[收稿日期]2021-10-27;[修改日期]2022-08-30[基金项目]黑龙江省教育厅2021年度高等教育教学改革研究项目:新工科背景下数学拔尖人才科技创新能力培养模式研究与实践(SJGY20210168)[作者简介]刘鑫旺(1995-),男,博士,讲师,从事船舶性能优化与数学分析教学研究.E-mail:huhgf670@163.com[通讯作者]沈艳(1965-),女,博士,教授,从事高等数学系列课程教学改革研究.E-mail:shenyan@hrbeu.edu.cn第38卷第6期大学数学Vol.38,№.62022年12月COLLEGEMATHEMATICSDec.2022一道有关积分中值定理的全国大学生数学竞赛试题的探讨刘鑫旺,沈艳(哈尔滨工程大学数学科学学院,哈尔滨150001)[摘要]通过对第十一届全国大学生数学竞赛决赛的一道试题进行讨论,给出通过待定系数法证明有关积分第一中值定理的一类问题的普遍性做法,以求得有关函数导数可能的取值范围,有助于拓宽对该类问题的命制思路,并可使学生加深对该类问题的理解.[关键词]积分第一中值定理;分部积分;待定系数法;全国大学生数学竞赛[中图分类号]O177.5[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2022)06-0096-051引言关于中值定理的证明问题,无论是借助微分中值定理,还是积分中值定理[1-5],其辅助函数或者相关积分恒等式的构造,对于学生而言都是较为头疼的问题.对于全国大学生数学竞赛而言,近年来也出现了一些中值定理相关问题,命题组给出的参考答案虽然构造巧妙,但学生很难想到.学生面对类似的问题时,很难把握答案的精髓和切入点,难以灵活运用相应的构造技巧,无法做到举一反三.本文从一道全国大学生数学竞赛决赛试题引入,给出证明该类问题的一般做法,并对题目做一定的推广,体现了大学数学课堂教学中传授数学思想与数学方法的重要性[6].2020年第11届全国大学生数学竞赛决赛(非数学类)的第四道试题为设函数f(x)在[0,1]上有连续导数,且∫10f(x)dx=52,∫10xf(x)dx=32,证明:存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)=3.该试题的参考答案如下:考虑积分∫10x(1-x)3-f'(x)dx,利用分部积分[4]及题设条件,得∫10x(1-x)3-f'(x)dx=x(1-x)3x-f(x)10-∫10(1-2x)3x-f(x)dx=∫103x(2x-1)dx+∫10(1-2x)f(x)dx=2x3-32x210+∫10f(x)dx-2∫10xf(x)dx=2-32+52-3=0.根据积分中值定理[7],存在ξ∈(0,1),使得ξ(1-ξ)3-f'(ξ)=0,即f'(ξ)=3.2分析与思考2.1引言问题的分析从题设条件来看,由于题目已知两个定积分值,且要证明的结论含有导数,因此整体基调应当借助积分中值定理.为了出现导数值,首先采用分部积分的办法,进行等价变形,即∫10f(x)dx=xf(x)10-∫10xf'(...
