移动荷载下功能梯度梁的快速力学算法研究_石智锋.pdf

：移动荷载下功能梯度梁的快速力学算法研究收稿日期：基金项目：江苏省大学生创新训练计划项目（）作者简介：石智锋（），男，在读本科生，土木工程专业；姜志杰（），男，在读本科生，土木工程专业；姚 达（），男，在读本科生，土木工程专业；顾夏炜（），女，在读本科生，土木工程专业石智锋，姜志杰，姚 达，顾夏炜（南通大学交通与土木工程学院，江苏 南通）摘 要：移动荷载作用下，基于欧拉 伯努利梁理论对功能梯度梁的力学响应进行了研究。借助性能优越的弱式求积单元法进行数值计算，并将结果和现有文献进行了对比。研究表明：弱式求积单元法可以快速便捷地计算功能梯度材料梁。此外，边界条件以及移动荷载速度对梁的动态响应有比较大的影响。一定条件下，可以借助各项同性材料梁的结果计算功能梯度材料梁的动态响应，这对工程实践具有积极意义。关键词：数值计算；功能梯度梁；移动荷载中图分类号：文献标识码：文章编号：（）概述在工程实际应用中，经常会出现移动载荷的情况，如汽车过桥、座椅电梯运行以及轨道运输等，一般这些问题可以视为移动荷载作用下梁的横向振动响应问题。这时的载荷作用位置沿行进方向随时间发生变化，在控制方程中常借用狄拉克函数来表达，从而给力学求积带来了一些麻烦。同时，随着人们生产和生活需求的不断提升，不断地对承受移动荷载的梁也提出了更高的性能要求。功能梯度梁（，）就是一种为满足在极限环境下能反复地正常工作而发展起来的一种新型功能材料梁。通过材料设计，可以使其功能、性能随内部位置的变化而变化，从而使优化构件的整体性能得以满足，所以功能梯度梁的应用越来越广泛。而当移动载荷遇到功能梯度材料梁，两者在力学计算中都具有一定地挑战性，如何通过快速力学计算，优化此类产品设计是一个非常重要且亟需解决的问题。目前，移动荷载作用下梁的响应研究已经得到了很多学者的关注。文献采用多尺度法和 法分析移动载荷作用下 梁的频率响应曲线。文献研究了梁的跨长对移动荷载下梁稳态响应的影响，所得结论有助于更深入地理解移动荷载作用下有限长梁的响应以及梁结构影响线问题。更有研究者提出了一种计算单个移动质量作用下两层简支梁动力响应的简便方法，并分析了质量大小、移动质量速度、温克尔层弹簧的刚度和阻尼对系统动力响应的影响。龚云轩等基于铁木辛科梁理论，采用连续体传递矩阵法计算了阶梯梁的受迫振动响应。文中研究了转动效应的影响因素，指出移动载荷的质量相较于移动速度和加速度而言，是最主要的转动效应影响因素。当移动载荷的质量较大时，必须要考虑速度和加速度引起的是转动惯性的影响。闫镜宇等利用奇异函数推导了简支梁在移动载荷作用下的挠曲线微分方程，并研究了横向强迫振动下简支梁的响应问题。指出随移动载荷的速度增大，将使简支梁的挠度最大值和位移最大值呈抛物线形分布。而对于指定截面而言，最大静挠度和载荷移动速度无关。目前，基于功能梯度材料梁的研究相对不多，且对于物性参数的变化主要考虑的是沿厚度方向的梯度变化。张靖华等研究了外加集中力沿着梁的轴向移动时功能梯度材料梁的动力响应规律。基于模态叠加法和经典梁理论，解析求得简支梁的基础频率和振型，并研究了共振特性及其影响因素。以上研究表明，移动载荷下结构的响应问题不管是理论研究还是数值求解均受到了国内外学者的广泛关注，尤其是对材料性能梯度变化的功能梯度梁而言，准确预测移动荷载作用下结构的振动响应具有重要的理论意义和工程实用价值。但是对于大多数动态响应问题，分析计算的关键在于选取合理的时间步长。时间步长太小会浪费计算资源，而时间步长太大也将使得高阶模态产生误差。因此，基于选取合理的时间步长的考虑，本文将采用弱式求积单元法进行研究。弱式求积单元法最初是由 等提出的，经过多年的发展已逐渐成为一种全新的数值解法来求解初边值问题。由于在推导单元矩阵时采用了微分求积法的权系数公式，这样可以得到节点数可以变化的单元矩阵的显式计算式，便于编程的同时也提高了数值计算的效率。本文借助弱式求积单元法的快速高效的优异特点，对移动载荷下功能梯度梁的动态响应进行力学算法研究。