一类有理差分方程全局吸引性_谢涛.pdf

第 34 卷第 2 期陇 东 学 院 学 报Vol34No22023 年 3 月Journal of Longdong UniversityMar 2023文章编号:1674-1730(2023)02-0001-04收稿日期:2021-05-31基金项目:湖北师范大学重点教研项目(2020036)作者简介:谢涛(1980)，男，湖北黄石人，博士，副教授，主要从事动力系统、复杂网络研究。一类有理差分方程全局吸引性谢涛1，范逸鹏1，郭芳承2(1 湖北师范大学 数学与统计学院，湖北 黄石 435002;2 陇东学院 数学与统计学院，甘肃 庆阳 745000)摘要:研究了一类高阶差分方程具有全局吸引性的一个充分条件，并讨论了一类高阶有理差分方程。xn=xns+pxnt+1p+qxnsx1max s，t，x2max s，t，x0 0具备全局吸引性时参数 p，q 所满足的条件。关键词:有理差分方程;全局吸引性;吸引子中图分类号:O157文献标识码:AGlobal Attractiveness of a Class of ational Difference EquationsXIE Tao1，FAN Yi-peng1，GUO Fang-cheng2(1 College of Mathematics and Statistics，Hubei Normal University，Huangshi 435002，Hubei;2 College of Mathematics and Statistics，Longdong University，Qingyang 745000，Gansu)Abstract:The globalattractivenessof a kind of higher order rational difference equations studied and a class of high-er order rational difference equationxn=xns+pxnt+1p+qxnsx1max s，t，x2max s，t，x0 0is discussed Some sufficient conditions for the equation to possess global attractive property are providedKey words:ational Difference Equation;global attractiveness;attractor差分方程是用来描述自然和社会系统随离散时间演化规律的数学工具，关于高阶有理差分方程或差分方程系统的定性性质已得到广泛研究 1 11。2001 年，文 9 研究差分方程yn+1=p+ynkqyn+ynk的全局吸引性。2016 年，文 10 研究了差分方程xn+1=axn+bxnkA+Bxnk的全局吸引性。2017 年，文 11 研究了差分方程xn+1=+xn+xnkBxn+Cxnk的全局吸引性。基于以上研究，本文研究如下带有初始条件的差分方程xn=xns+pxnt+1p+qxnsx1max s，t，x2max s，t，x0 0(1)的全局吸引性，其中 p q 1 或者 q p 1。陇 东 学 院 学 报第 34 卷1引理引理 1设 s 和 t 是两个不同的正整数，差分方程为xn=f(xns，xnt)x1max s，t，x2max s，t，x0 a，b若函数 f 满足:(i)f:a，b2 a，b是连续的二元函数，f 关于第一个变量单调递增，关于第二个变量单调递减。(ii)方程组x=f(x，y)，y=f(y，x)x，y a，b有唯一解x，x()，则 x是该方程的全局吸引子。证明由(ii)知 x是该方程的平衡点，下面定义两个序列 mii=0和 Mii=0，m0=a，M0=b，对于每个 i=1，2，3，有mi=f(Mi1，mi1)，Mi=f(mi1，Mi1)(2)根据条件(i)有m1=f(M0，m0)a=m0M1=f(m0，M0)b=M0m2=f(M1，m1)f(M0，m1)m1=f(M0，m0)f(M0，m1)则m2 m1，M2=f(m1，M1)f(m1，M0)f(m0，M0)=M1根据归纳法知序列 mii=0单调递减且以 a 为下界，Mii=0单调递增且以 b 为上界，所以序列 mii=0和 Mii=0极限存在。设limimi=m，limiMi=M则 m a，b，M a，b。对(2)两边取极限有m=f(M，m)，M=f(m，M)再根据条件(ii)可以得到 m=M=x。设 xnn=1max s，t是该方程的任意一个由初始条件确定的解，则xn=f(xns，xnt)f(m0，M0)=M1，其中n 1xn=f(xns，xnt)f(M0，m0)=m1，其中n 1xn=f(xns，xnt)f(M1，m1)=m2，其中 n max s，t+1xn=f(xns，xnt)f(m1，M1)=M2，其中 n max s，t+1由数学归纳法知，对 n (i 1)max s，t+1，有 mi xn Mi，再由limimi=m=x=limiMi=M可得 limnxn=x，即 x是该方程的吸引子，由解的选取的任意性，x是该方程的一个全局吸引子。引理 2设 a，b，c，d 0，则 minac，bda+bc+d maxac，bd当且仅当ac=bd时等式成立。证明不失一般性，不妨设 minac，bd=ac，则 maxac，bd=bd，那么acbdad bc(a，b，c，d 0)，a+bc+dac=(a+b)c a(c+d)(c+d)c=bc adc(c+d)0因此a+bc+dac，同理a+bc+dbd。所以不等式等号成立当且仅当 bc=ad，即ac=bd引理3设 pq 1，xnn=1max s，t是方程(1)的解，则有如下结论成立。