以数学方法引领数学探究的教学实践_沈良.pdf

以数学方法引领数学探究的教学实践沈 良 陈梦琦(杭州市萧山区第五高级中学 3 1 1 2 0 2)高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线,它们贯穿必修、选择性必修和选修课程.数学探究活动是围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程.具体表现为:发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主探索、合作研究论证数学结论.数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动,也是高中阶段数学课程的重要内容.1根据课程标准的要求,我们需要思考的是:数学探究的起点在哪里?希望学生通过自主探究和小组合作等方式发现与论证一些数学结论,起点必然是学生要会探究,是一种真的数学探究,这种探究活动不是盲目的,它是有方向的.而同时,学生探究能力的缺乏、探究方法的缺失又是一个共性问题.所以课堂教学中,首要的是要帮助学生学会探究,特别是遵循知识的发生发展过程,寻找知识发展的脉络,融入数学探究的方法,在引导学生逐步思考过程中学会探究.本文结合人教2 0 1 9版必修第二册“用向量法解决三角形的性质”(第一课时)的教学,谈谈怎样在数学探究的课堂教学中帮助学生学会探究.1 选题背景向量是沟通数与形的桥梁,每一种向量运算都有相应的几何意义,几何图形的性质往往可用向量运算表征.同时,三角形是最重要的基本几何图形之一,具有丰富的性质,是联系各种几何图形的纽带,也是学习几何知识、培养逻辑思维能力、发展理性思维的重要载体之一.所以,运用向量法开展对三角形性质的探究成为一个良好课题,可以帮助学生积累“研究一个几何对象”的活动经验,进一步了解研究一个几何图形的内容、路径、方法等,加深理解向量法在研究几何问题中的作用.当然,对于高中生而言,普遍具有做题经验,缺乏数学探究经验.所以,课堂教学中引导学生学会探究成为一个重要的课题,也就是说要放手让学生自主或小组合作探究,首要的是要帮助学生学会探究,特别是引导学生如何发现和提出问题、分析和解决问题.2 内容设计“用向量法研究三角形的性质”这一数学探究内容,一般包含3个课时,第1课时主要以教师引导学生探究为主,主要是怎样进行数学探究,适当对“选题、开题、做题、结题”等环节进行指导;第2课时主要是在学生独立探究和小组合作基础上,课堂上让学生小组为单位汇报研究成果,教师进行点拨指导;第3课时是小组展示结题成果报告,教师对学生作品进行评价等.第一课时内容设计,首先,回顾几何图形性质和向量运算的相互转化,特别是通过向量运算对几何“一维”关系刻画,提出向量式系数比与线段比关系;其次,在研究三角形的中线性质中,得到重心相关的向量关系式,并探究三角形面积比,通过特殊到一般的过渡,得到“二维”空间中向量式系数比与面积比关系;最后,运用类比的思想方法,猜想“三维”空间中,向量式系数比与体积比关系,并猜想三棱锥的“重心”等.通过层层递进的数学探究设计,引导学生怎样进行数学探究.3 目标定位(1)经历向量法证明三角形相关性质的过程,能用向量法解决几何问题,形成图形性质和向量运算相互转化的经验.(2)通过向量法在研究“一维”到“二维”再到“三维”过程中,感悟类比的探究方法;在向量式系62数学通报 2 0 2 3年 第6 2卷 第2期数比和面积比间寻找联系时,感悟特殊到一般的探究方法.(3)经历完整的数学探究过程,了解数学探究的环节:选题、开题、做题、结题,特别是培养小组合作能力,提升表达和交流能力,以及课题研究能力等,逐步学会探究.(4)在数学探究活动过程中,发展“四基”、“四能”,提升直观想象、数学运算、数学抽象等核心素养.4 教学过程4.1 复习回顾,感知向量运算图形几何关系(度量)向量表示A、B、C三 点共线A C=A BA、B、C三 点共线O C=t O A+(1-t)O BA BA CA BA C=0A O Bc o s A O B=O AO B|O A|O B|教学中,教师展示几何图形,学生用向量运算表示几何图形性质.