只要集中载荷作用在结点处，就可以很方便的采用弱式求积单元法进行求解。基本公式考虑图 所示的欧拉 伯努利功能梯度梁，受移动第 卷 第 期 年 月 山西建筑 集中载荷作用。图 中梁的长度、移动集中荷载、荷载的移动速度以及时间分别用，和 来表示，而 和 则分别代表梁的厚度以及宽度。材料性能沿梁高梯度变化趋势和文献一致，采用幂指数的形式。由于时间变化，集中载荷的作用点也不断变化，所以需要先根据等效变换的做法，把集中载荷等效到各个结点上。图 1承受移动集中载荷 P 的简支梁示意图zPxLvt假设解耦后的位移场如下：（，）（）（，）（，）（，）（）其中，（，）和（，）分别是轴向和横向位移分量，（，），为几何中面和物理中面间的距离。功能梯度材料欧拉梁的弯曲应变能可以写为：()（）研究中基于欧拉梁理论，忽略转动惯量和耦合的影响，功能梯度材料梁的动能写为：()()（）外载荷 作的功可以写为：（）（）（）对于功能梯度梁的位移边界条件，讨论简支（）、固支（）以及一边简支一边固支（）三种情况。简支时：在 ，有 ；固定时：在 ，有；而一边简支一边固支时：在 有 ，在 有 。研究基于高效的弱式求积单元法，采用一个欧拉梁单元进行计算。为了使后期计算步长最长且合理，因此选用扩展的切比雪夫（）结点。图 给出了一个 结点的弱式求积欧拉梁单元的示例。图 211 结点弱式欧拉求积梁单元w11w11w10w9w8w7w6w5w4w3w2w1w11 2345678910 11（，）为 结点的一个位移自由度，（，）为端部结点 和 有第二个自由度，其值为自由度 的一阶导数。这样就可以离散位移场进行计算。然后，考虑到结点选择的特殊性，采用 数值积分求单元的质量矩阵和刚度矩阵。最后，功能梯度材料求积欧拉梁单元的运动方程可以写为：（）（）其中，和分别为欧拉梁单元的质量矩阵和刚度矩阵；（）为载荷向量。之后采用中心差分法求解该二阶常微分方程组，囿于篇幅，此处不再赘述。算例和讨论为了验证，设 ，。首先考虑一个移动点载荷 以速度 作用在简支（）梁上的响应。载荷通过梁的总时间为 。简单起见，取 。梁的最小振动模态周期为 ，。功能梯度材料梁的跨中位移和弯矩的动态放大因子为 和 定义如下：（，）（）?（，）（）（）（）其中，?分别为梁跨中的动态位移和弯矩，对于简支功能梯度材料梁，为 而 为。结合梁跨中位移和弯矩进行分析，弱式求积单元法的节点数目从 变化到，参数 分别取值 和 ，具体的收敛性研究情况如图，图 所示。可以发现，同一个参数 下与材料梯度参数无关。同时，从图 可以看到弱式求积单元法的收敛性很高，当 时，个结点求得的结果和解析解一致，比微分求积法收敛效果好。值得指出的是，由于时间步长更长，所以本文算法的计算效率和微分求积法相比要更高。图 3S-S FGB 跨中位移动态放大因子 Wam（=0.25）1.258 21.258 11.258 01.257 91.257 81.257 71.257 61.257 51.257 41.257 3111315171921结点数目 NWam弱式求积单元法解析解微分求积法图 4S-S FGB 跨中位移动态放大因子 Wam（=0.75）1.702 01.701 91.701 81.701 71.701 61.701 51.701 41.701 3111315171921结点数目 NWam弱式求积单元法解析解微分求积法图 给出了 功能梯度材料梁的跨中弯矩的动态放大因子。单元节点数仍从 变化到。取值为 ，对比发现，收敛性方面，弯矩的收敛性要比位移的略低。从这一角度看，和常规有限单元法求解的应力和位移在精度方面的结论是一致的。也再次说明了，本质上，弱式求积单元法也是一种高阶有限元方法。图，图 给出了两端固定（）时，跨中位移和弯矩的动态放大因子 和。