数学中的无限_AWMoore%0A.pdf

数学中的无限A.W.Moore*著隋婷婷王小塞*译内容提要：有关数学中无限的研究大部分发源于近代。首先，文章将概述德国杰出数学家格奥尔格康托尔的思想。康托尔的研究具有深远的革命性意义，他不仅证明了无限的可比较性，还发明了用以测量无限的无穷数并展示了计算过程。然而，这一研究在康托尔的同时代人（19 世纪末到 20 世纪初）当中引发了巨大的分歧，这也导致了康托尔精神的彻底崩溃。此外，这些研究还引发了一些新悖论，这也促成了很多数学基础性工作的崩溃，文章将阐述其中一些悖论，如罗素悖论，并讨论一些数学家，特别是戈特洛布弗雷格的相关回应。弗雷格曾试图为数学提供一个严格可靠的基础，但罗素悖论似乎完全摧毁了他毕生的工作。文章还将进一步探讨这些悖论在数学上的后续发展，如哥德尔的研究。一个结论是，通过将无限置于正式的审视中，数学家最终为自己制造了更多难以解决的问题，他们还因此不得不考虑一些位于这门学科核心的深奥谜题。*牛津大学哲学系教授、牛津大学圣休学院教导学者。*隋婷婷，北京大学外国哲学研究所、北京大学哲学系博雅博士后。王小塞，北京大学外国哲学研究所、北京大学哲学系助理教授。译者致谢：在此感谢尚新建教授对译文的宝贵建议，以及罗诗曼同学在文本校对方面的协助。262外 国 哲 学关键词：算术基础康托尔罗素悖论弗雷格哥德尔维特根斯坦一、康托尔有关“无限”的数学著作数学领域对无限的研究也可被看作是对无限本质在技术层面的正式研究。在古代和中世纪思想中的无限中，我们曾回溯了历史上对无限的研究。本次将讨论无限在 19 世纪的发展。与 2500 年前相比，这可以算作是近期的研究。这一现象表明，在人们对无限的概念进行严肃、正式的处理前，关于无限的思想史已经历经了漫长的发展。这方面的关键人物是格奥尔格康托尔（Georg Cantor），他是一位杰出的数学家，也是数学方面所有相关工作的发起人，并且，他实际上创造了一个全新的数学分支。他的研究成果非常出色，但这些成果就某些方面而言很反直觉。特别是他做了一件前无古人的事，即区分不同阶的无穷。康托尔承认有各种各样的无限集合，但他认为严格说来，在数学能够精确定义的意义上，一些集合大于另一些集合。此外，他引入了无穷数用于测量不同的无限集合的大小。因此，就像我们用普通的自然数（1、2、3、4、5 等）来说明有限对象的大小一样，我也可以用无穷数来说明无限对象的大小。这里无法详述所有的技术细节，但下面将简要说明康托尔如何比较无限的大小。在古代和中世纪思想中的无限的结尾，我曾探讨过伽利略（Galileo）的一些思想，特别是伽利略发现可以把所有自然数与所有平方数一一对应，即每个数字都能与自己的平方相对应（0 对应 0，1 对应 1，2 对应 4，3 对应9，4 对应 16，等等）。伽利略由此得出结论，如果要讨论无限大小的比较，我们就不得不承认平方数和自然数一样多。伽利略认为这是反直觉的。事实上，他认为若我们使用这些术语，平方数就显然要少于自然数，因为许多自然数不是平方数。所以伽利略建议不要使用此类术语，否则我们将会陷入悖论和矛盾。康托尔所做的与伽利略完全不同。他打算接受这个反直觉的结 注：古代和中世纪思想中的无限是摩尔教授“无限”的历史系列讲座中的第一讲。数学中的无限263果，并认为只要小心地解释我们的意思，那么使用这些术语是完全具备合法性的。因此，康托尔准备捍卫这个观点，即自然数和平方数一样多。问题是，这是否意味着所有无限集合的大小都相同，是否总能以这种方式对它们进行配对？康托尔认为，我们并不是每次都能成功地将两个无限集合中的元素一一配对，下图展示了康托尔的论证（见图）：图自然数无限集合沿着左边的一列向下看，可以看到自然数 0、1、2、3 等，下面的三个点表示这列数字是无限的，这就是我们设想的自然数无限集合。现在我们试着把它们和仅由自然数组成的集合配对。第一列的右边由“是”和“否”组成的水平序列代表各种各样仅由自然数（可能不是全部自然数）组成的集合。