引入方差_波动率资产的动态最优投资组合_周春阳.pdf

第 卷第 期 年 月 管 理 科 学 学 报 ：引入方差 波动率资产的动态最优投资组合周春阳，吴冲锋（上海交通大学安泰经济与管理学院，上海）摘要：本文在构建投资组合时，除了包含传统的股票资产和无风险资产，还引入方差 波动率资产 给出了动态最优投资组合的显式解，发现方差 波动率资产价格是影响投资组合权重的重要状态变量 方差 波动率资产价格反映了市场的波动程度，股票资产以及方差 波动率资产的最优权重都会随着方差 波动率资产价格的增加而降低 基于美国市场的实证研究表明，组合中加入 期货有助于分散组合风险和提高组合样本外绩效，而组合中不包含 期货会导致投资者遭受一定的经济成本关键词：动态投资组合；方差 波动率资产；经济成本中图分类号：文献标识码：文章编号：（）引 言波动率是重要的市场变量，对投资者进行投资决策和风险管理具有重要的参考价值 例如，芝加哥期权交易所基于期权价格构建的波动率指数（），反映了投资者对未来市场波动的预期，已经成为投资者把握市场情绪和管理投资风险的重要指标 众多研究文献指出，指数对未来市场收益率、波动率和相关性有显著的预测能力，投资者在构建组合时考虑期权 隐 含 波 动 率 信 息 能 够 提 高 组 合 的 投 资绩效，由于波动率变动同股票收益率呈负相关关系，特别是在不利市场条件下两者的相关性更低，因而以方差 波动率为标的的方差 波动率资产，能够为投资者提供一个良好的分散股票风险的工具 在美国等发达国家金融市场，从场外柜台市场的方差互换，到交易所市场基于波动率指数派生出来的 期货、期权、和 等金融产品，交易都非常活跃 在学术研究方面，和、，和 等的研究表明，在传统的股票债券等资产组合中加入 期货或 期权等波动率资产有助于分散投资组合（下端）风险，等基于极值理论研究如何使用 期货对冲股票市场的黑天鹅风险可见，方差 波动率资产可以从如下两个方面影响投资者的投资决策：一方面，方差 波动率资产的价格反映了投资者对市场波动的预期，是重要的市场状态变量；另一方面，方差 波动率资产同股票收益率呈负相关关系，有助于分散股票组合风险 以往文献往往单独考虑上述两个因素对最优投资组合的影响 本文在传统的股票资产和无风险资产组合中引入方差 波动率资产，在投资者具有幂效用函数的假设下，给出了动态最优投收稿日期：；修订日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（）；国家自然科学基金资助重大项目（）作者简介：周春阳（），男，山东荣成人，博士，副研究员：计算 波动率指数的主要思想是通过一系列标普 指数虚值期权来复制 天期限的方差互换，由无套利定价原理可知，该期权组合的价格等于方差互换的价格，或 波动率指数的平方 指数反映了投资者对市场波动的预期，指数越高，投资者为转移波动率风险所需要支付的成本越高 的具体算法可以参阅芝加哥期权交易所波动率指数白皮书（见：）资组合的显示解 本文综合考察方差 波动率资产作为状态变量和风险分散工具对最优投资组合权重和投资组合绩效的影响，并通过经济成本分析，研究方差 波动率资产对投资者期望效用的影响研究发现，方差 波动率资产价格是影响投资者投资决策的重要状态变量 随着方差 波动率资产价格的增加，投资者会降低股票资产和方差 波动率资产的投资权重，增加无风险资产的投资权重 本研究同时求解了组合中不包含方差 波动率资产的动态投资组合问题，并考察不包含方差 波动率资产给投资者带来的经济成本 基于美国标准普尔 全收益指数和 期货数据的实证结果表明，组合中加入 期货有助于分散组合风险 组合中不包含 期货会导致投资者在市场风险较小的时候过于谨慎，而在市场风险较高的时候承担了较高的市场不利变动风险，缺乏 期货作为风险分散工具导致投资者遭受较高的经济成本 最后，样本外实证结果表明，在传统的股票和无风险资产组合中加入 期货有助于提高投资收益和获得更高的夏普比 方差 波动率资产的价格动态过程和动态最优投资组合问题 