因为解析解无法获得，所 第 卷 第 期 年 月 石智锋等：移动荷载下功能梯度梁的快速力学算法研究图 5S-S FGB 跨中弯矩的动态放大因子 Mam（=0.25）1.1051.101.0951.091.0851.08111315171921结点数目 NMam弱式求积单元法；微分求积法解析解；图 6C-C FGB 跨中位移的动态放大因子 Wam弱式求积单元法微分求积法1.71.61.51.41.31.21.11.00.1250.250.50.751Wam图 7C-C FGB 跨中弯矩的动态放大因子 Mam弱式求积单元法微分求积法1.201.151.101.051.000.950.900.1250.250.50.751Mam以采用改进的微分求积法结果来进行比较。可以看到，随着参数 的变化，两种方法中，彼此相近，而 也几乎完全相同。表明 节点弱式求积欧拉 单元可以用较少的结点快速得到准确的位移和弯矩。而对于一端简支，一端固支的情况，从图，图 也可以得到相似的结论。弱式求积单元法的计算结果和微分求积法的几乎完全吻合，但由于边界条件不同，跨中位移和弯矩的数据结果也不同。随着参数 的增大，跨中位移和弯矩大致都呈先增大后减小的趋势，说明移动速度的影响不可忽略。且不论哪种边界支承条件，同一个参数 下功能梯度梁跨中的 和 与材料梯度参数均无关。这对工程实践应用来说，就可以借助各向同性材料梁的计算结果，大大减少计算工作量。图 8S-C FGB 跨中位移的动态放大因子 Wam弱式求积单元法微分求积法1.91.81.71.61.51.41.31.21.10.1250.250.50.751Wam 结语采用弱式求积单元法可以很方便地进行功能梯度材料梁的动态力学分析，结点数目较少时也可以快速获得准确的计算结果。移动载荷作用在功能梯度梁上时，梁的动态响应与两端的支承条件以及点载荷移动的速度有图 9S-C FGB 跨中弯矩的动态放大因子 Mam弱式求积单元法微分求积法1.201.151.101.051.000.950.900.850.800.1250.250.50.751Mam较大的关系。在固定综合体现点载荷移动速度和材料属性的无量纲参数 下，功能梯度材料梁跨中位移和弯矩的最大动态放大因子与材料梯度参数无关，可以考虑借助各向同性材料梁的结果来计算功能梯度材料梁。参考文献：，（）：镇 斌，拜寅康 梁长对移动荷载下梁响应影响研究 力学季刊，（）：周旺保，吴凌旭，张云泰，等 移动荷载列作用下多层梁系统的动力响应分析 华中科技大学学报（自然科学版），（）：龚云轩，李宏亮，汤占洲，等 阶梯梁在惯性效应移动载荷下的振动 噪声与振动控制，（）：，闫镜宇，李顺才，梁丽 不同移动载荷速度下简支桥梁的变形及振动响应研究 甘肃科学学报，（）：张靖华，吕亚丽 功能梯度梁在轴向移动载荷作用下的动态响应 科学技术与工程，（）：，（）：，莫淇茗，杨小蝶，李腾飞，等 不同梁理论下功能梯度梁的自由振动分析 山西建筑，（）：，（）：，（）：第 卷 第 期 年 月 山西建筑 ：既有多层住宅新增电梯结构及抗震设计实践收稿日期：作者简介：赵红霞（），女，工程师，从事建筑结构工作赵红霞（甘肃省建筑科学研究院（集团）有限公司，甘肃 兰州）摘 要：为加快推进老旧小区更新改造，改善居民居住条件，补齐公共服务短板，提升小区环境品质，通过梳理现阶段增设电梯主要技术难点，结合实际项目应用总结既有多层住宅增设电梯适用技术，为类似工程提供参考。关键词：既有建筑；增设结构电梯；抗震设计中图分类号：文献标识码：文章编号：（）引言在人口老龄化的社会背景下，改善楼内垂直交通的重要性、紧迫性更为突出，为进一步完善城市既有多层住宅使用功能，既有多层住宅增设电梯的安装量也逐年上升。但是，既有住宅增设电梯问题并非简单的依靠现有技术所能解决。既有多层住宅多采用砌体结构或钢筋混凝土结构房屋，基础形式为条形基础、独立基础或桩基础。根据国家现行规范要求，对既有建筑进行改建或扩建时，如需变动原有的结构，必须按改建或扩建后的结构状态建立力学计算模型，进行抗震分析和安全性鉴定，并按现行兰州市标准建筑抗震设计规程的要求进行抗震设计。现行规范和政策的要