一类有限2群与二面体群之间的同态个数_张薇.pdf

山东大学学报（理学版）年 月 第 卷 第 期：（），：山东大学科技期刊社版权所有：收稿日期：；网络出版时间：网络出版地址：基金项目：新疆维吾尔自治区自然科学基金项目（）；年度伊梨师范大学高级别培育项目（）第一作者简介：张薇（），女，硕士研究生，研究方向为群论：通信作者简介：郭继东（），男，教授，研究方向为群论：文章编号：（）：一类有限 群与二面体群之间的同态个数张薇，赖吉娜，郭继东，张良，（伊犁师范大学数学与统计学院，新疆 伊宁；伊犁师范大学应用数学研究所，新疆 伊宁）摘要：根据 和二面体群的结构特征以及元素的性质，计算 和二面体群之间的同态个数。作为应用，验证这两个群之间的同态个数满足 和 的猜想。关键词：有限 群；二面体群；群同态中图分类号：文献标志码：引用格式：张薇，赖吉娜，郭继东，等一类有限 群与二面体群之间的同态个数 山东大学学报（理学版），（）：，（，；，）：，：；引言本文主要研究的是两个有限群之间同态个数的同余问题，这类问题的开端是由 在文献中提出的定理：设 是有限群，为自然数，则（，）。上述定理也可以表述为一个等价的提法：对于一个 阶循环群 和任意有限群，则 （，）（，），其中（，）表示 到 的同态个数，（，）表示和的最大公因数。之后，在文献中对 定理作了进一步推广，将 阶循环群推广到有限交换群，上述定理也成立。在文献中，和 将文献中的有限交换群改为一般有限群，并提出如下的猜想：对于有限群 和，（，）（，），其中 为 的换位子群，称之为 和 猜想。在文献中，等计算了一些有限群之间的同态个数，并验证了 和 猜想对这些群成立。这些文章主要计算循环群被循环群扩张的群之间的同态个数，而本文探究交换子群被循环群扩张的群与二面体群之间的同态个数，并验证 和 猜想对这两类群成立。称群 为交换子群被循环群扩张的 阶非亚循环情形下的有限 群（为正整数），如果，。山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷称 为 阶的二面体群（为正整数），如果，。本文中，（，）表示整数 与 的最大公因数，表示整数 与 的最小公倍数，表示 函数，其它记号与术语参见文献。预备知识引理 中元素的关系有以下性质：（），；（），；（）（），且，均为偶数。证明（）由生成关系，可知，。由（）（）可得；由 知（）（）（）；（）（）。（）由 的生成元满足的条件，易证，且 的元素在此种表示形式下是唯一的。（）任取，由生成关系知 与交换。若 与中所有元素交换，则 为偶数。任取，由生成关系知 与交换。若 与中所有元素交换，则 为偶数，从而（），且，均为偶数。引理 中元素的阶有以下性质：（）（）（，），其中；（）（）（，），其中；（）（）（），（），（），其中，且，至少有一个为偶数；（）（），其中，且，均为奇数。证明 由生成元的生成关系及循环群元素阶的性质易证。引理 ，是 中所有的 阶元且为中心元。证明 设（），其中，。当，均为奇数时，（），与假设产生矛盾。当，至少有一个为偶数时，（）。由引理 得 且，所以 或且 或。综上所述，是 中所有的 阶元且为中心元。引理 ，其中 是 的换位子群。证明 由 是阿贝尔群和，易知 的换位子群。引理 设，则 具有如下性质：（）（）（，），其中；（）若 为奇数，则为 中所有的 阶元；（）若 为偶数，则为 中所有的 阶元，且 是 的中心元；（），其中是 的换位子群。引理 设，为群，为 的生成元集且，令，（，），如果对任意的，有，则。主要定理及其证明定理 设，为正整数，若 为奇数，则（，）。第 期张薇，等：一类有限 群与二面体群之间的同态个数 证明 若（，），因为（）（），所以（）。又因为，所以（），从而（）（，），于是（），即。因为（）（），所以（）。又因为，所以（），从而（）（，），于是（），即。同理可知 （）（，），于是 。又由 ，可知，（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），从而。下面分 个断言来证明定理。断言 设 是 到 的一个对应，其中，则 为群同态。显然此时 为平凡同态，因此，群同态 只有 种选择。断言 设 是 到 的一个对应，其中，则 为群同态。由题设条件可知，。任取，其中，令（）（）。任取，若，则，又因为 在 中分解唯一，从而。又因为（），所以（），于是（）（）（）（），即 为映射。当，均为奇数时，一方面，（）（）（）；另一方面，（）（）（）（）（），因此，（）（）（）。当，至少有一个为偶数时，一方面，（）（）（）；另一方面，（）（）（）（）（），显然，（）（）（），即 为同态。此时，群同态 有 种选择。断言 设 是 到 的一个对应，其中，则 为群同态。同定理 的断言 的证明，易证 为群同态。此时群同态 有 种选择。断言 设 是 到 的一个对应，其中，则 为群同态的充要条件是。若（，），由 可得：（）和（），从而（），于是（）。又因为 为奇数且，所以，即。反之，当 时，由定理 的断言 同理可证。因此，此时群同态 只有 种选择。综上所述，定理 成立。定理 设，为正整数，若 为偶数，令，其中（，），为正整数，令，则（）当（）时：（，）；（）当（）时：（，）；证明 同定理 的证明且 为偶数有（）（，），从而（）（，），即（）。同理可得（）（，），即（）。由二面体群元素阶的性质可知：（），；（），。同样可知（）（，），于是（），从而。又由，可知，山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷，（）（），易知。下面分 个断言来证明定理。断言 设 是 到 的一个对应，其中，则此时 为群同态的充要条件是 或。