图中的每一行都代表一组特定的自然数，规定任何既定行组合的方式是通过“是”和“否”来记录连续的自然数是否属于这个组合。例如，在图的最上面一行，序列为“是”“否”“是”“否”，说明该序列表示一个包含 0 和2 但不包含 1 和 3 的数集。也许这一行记录的是偶数的集合（这取决于序列后续的其余部分）。依此类推，下面一行的“否”“否”“是”“是”指一个包含 2 和 3 但不包含 0 和 1 的数集。这可能是质数的集合（但这同样取决于序列后续的未知部分。）下一行的“是”“是”“否”“否”可能是一组平方数的集合。再下一行的“否”“否”“否”“否”可能是一个无限的“否”的序列，264外 国 哲 学换言之，也许指的是空集。严格来说，空集可以算作自然数的集合之一，因此也是我们必须考虑到的集合之一。无论如何，这张图只是一个例子，它的设计是完全随意的。问题在于我们是否可以在右边安排任何自然数集合，如果可以，我们就可以把一个单个的自然数与这个集合对应，也就是说会有与自然数集合一样多的单个自然数。康托尔巧妙地论证了这是不可能的。康托尔指出，无论我们如何设计这张图，总有一些集合不会出现在右边的序列中，或者说，至少有一个集合不会出现。他的论证过程如下：你可以看到在这个图中代表对角线的直线，若从左上角开始，沿着对角线向下移动，你会看到一个“是”，然后是“否”，然后是“否”，然后是“否”。现在康托尔让我们想象每次遇到“是”或“否”时写下相反的词，因此，我们要写下“否”“是”“是”“是”，这个过程持续下去，后面取决于图的其他部分是什么样子，这本身便是一个由“是”和“否”组成的无穷序列。现在的问题是这个序列在图的哪个位置。它是一个表示自然数集合的数列。这个自然数集合应当出现在上图的某个地方，就和其他自然数集合一样。然而这无法实现。我们对序列的构造使它无法实现。我们可以知道它不是数列上的第一行，因为它与这个集合的第一个数字不同；它也不是第二行，因为它与第二行的第二个数字不同；它也不是第三行，因为它和第三行的第三个数字也不同，依次类推。所以，我们不能把自然数集和单个自然数一一对应。因此，康托尔得出结论，仅由自然数组成的集合比所有自然数要多。此外，这一论证是可以被普遍化的。我们可以用其说明任意给定集合的子集总是比集合中的单个元素多。有一个很多人都熟悉的术语：幂集（一个集合的所有子集的集合）。它表明一个集合的幂集的元素总是比这个集合本身的元素多。如我们所见，自然数集的幂集的元素比自然数集的元素多。自然数集的幂集甚至有更多的元素显然，幂集可以无尽地增大。由此可见，无穷大不仅有不同的阶，还有无穷多个不同的阶。至少在康托尔的时代，此种观点非常具有革命性，同时也是很反直觉的。然而，它也是最严谨、最精确、最形式化的数学成果。康托尔确信他的研究数学中的无限265在数学上具有重要性和可靠性，并将之视为数学上毫无疑问的重大发现。二、康托尔的宗教信仰康托尔不仅是一位杰出的数学家，他还有着深刻的宗教信仰。他信仰上帝，这一信仰对他的生活有着重大的影响。他把自己的数学研究和对上帝的信仰联系了起来。他相信他的数学才能是上帝赐予的，这不仅使他能够从数学的角度研究无限，而且使他能够证明他的一些宗教信仰是正确的。康托尔是这样描述他关于无限的数学研究的：我的理论坚如磐石；每一支指向它的箭，都会很快回到射出它的弓箭手的手中。我是如何知道这些的？因为我已经从各方面对此研究了很多年；并且已经研究了人们对无穷数所提出的所有反对意见；最重要的是，我可以说是将无限的根源追溯到了一切被创造物体的绝对正确的第一推动力（the first infallible cause）。他还写道：“绝对”（absolute）只能被承认和确认，永远无法被了解（known），甚至无法被大概地了解。康托尔发现了一种他称之为“绝对”的东西，他指的是一种无限，这种无限是如此伟大，甚至超过了他所捍卫的所有数学研究；它是如此地伟大，以至于我们不能以测量自然数集的方式测量它。