三点共线的向量运算刻画为后面证三条中线交于一点埋下伏笔,而角度的刻画也体现数量积运算应用的一个重要方面.同时,教学中教师启发学生感悟“向量集数与形于一身,每一种向量运算蕴含相应几何意义.”完成表格后,进一步引导学生思考“一维”线段中点和三等分点的向量表示,并寻找向量式系数与线段长度比的联系,即O为线段A B中点时,O A+O B=0,得O BO A=11,当O为线段A B三等分点(靠近B)时,则O A+2O B=0,得O BO A=12.4.2 借助运算,探究中线性质由线段中点,引发学生探究三角形中线的性质.三角形是最基本的图形之一,蕴含丰富的几何性质,教学中启发学生思考“关于三角形中线具有怎样的性质”,多数学生联想到重心分中线长为2 1(之前解题中涉及到相关结论),教师进一步追问:“重心分中线长21的前提是三条中线要交于一点,初中时我们借助平行利用三角形相似进行证明,今天我们能用向量法证明这一命题吗?”教师随之呈现探究一:用向量法证明三角形三条中线交于一点.首先,师生共同将上述问题进行等价转化:如图1,在A B C中,D,E,F分别是B C,C A,A B的中 点,其 中 两 条 中 线 肯 定 交 于 一 点,不 妨 设B E,C F交于点O,下面只要证A,O,D三点共线,即将“三线共点”转化为“三点共线”.图1其次,引导学生运用向量运算证明A,O,D三点共线.关于A,O,D三点共线的证明学生普遍联想到用向量线性运算表示,比如证:A O=AD,而要证明这个代数式成立,就要从点D和点O的几何特征出发研究,学生由D为B C中点,得到AD=12(A B+A C).下面的问题是如何将A O也表示为A B,A C的形式.课堂教学中,学生经过思考,提出:“由B,O,E三点共线,得到A O=A B+(1-)A E=A B+1-2A C;同理,由C,O,F三点共线,得A O=A F+(1-)A C=2A B+(1-)A C,故=2,1-2=1-,从而 有=13,=23,所 以A O=13(A B+A C)”,得到A O=23AD,所以A,O,D三点共线,命题得证.再则,探究三角形重心的向量关系式.教师提出:“O为线段A B中点时,O A+O B=0,那么当O为A B C重心时,O A,O B,O C又会存在着怎样联系?”这 时,学 生 立 马 猜 想 到:O A+O B+722 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报O C=0,教师借机询问“你们能证明吗”,学生经过探 究 给 出 证 明:A O=13(A B+A C),B O=13(B A+B C),C O=13(C A+C B),所以A O+B O+C O=0,即O A+O B+O C=0,得证.而后,由重心向量式探究相应三角形的面积比.教师继续追问:“在O A+O B=0的关系式中,蕴含O BO A=11的线 段比关系,那 么 在O A+O B+O C=0的关系式中,又蕴含着怎样的度量关 系 呢?”学 生 若 有 所 思,教 师 继 续 点 拨:“一维蕴含线段比,那么二维蕴含”,这时大部分学生回答:“面积比”,“怎样的面积比,面积比又是多少?请同学探究试试”教师追问.笔者巡视学生探究情况,大部分学生得出SO B CSO A CSO A B=111,部分学生能给出证明,教师让学生小组交流探究情况,并请代表发言:由A O=23AD,可得O D=13AD,故SO B C=13SA B C,同理SO A C=SO A B=13SA B C,故SO B CSO A CSO A B=111,得证.4.3 特殊一般,探究面积关系上述,得到重心的向量表达式:O A+O B+O C=0,并由线段长度比联想三角形面积比,即SO B CSO A CSO A B=111,体现数学的和谐与对称美.那后续的探究如何组织和开展?