模型假设令 和 分别代表 时刻股票资产及对应方差资产的价格，借鉴 和，假定他们服从以下随机微分方程 （），（）（），（）其中 ，式（）和式（）表明，方差风险是影响股票资产和方差资产期望收益的系统性风险，其中 和 分别刻画了股票资产和方差资产的风险溢价；同时，两种资产收益率的波动程度也会随着方差资产价格的增加而增加方差互换是非常流行的方差资产 如果在构建组合的时候不采用方差资产，而是采用波动率资产，如 期货，此时令 代表波动率资产的价格，容易证明他满足以下随机微分方程 （），（）式（）和式（）的模型参数存在以下对应关系 ，（）令 ，即 代表 时刻收益率的精度，则 满足以下随机微分方程 （），其中 ，最后，假设投资者具有幂效用函数，即（）其中 代表投资者在期末的财富，代表投资者的相对风险厌恶系数 包含方差 波动率资产的动态最优投资组合令，其中当 时代表方差资产，当 时代表波动率资产 由式（）式（），有 （），投资者可以投资股票资产，方差或波动率资产，以及无风险资产 令，代表股票资产和方差 波动率资产的权重构成的向量，则投资者财富的动态过程可以写作，（，），（），（）其中粗体 代表所有元素为 的 维列向量 以下命题给出了动态最优权重，的显示解命题 给定财富动态过程如式（）所示，不考虑卖空和借贷约束，投资者最大化期末财富效用函数管 理 科 学 学 报 年 月，（）式（）的最优动态投资组合可以写作，（），（）其中，和 分别由附录 中式（）、式（）和式（）给出 证明见附录 式（）中（）代表均值方差最优投资组合权重，当 时它是 的增函数，或方差 波动率资产价格的减函数 第 项代表对冲跨期风险所配置的资产权重 可以看到第 项的第 个分量为，代表股票资产的跨期风险对冲需求为，这表明股票资产的权重不会随着投资期限的变化而变化 第 项的第 个分量，即 代表方差 波动率资产的跨期风险对冲需求 当 时 取值为负，因而方差 波动率资产的风险对冲需求为 的增函数，或方差 波动率资产价格的减函数 综上所述，方差 波动率资产价格是影响投资者资产配置的状态变量，随着其价格的增加，投资者会同时降低股票资产和方差 波动率资产的权重 不包含方差 波动率资产的最优投资组合当组合中不包含方差 波动率资产时，投资者财富的动态过程可以写作，（，），（），（）此时有以下命题成立命题 给定财富动态过程如式（）所示，不考虑卖空和借贷约束，投资者最大化期末财富效用函数式（）的最优动态投资组合为，（）（，）（）其中，和，分别由附录 中式（）和式（）给出 证明见附录 式（）的第 项（）为均值方差最优组合，它是 的增函数，或方差 波动率资产价格的减函数 第 项（，）代表跨期风险对冲需求，它依赖于股票资产和方差 波动率资产的价格相关性 通常情况下 ，即股票资产价格的变动和方差 波动率的变动是负相关的 同时，当 时，取值为负，因而为了对冲方差 波动率随时间的变动，投资者会随着方差 波动率资产价格的增加，降低股票资产的权重 组合中不包含方差 波动率资产的经济成本为了考察在组合中不加入方差 波动率资产给投资者带来的经济成本，类似于 和，求解以下方程（，）（，）越大，表明投资者需要更高的初始财富投资，才能获得用 元投资，相同的期望期末效用 显然，可以由下式得到 （，）（，）（），因而，组合中不包含方差 波动率资产的经济成本可以写作 ，代表每一元期初财富，投资者需要额外 元补偿，才能使他愿意投资，而不是，实证研究 数据和参数估计本文采用的数据是美国标普 全收益指数和 期货连续合约，数据样本区间为 年 月 日至 年 月 日共 个交易日数据 计算了两种资产的对数收益率并乘上，其样本统计量如表 所示 可以看到同标普 全收益指数相比，期货具有更大的标准差和峰度，表明 期货更有可能发生较大的波动标普 全收益指数收益率具有负的偏度，而 期货具有正的偏度，即股票资产更有可能发生负向变动，而波动率资产更有可能发生向上的正向变动 最后，两种资产的相关系数为 第 期周春阳等：引入方差 