例如，我们考虑了各种无限 Letter from Cantor to K.F.Heman,dated 21 June 1888,quoted by Joseph W.Dauben,in his Georg Cantor:His Mathematics and Philosophy of the Infinite,Harvard University Press,1979,p.298.Quoted by Michael Hallett,in his Cantorian Set Theory and Limitation of Size,Oxford University Press,1984,p.13.266外 国 哲 学集合，包括自然数集和自然数集的幂集；但试想一下所有事物（或者所有数学实体）组成的集合，“绝对”是将所有东西都放在一个巨大的集合中。康托尔基于多种技术原因认为这样一个集合太大以至于无法测量。他把这样的集合称为不一致的整体（inconsistent totalities），因为如果我们像看待其他集合一样看它们，我们最终会发现自己陷入悖论和矛盾之中。然而，他在这里承认了“绝对”，它比所有他花时间区分过的不同的无限的量级都更大。这对他很重要，因为这是他的数学研究和他的宗教信仰之间的一种联系。因为正是这种绝对的无限，被康托尔认为是上帝的特征。和许多人一样，康托尔相信上帝是在一种绝对意义上的无限。在上面的第二段引文中，我们可以看到康托尔说“绝对”是可以被承认和确认的，因为他已经证明了，即使从数学的角度来看，我们也有充分的理由用这些术语来谈论“绝对”；然而，他接下来说，“绝对”永远无法真正被了解。在康托尔看来，我们不可能了解上帝的无限到底是什么样的，正如我们不可能认识所有数学对象的集合，因为我们通常只能处理次一级的东西。三、康托尔为亚里士多德式的正统辩护了吗?在古代和中世纪思想中的无限中，我们花了很多时间来讨论亚里士多德的思想，尤其是他所说的实无限和潜无限之间的关键区别。实无限指一种同时存在的无限，如果你能同时把所有事物聚集在一起，这就是实无限。潜无限指一种非同时存在的无限，也即是一种永无止境的过程中浮现的无限。亚里士多德认为，实无限没有任何意义，我们唯一可以合理讨论的无限是潜无限。现在你可能会认为，2000 多年后，康托尔拒斥了亚里士多德的观点。因为康托尔好像终于证明了我们可以谈论实无限我们可以将自然数集看作同时把所有自然数聚集在一起。我们甚至可以通过严格的数学方法测量它，讨论它有多大，比较它与其他无穷集合的势的大小。这看起来是非常反亚里士多德的。然而，我自己的观点是，康托尔实际上证明了亚里士多德的观点是正确的，特别是通过他对于“绝对”的涉及。数学中的无限267在某种隐喻的意义上，康托尔所做的是考虑无限制地越来越大的集合：每个集合的势都小于它的幂集的势，而幂集的势又小于自己的幂集的势，如此往复，没有尽头。但这意味着一个永不结束的进程，也意味着某种时间性。它可能不像亚里士多德想象的那样是字面意义上的时间，但它是隐喻意义上的时间。所以，有一种观点是，我们总是能够找到更大的集合，这类无限被康托尔称为“绝对”，这种“绝对”是不能在同一时间点遇到或者获得的。因此，似乎康托尔是说，真正的无限只是潜无限，而不是实无限，所以，某种意义上，康托尔是在为亚里士德辩护，而非攻击他的观点。四、对康托尔研究的接受度康托尔的研究在当时受到很多人（包括一些数学家）的反对。康托尔的研究具有巨大的革命性意义，但其在 19 世纪末和 20 世纪初的同时代人中得到的评价较为两极分化（部分导致了康托深受心理健康问题困扰，最终彻底崩溃）。例如，这里我们可以引用非常支持康托尔的研究的伯特兰罗素（Bertrand Russel）的话：两千多年来，人类的智慧一直被“无限”这个问题所困扰。很多哲学家，从芝诺到柏格森，将他们大部分的形而上学工作建立在无限集合是不可能的这一假定之上。这些困难的最终解决办法则归功于康托尔。下面这句则来源于数学家利奥波德克罗内克的名言，它表达的