课堂教学中,尝试将重心O的位置进行一般化,提出问题:“如果将O从重心变为A B C内部任意一点,那么O A,O B,O C存在着怎样的向量式关系,以及O B C,O A C,O A B的面积比又是多少?”抛出问题后,学生略显迷茫,确实问题设计跨度有点大,学生较难回答.但这样引导学生思考问题还是十分有必要的,也就是需要培养学生从特殊到一般方式的研究问题.教师继续引导学生,根据平面向量基本定理,存在实数,使O A=O B+O C,即O A-O B-O C=0,不失一般性,对A B C内部任意一点O,存在正实数1,2,3,使1O A+2O B+3O C=0成立,而后师生将目光共同聚焦于“O B C,O A C,O A B的面积比”的研究.在1O A+2O B+3O C=0条件下,探究SO B CSO A CSO A B的值还是有难度,所以教师又启发学生:“是否可以运用特殊到一般的方式,猜想并论证结果”,学生有些点头示意、有些若有所思,所以教师设置了两个阶梯问题.阶梯问题一 如图2,O为中线A D的中点,探索O A,O B,O C满足的关系式,以及求SO B CSO A CSO A B的值.图2 图3针对 阶 梯 问 题 一,学 生 容 易 得 出2O A+O B+O C=0,同时得到三角形面积比.求解面积比过程中,学生普遍的解法是:O D=12AD,所以SO B C=12SA B C,且B,C两点到中线AD的距离相等,故SO A C=SO A B,从而有SO B CSO A CSO A B=211.这时,教师进一步启发学生是否有另外解法,特别是能否对“2O A+O B+O C=0”进行构造,使O能成为一个新三角形的重心.在这种思路启发下,学生联想到换元,即2O A=O A ,则O A+O B+O C=0,如图3所示,得到SO B CSO A CSO A B=111,从而SO B CSO A CSO A B=211,这样的解法可以让学生感受到:一般化的问题,通过换元可化归为特殊化的情形,体现特殊与一般的辩证关系.阶梯问题二 如图4,O为A B C内部一点,且满足2O A+3O B+4O C=0,求SO B CSO A CSO A B的值.有了阶梯问题一做铺垫后,学生解决阶梯问题二也比较顺利,学生普遍设2O A=O A,3O B=O B,4O C=O C,从而O A+O B+O C=0,如图5所 示,得 到SO B C=SO A C=SO A B,即1 2SO B C=8SO A C=6SO A B,故SO B CSO A CSO A B=234.82数学通报 2 0 2 3年 第6 2卷 第2期图4 图5最后,将 上 述 三 个 结 论 放 在 一 起 观 察:当O A+O B+O C=0时,SO B CSO A CSO A B=111;当2O A+O B+O C=0时,SO B CSO A CSO A B=211;当2O A+3O B+4O C=0时,SO B CSO A CSO A B=234,学生立马提出了向量式系数比和三角形面积比的对应关系,从而对一开始提出的问题作出了回应,即“对A B C内 部 一 点O,若1O A+2O B+3O C=0,则SO B CSO A CSO A B=123”,其证明也水到渠成,这也体现向量运算蕴含几何度量关系.4.4 类比推理,猜想三维结论教学至此,下一步的探究如何定位和发展呢?既然由“一维”发展到“二维”类比研究,那么可否由“二维”引申到“三维”研究呢?课堂教学中,教师提出:“梳 理 我 们 的 学 习 过 程,可 以 发 现,在 一维 中,由两个向量零和关系式,找到系数比和长度比关系;在 二维 中,由重心结论的一般化,得到三个向量零和关系式时系数比和面积比关系.那么接下去,我们自然会思考(停顿)”,学生答:“在 三维 中是否有类似的结论呢”,教师给学生留出时间,先自主探究,再小组交流,最后得出:一维 O为 线 段A B内 一 点,若1O A+2O B=0,则O BO A=12.二维 O为A B C内 一 点,若1O A+2O B