压电功能梯度层合梁的力-电...热耦合梁单元及最优振动控制_柏冬军.pdf

文章编号：1000-4750(2023)03-0014-13压电功能梯度层合梁的力-电-热耦合梁单元及最优振动控制柏冬军，石广玉(天津大学力学系，天津 300354)摘要：给出了一个压电功能梯度层合梁振动分析的两节点力-电-热耦合梁单元，并将其用于功能梯度层合梁的振动最优控制。在这个多场耦合梁单元中，功能梯度材料的等效力学性能用 Voigt 或 Mori-Tanaka 模型表征；梁的位移场用 Shi 改进的三阶剪切变形板理论描述；压电层的电势场用 Layer-wise 理论分层表征，且呈高阶非线性电势场的压电层可离散成数个子层。用 Hamilton 原理推导了压电功能梯度梁的力-电-热耦合单元列式，用拟协调元法给出了多场耦合梁单元的高计算效率的显式单元刚度矩阵，以及采用线性二次型(LQR)最优控制算法进行压电功能梯度层合梁的最优振动控制。使用所得力-电-热耦合梁单元进行了压电功能梯度层合梁的静力和动力分析。数值算例表明，所得力-电-热耦合梁单元可靠、准确和高效，LQR 最优控制算法得到最优控制电压可有效抑制功能梯度梁的振动且实现控制系统能量的优化。关键词：压电功能梯度层合梁；力-电-热耦合梁单元；杂交板理论；三阶剪切变形梁理论；拟协调元法；最优振动控制中图分类号：TB34 文献标志码：A doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2021.09.0699PIEZOTHERMOELASTICCOUPLINGBEAMELEMENTANDOPTIMALVIBRATIONCONTROLOFPIEZOELECTRICFUNCTIONALLYGRADEDBEAMSBAI Dong-jun,SHI Guang-yu(Department of Mechanics,Tianjin University,Tianjin 300354,China)Abstract:A two-noded piezothermoelastic coupling beam element is presented for the dynamic analysis andoptimal vibration control of piezoelectric functionally graded beams.The equivalent mechanical properties offunctionally graded materials are modeled by Voigt model or Mori-Tanaka model.The kinematics of the beam ischaracterized by Shis third-order shear deformation theory;whereas the electric potential function forpiezoelectric laminae is modeled using layer-wise theory,and a piezoelectric layer can be divided into sublayersand modeled using discrete layers to characterize nonlinear voltage distribution.Hamiltons principle is used toderive the piezothermoelastic finite element equations,and the quasi-conforming element technique is adopted toevaluate the explicit element stiffness matrix of the piezothermoelastic coupling beam element.Linear QuadraticRegulator(LQR)control scheme is employed for the optimal active vibration control.The proposed beam elementand active control scheme are validated through static and dynamic analyses of piezoelectric functionally gradedbeams.The numerical results show that the present beam element is reliable,accurate and efficient,the optimalcontrol voltage evaluated from LQR control scheme can efficiently control the vibration of functionally gradedbeams,and the LQR control scheme can optimize the energy input for vibration control.Keywords:piezoelectric functionally graded composite beams;piezothermoelastic coupling beam element;hybrid plate theory;third-order shear deformation beam theory;quasi-conforming elementtechnique;optimal vibration control 收稿日期：2021-09-07；修改日期：2021-12-22通讯作者：石广玉(1957)，男，山东人，教授，博士，博导，主要从事计算固体力学研究(E-mail:shi_).