波动率资产的动态最优投资组合表 资产对数收益率的样本统计值 均值标准差偏度峰度相关系数标普 全收益指数 期货 采用 和 的方法对模型（）和模型（）进行估计，估计结果如表 所示的估计值较小且不显著，表明波动率的增加不能显著提高股票资产的风险溢价 的估计值为 ，且在 水平上显著 由模型（）可知 期货价格的长期均衡值为 的 估 计 值 为 ，且 在 水 平 上显著，即股票收益率和波动率变动之间存在负相关关系 最后，股票资产的波动率 和 期货的波动率 均显著，但前者要远小于后者表 参数估计结果 估计值 标准差 注：表示在 水平上显著 最优动态投资组合和经济成本根据命题 和命题，求解包含 期货和不包含 期货时的最优投资组合问题 投资者风险厌恶系数设为，无风险利率设为.，投资期限为 年 图 画出了不同 期货价格下投资者的最优投资组合权重 可以看到，不管是否包含 期货，风险资产的权重都会随着 期货价格的增加而降低，而无风险资产 的 权 重 会 随 着 期 货 价 格 的 增 加 而增加图 最优动态投资组合 管 理 科 学 学 报 年 月 当组合中包含 期货时，投资者在 期货价格较低的时候会投资较高比重的风险资产例如，当 期货价格为 的时候，此时市场整体的风险较低，股票资产会有较高的吸引力；同时由于 期货价格位于均衡值以下，有较大的概率向上回复 因而，投资者在标普 指数和 期货的投资权重分别为 和 ，即风险资产的总权重达 ，而无风险资产的权重为 当 期货价格增加时，投资者会迅速降低风险资产的比重 当 期货价格接近 时，风险资产的权重基本接近于 当 期货价格达到较高水平，投资者此时会同时做空标普 指数和 期货 例如，当 期货价格为 时，标普 指数和 期货的权重分别为 和 ，无 风 险 资 产 的 权 重 为 此时尽管股票资产可能出现反弹而出现亏损，但是 期货价格向下均值回复，会有效降低组合的风险相比而言，如果组合中不包含 期货，投资者在 期货价格较低时对风险资产的投资会谨慎很多 例如，当 期货价格为 的时候，标普 指数的投资权重仅为 当 期货价格进一步上升时，投资者会降低对标普 指数的投资 但是当 期货价格增长至 以上时，期货价格的变化对风险资产权重的影响非常小 即使在 期货价格为 时，投资者在标普 指数的投资权重仍达到 此时投资者承担了较高的市场价格波动风险根据命题 和命题，表 将风险资产的投资权重进一步分解为均值方差静态组合权重和跨期对冲需求权重，分别对应于式（）或式（）的第 项和第 项表 投资组合权重的两个组成成分 期货价格均值方差组合权重股票指数期货跨期对冲需求权重投资期限 个月投资期限 年投资期限 年股票指数期货股票指数期货股票指数期货面板：包含 期货 面板：不包含 期货 由面板 可以看到，当组合中包含 期货时，均值方差组合在 期货价格较低时同时买入股票和 期货，而在 期货价格较高时同时卖出股票和 期货 由命题 后续的评论可第 期周春阳等：引入方差 波动率资产的动态最优投资组合知，股票指数的跨期风险对冲需求为，而 期货的跨期风险对冲需求是 期货价格的减函数 表 中的实证结果和本研究的理论结果相一致，也具有直观的经济解释 由于 期货价格存在均值回复特性，因而当 期货价格较低时 期货的跨期对冲需求为正，而当 期货 价 格 较 高 时 期 货 的 跨 期 对 冲 需 求为负当组合中不包含 期货时，由命题 后续的评论可知，股票指数的均值方差组合权重和跨期对冲需求权重都随着 期货价格的增加而降低 面板 中的实证结果与本研究理论结果也是一致的 随着 期货价格的增加，风险厌恶的投资者在均值方差组合中会降低股票指数的投资权重，相应增加无风险资产的投资权重 同样，考虑到 期货的均值回复特性，投资者在 期货价格较低时会担心 期货价格回升从而降低股票的投资权重，因而此时股票的跨期对冲需求为负 相应的，当 期货价格较高时，投资者的跨期对冲需求为正图 给出了当包含 期货时，投资者在不同投资期限下的最优组合权重 同表 的结论一致，标普 指数的跨期风险对冲需求为，因