中国科学:数学2023年第53卷第2期:339∼368SCIENTIASINICAMathematica论文英文引用格式:XiYX,KongXL,GeGN.Aclassificationforoptimalquaternarylocallyrepairablecodes(inChinese).SciSinMath,2023,53:339–368,doi:10.1360/SSM-2022-0041c©2022《中国科学》杂志社www.scichina.commathcn.scichina.com四元域上最优局部可修复码的分类献给朱烈教授80华诞奚元霄1,孔祥粱2,葛根年2∗1.浙江大学数学科学学院,杭州310058;2.首都师范大学数学科学学院,北京100048E-mail:yuanxiaoxi@zju.edu.cn,2160501011@cnu.edu.cn,gnge@zju.edu.cn收稿日期:2022-03-14;接受日期:2022-05-17;网络出版日期:2022-08-24;*通信作者国家重点研发计划(批准号:2020YFA0712100和2018YFA0704703)、国家自然科学基金(批准号:11971325)和北京学者项目资助项目摘要近年来,为了提高分布式存储系统的容错性和可靠性,编码学家们引入了几类新的编码方案,其中局部可修复码(locallyrepairablecodes,LRC)起到了重要的作用.对于一个线性码,若它的一个码字符号能通过其他至多r个码字符号修复,则称其具有局部性参数r.码长为n、维数为k、局部性参数为r的LRC((n,k,r)-LRC),其极小距离d满足Singleton型界d⩽n−k−⌈k/r⌉+2.自LRC被提出以来,有许多工作研究小域上达到Singleton型界的码类.本文从码的校验矩阵角度出发,利用组合设计和有限几何的工具,研究了达到Singleton型界的最优四元LRC.本文证明了在四元域上共有27类最优的LRC,并且给出了这些最优码的构造.不仅如此,利用有限几何工具,本文还引入了判断最优LRC存在的新方法.关键词局部可修复码组合设计有限几何大数据存储MSC(2020)主题分类51E20,94B05,94B60,68P201引言随着近几十年来互联网及信息产业的飞速发展,数据作为新的生产要素已经渗透到人们生产生活的各个方面,并发挥着无可替代的重要作用.在如今“大数据”时代,为了能够极大地发挥数据这一生产要素的作用,人们面临的首要问题是如何对数据进行有效地存储.为确保存储的可靠性,传统方法是将同一文件的多个副本存储在不同的单元上.就存储开销而言(存储开销是指总存储数据量与文件本身数据量的比率),这种复制策略显然是低效的.现代数据中心可以存储数EB的数据(1EB=109GB),如此庞大的存储量带来的成本不仅体现在硬件和软件方面,还有电力和人力资源的消耗.因此,减少存储开销至关重要.在不影响存储可靠性的情形下,减少存储奚元霄等:四元域上最优局部可修复码的分类开销的一种有效方法是使用...