作者简介：柏冬军(1997)，男，湖南人，硕士生，主要从事压电智能层合结构研究(E-mail:).第 40 卷第 3 期Vol.40 No.3工程力学2023 年3 月Mar.2023ENGINEERING MECHANICS14 功能梯度材料是由两种或两种以上的材料组成的一种复合材料，其成分及相关的材料特性通常在一个方向或者多个方向呈连续平稳变化1。由于其内部材料属性的连续变化，功能梯度材料可以有效避免普通层合材料因内部材料突变所产生的应力集中问题，因此近些年来由功能梯度材料所组成的结构备受关注1 5。近年来结构的振动控制是工程中的热点问题，尤其在航空航天及汽车领域。通常将压电材料作为传感器与致动器粘贴或镶嵌在柔性结构的表面，通过控制电路实现对结构的振动主动控制。因而，包含压电传感器和致动器的智能层合结构的建模、分析以及设计也受到广泛关注6。其中结构的核心层为各向同性材料或层合复合材料的研究文献最为多见，而智能功能梯度层合结构的有限元建模及其振动主动控制的研究则较少7 8。对于包含压电层及功能梯度层的智能层合结构，压电层的力电耦合效应会影响到结构的力学响应。合理的层合板理论对准确且高效地进行层合结构的多场耦合分析十分重要。MITCHELL 和 REDDY9提出了一个高效压电层合板分析的杂交板理论，它使用等效单层板理论表征层合板的力学行为，用 Layer-wise 理论描述其电势场。一个理想的振动控制方法要以较小的能量和较短的时间实现对结构振动的稳定的控制。基于速度反馈的振动控制方法在压电功能梯度层合结构的振动控制中得到广泛的应用10 13。它通过改变反馈增益的值得到不同大小的控制力实现对功能梯度结构的振动控制。SELIM 等10以及 YASIN等8研究了常增益负反馈控制的稳定性问题，且SELIM 等指出由于压电功能梯度层合结构存在拉弯耦合变形，会使得控制系统变得不稳定，两篇文献均通过改变压电传感器层和致动器层的位置提升系统的稳定性。刘涛等13基于等几何方法同样采用常增益负反馈控制研究了功能梯度板的振动控制问题，引入物理中面的概念避免当传感器与致动器粘贴于功能梯度层表面时由于拉弯耦合效应引起的控制不稳定问题。经典控制方法操作简单但却忽略了控制过程中能量的消耗，所得基于系统输出反馈的控制力往往并非为最优控制力，因而不是最优振动控制。BRUANT 等7及HARTI 等14基于 LQR 算法实现功能梯度梁上局部布置压电片时的振动控制，并讨论了压电致动器和传感器的位置对结构振动控制效果的影响。YASIN 等8基于 Layer-wise 理论表述梁内位移场及电势场，提出了一个带内部电学自由度的压电功能梯度梁单元，使用常增益速度反馈控制算法和 LQR 算法对结构的振动进行控制。结果表明：LQR 最优控制比常增益负速度反馈控制所消耗能量更低，且 LQR 不存在上述稳定性问题。因而，LQR 是实现最优主动振动控制的良好选择。压电功能梯度层合梁具有力-电-热的耦合效应，故对应有限元模型的计算效率对工程问题的求解很重要。现有的力-电-热耦合分析有限元都是采用数值积分8,11,14 15。TIAN 等16的工作表明，采用拟协调元法可以得到层合结构的显式单元刚度矩阵，从而避免了数值积分和提高了计算效率。基于弹性力学基本方程以及能量等效原理得出的 SHI17改进的三阶剪切变形理论可以精确地考虑横向剪切变形对梁振动高阶频率的影响。本文采用杂交板理论9 和 Hamilton 原理推导压电功能梯度层合梁的力-电-热耦合控制方程，其中用 SHI17改进的三阶剪切变形理论描述梁的位移场，用 Layer-wise 理论9分层地描述压电层电势场。然后用假设应变的拟协调元法18推导两节点压电功能梯度层合梁单元的刚度矩阵。由于推导过程中单独假设梁中切应变以及剪切应变梯度，可以有效避免梁单元的剪切自锁。使用所得力-电-热耦合梁单元进行了不同载荷下压电功能梯度层合梁的静力和动力分析，用 LQR 最优控制算法实现了结构振动的主动控制。所得计算结果与其它梁单元结果及二维有限元解的比对验证了文中所给力-电-热耦合梁单元的准确性。1 压电功能梯度层合梁单元如图 1 所示为一个压电功能梯度层合梁，梁中间层功能梯度层厚度为 hc，它由两种不同的材料沿梁高度按一定规律梯度分布复合而成。功能梯度上下表面粘贴有等厚度 hp的压电层。假设相邻两层理想粘结且不考虑粘结层影响，并只考虑xoz 平面内的荷载。hphphcL功能梯度层压电层z(3)y(2)bz(3)x(1)图 1 压电功能梯度梁示意图Fig.1 Geometry of piezoelectric functionally beam 工程力学15 1.1 压电功能梯度梁本构关系功能梯度层由金属和陶瓷按一定的规律复合而成，其上侧为纯陶瓷，下侧为纯金属。其等效材料参数，如弹性模量、泊松比、热膨胀系数、密度等，沿梁厚度方向呈连续均匀变化。陶瓷体积分数 Vc沿厚度方向的分布可表征为10：Vc=(2z+hc2hc)N,0N 0.519.61Q=107 I，R=I0.24957.58Q=108 I，R=I0.082142.30Q=107 I，R=0.5 I0.18877.67Q=107 I，R=2 I0.36742.06 4 结论本文基于杂交板理论推导了一个 C1连续的两节点压电功能梯度层合梁单元，其中以 SHI 改进的三阶剪切变形理论表示梁内位移场，以 Layer-wise理论表示梁内压电层电势场。基于 Hamilton 变分原理推导得到梁单元的有限元列式，并将此有限元列式用于压电功能梯度层合梁的静力分析及动力分析。通过 LQR 最优控制算法求得最优控制力实现对压电功能梯度梁的振动最优控制。数值算例结果表明：(1)所得压电功能梯度层合梁单元的位移与应力计算结果与 Ansys 的二维弹性力学单元计算结果一致。但本文使用的梁单元比二维弹性力学模型所使用的单元少很多，表明本文所给梁单元可以准确且高效地描述压电功能梯度层合梁的力-电-热耦合效应。(2)压电功能梯度层合梁