若（，），由 可知，（）和（），从而（）。由（）得（），又因为 为偶数且，所以 或。反之，当 或时，由定理 的断言 可证得 为群同态。在上述断言的条件下，当（）时，群同态 有 种选择；当（）时，群同态 有 种选择。断言 设 是 到 的一个对应，其中，则此时 为群同态的充要条件是 或。若（，），由 可知，（）和（），从而（）。由（）得（），又因为，所以（），易知 或。反之，当 或时，以 为例进行证明，其他情况同理可证。由题设条件可知，。任取，其中，令（）（）（）（）。任取，若，则，又因为 在 中分解唯一，所以 ，。又因为 （），所以（）（）（），于是（）（）（）（）（）（）（）（），即 为映射。当，均为奇数时，一方面，（）（）（）（）（）；另一方面，（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），因此，（）（）（）。当，至少有一个为偶数时，一方面，（）（）（）（）（）；另一方面，（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），显然，（）（）（），即 为同态。在上述断言的条件下，当（）时，此时群同态 不存在；当（）时，群同态 有 种选择。断言 设 是 到 的一个对应，其中，（），则此时 为群同态的充要条件是 或。同定理 的断言 的证明。在上述断言的条件下，当（）时，群同态 有 种选择；当（）时，群同态 有 种选择。第 期张薇，等：一类有限 群与二面体群之间的同态个数 断言 设 是 到 的一个对应，其中，（），则此时 为群同态的充要条件是 或。同定理 的断言 的证明。在上述断言的条件下，当（）时，此时群同态 不存在；当（）时，群同态 有 种选择。断言 设 是 到 的一个对应，其中，（），则此时 为群同态的充要条件是 或。同定理 的断言 的证明。在上述断言的条件下，当（）时，群同态 有 种选择；当（）时，群同态 有 种选择。断言 设 是 到 的一个对应，其中，其中，（），则此时 为群同态的充要条件是 或。同定理 的断言 的证明。在上述断言的条件下，当（）时，此时群同态 不存在；当（）时，群同态 有 种选择。断言 设 是 到 的一个对应，其中，（），（），则 为群同态。同定理 的断言 的证明，易证 为群同态。若令（），易知，则循环群中有（）个 阶元，故 有（）种选择，即 存在 种选择。同理，存在 种选择。在上述断言的条件下，当（）时，群同态 有 种选择；当（）时，群同态 有种选择。断言 设 是 到 的一个对应，其中，其中，（），（），则此时群同态 不存在。若（，），由 可知：一方面，（）；另一方面，（），从而，与（），产生矛盾，所以此时群同态 不存在。综上所述，定理 成立。定理 设，为正整数，若 为奇数，则（，）。证明 若（，），因为（）（），所以（）。又因为，所以（），从而（）（，），于是（），即。因为（）（），所以（）。又因为，所以（），因此（）（，），从而（），即，。下面对定理 的 种情况给予证明。命题 设 是 到 的一个对应，其中，则 为群同态。由题设条件可知，。任取，其中，令（）（）。山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷任取，若，则，从而。又因为（），所以（），于是（）（）（）（），即 为映射。当 为奇数时，一方面，（）（）（）（）；另一方面，（）（）（）（）（）（）（），因此，（）（）（）。当 为偶数时，一方面，（）（）（）（）；另一方面，（）（）（）（）（），因此，（）（）（），即 为群同态。因为 有 种选择，所以群同态 有 种选择。综上所述，定理 成立。定理 设，为正整数，若 为偶数，则（，）。证明 若（，），由定理 的证明可知，。因为（）（），所以（）。又因为，所以（），从而（）（，），令，其中（，），为正整数，令，因此（）。由 中元素阶的性质可知，（）。由于 相对固定，有 种可能，因此以下对定理 的 种情况给予证明。命题 设 是 到 的一个对应，其中 ，（），则 为群同态的充要条件是 或 且 或。若（，），由（）（）可得（）（），从而（），即（）。当，均为奇数时，（），产生矛盾；当，至少有一个为偶数时，（），所以，。再由，易知 或 且 或。反之，当 或 且 或 时，与 是 中的二阶元且为中心元，同定理 的命题 易证 为群同态。因为 和 都有 种选择，所以群同态 有 种选择。综上所述，定理 成立。验证 和 猜想定理 设，为正整数，则（，）（，）。证明 由引理 知，得 。下面分类讨论：当 为奇数时，（，）（，），由定理 知，（，）（，）。当 为偶数时，令，其中（，），为正整数，则（，）（，）。若，（，），由定理 的（）和（）可知，（，）（，）；若，（，），由定理 的（）和（）可知，（，）（，）。综上所述，群 到群 之间的同态个数满足 和 猜想。定理 设，为正整数，则（，）（，）。证明 由引理 知：当 为奇数时，得 ，（，）（，）。由定理 知，（，）（，）。当 为偶数时，得 ，（，）（，）。由定理 知，第 期张薇，等：一类有限 群与二面体群之间的同态个数 （，）（，）。综上所述，群 到群 之间的同态个数满足 和 猜想。参考文献：，（，），（）：，（，），（）：，（）：，（）：李红霞，郭继东，海进科 二面体群到一类亚循环群之间的同态个数 山东大学学报（理学版），（）：，（），（）：赖吉娜，郭继东，海进科 一类非交换群和二面体群之间的同态个数 山东大学学报（理学版），（）：，（），（）：，：徐明曜，曲海鹏 有限 群 北京：北京大学出版社，：，：，：，（编辑：李晓红）（上接第 页），：，：，：李珊珊 平坦模，内射模和某些环 成都：四川师范大学，：，（）：，：，：（编辑：李晓红）