(i)若存在自然数 N，使得1q xNp+qq，则对任意的 n 0，1q xN+ntp+qq(ii)若存在自然数 N，使得 xNp+qq，则 xN+t1q(iii)存在自然数 N 0，使得对任意的 nN，都有 xn1q(iv)存在自然数 N 0，使得对任意的 n N，都有 xnp+qq证明(i)由于 xN+t=xN+ts+pxN+1p+qxN+ts，由引理2 知 xN+tmin1q，xN+1p 又 xN1q，所以 xN+1p1q+1p1q，则 xN+t1q 有数学归纳法，对于任意的 n 0，都有 xN+nt1q另外，注意到xN+t=xN+ts+pxN+1p+qxN+ts2第 2 期谢涛，等:一类有理差分方程全局吸引性xN+ts+p p+qq+1p+qxN+tsp+qq，根据数学归纳法，对于任意的 n 0，有 xN+ntp+qq 因此，(i)得证。(ii)由(i)知，当 xNp+qq时，有 xN+t1q(iii)若不存在 N0，使得对任意的 nN，都有 xn1q，则对任意的 N，存在 n N，使得 xn1q，那么xn+t xn+1p，xn+t xn1p=(p p2q q)xn+tsp+qxn+ts 0从而q pp2+1，0 q 1 pp2+1 1p(1 p)1而 p 0，1 p 0，这与条件 p q 1 矛盾，故存在 N 0 使得对任意的 n N，有 xn1q(iv)若不存在 N 0，使得对任意的 n N，都有 xnp+qq，则对任意的 N，存在 n N，使得xnp+qq，而xn+tp+qq=xn+ts+pxn+1p+qxn+tsp+qq=(q pq)xn+ts q2xn p(p q)xnq(p+q)xn+ts，而 p q 1，所以 xn+tp+qq 0，由数学归纳法知 xN+ntp+qq 另外，由于任意整数 m 可以表示为N+nt 的形式，由于 N 的任意性知 xmp+qq 于是存在 n N，有 xnp+qq，这与已知矛盾，故存在N 0，使得 n N 时，有 xnp+qq2定理定理 1若 p q 1，则 x=1+1+4q2q是方程xn=f(xns，xnt)，n=N+max s，tN+max s，t+1xN，xN+1，xN+max s，t 11q，p+qq(3)的全局吸引子。证明令f(x，y)=px+1+yp+qy，x，y 1q，p+qq易证 f 是连续函数，fx=pp+qy 0，fy=p+qy (px+y+1)q(p+qy)2=p q pqx(p+qy)2p q pq 1q(p+qy)2 0，则函数 f 分别关于 x 单调递增，关于 y 单调递减且方程x=f(x，y)=px+1+yp+qyy=f(y，x)=py+1+xp+qx有唯一解x，x()，其中 x=1+1+4q2q设 xnn=1max s，t是方程(1)的解，由引理 3(iii)知存在整数 N，使得当 n N 时，有1q xNp+qq，则 xnn=N是下面差分方程(3)的解。由引理3 得 limnxn=x，且 x=1+1+4q2q 由引理1 知x是方程(3)的全局吸引子。类似上述讨论，可得定理 2若 q p 1，则 x=1+1+4q2q是方程xn=f(xns，xnt)，n=N+max s，t，N+max s，t+1，xN，xN+1，xN+max s，t 11p，p+qp(4)的全局吸引子。3数值结果本节通过赋予 p，q 一些具体数值，给出一些满足上节主要结论条件的例子。3陇 东 学 院 学 报第 34 卷例 1考虑如下差分方程初始条件 x1=0 1，x0=0 2(图 1 所示)xn=xn1+1 5xn2+11 5+1 3xn1(p=1 5，q=1 3)n=1，2当 p q 1 时，x=1+1+4q2q是(3)的全局吸引子。例 2 考虑如下差分方程，初始条件 x1=0 1，x0=0 2(图 2 所示)xn=xn1+1 3xn2+11 3+1 5xn1(p=1 3，q=1 5)n=1，2当 q p 1 时，x=1+1+4q2q是(4)的全局吸引子。图 1图 24小结本文讨论一类有理差分方程解的全局吸引性，给出了方程的解具有全局吸引性的一个充分条件，并运用这个充分条件，讨论了一类含有两个参数的特殊差分方程的解具有全局吸引性的两个充分条件。而关于参数对该差分方程的解的全局吸引性的影响将是一个值得继续讨论的问题。参考文献:1 Camouzis E，Kulenovic M S，Ladas G and Merino Oational systems in the planeJ Difference Equationsand Applications，2009，15(3):303-3232 Din Q，Ibrahim TF and Khan KA Behavior of a competi-tive system of second order difference equationsJ Dynamics of Nonlinear Systems，2014(5):44 523 Li X Qualitative properties for a fourth-order rationaldifference equation J Journal of Mathematical Analysisand Applications，2005，311(1):103-1114 Chen J and Blackmore D On the exponentially self-regu-lating population modelJ Chaos，Solitons Fractals，2002，14(9):1433-14505 Psarros N and Papaschinopoulos G Long-term behaviorof positive solutions of an exponentially self-regulatingsystem of difference equationsJ International Journalof Biomathematics，2017，10(3):45