2+4有N(f1)=5但H(f1)=1,而f2(x)=(1/4)x4-(1/2)x2-2有N(f2)=3但H(f2)=+∞.高度是拓扑共轭意义下的不变量[9],是影响连续函数动力学性质的重要因素[8-13].因此,研究连续函数的高度具有重要的意义.关于多项式函数高度的部分结果已经被得到[14].2018年Yu等[15]研究了二次多项式的高度,证明了二次函数的高度或者为1或者为无穷,即随着迭代次数的增加,二次多项式的非单调点个数要么恒为1,要么单增到无穷的结果和条件,并给...
