一类上临界带移民分枝过程的下偏差估计*谢春艳张梅†（北京师范大学数学科学学院，数学与复杂系统教育部重点实验室，100875，北京）(Zn)cnkn→∞kn=o(cn)knP(Zn=kn)ZnEZ1lnZ1=∞ZnZn摘要对于一类带移民的上临界分枝过程，存在一列正常数可以用来描述过程的增长速度.任取一列满足和的正常数，的渐近行为即为的下偏差.假设：1）证明了过程的一个局部极限定理；2）给出了在Schröder和Böttcher情形下的下偏差估计，补充并完善了已有文献的结果.关键词上临界；带移民；分枝过程；下偏差中图分类号60J80;60F10DOI：10.12202/j.0476-0301.20212680引言(Zn)设是一个带移民的Galton-Watson（G-W）过程，它可由如下关系递归定义，即Zn=Zn−1∑i=1X(n)i+ξn,n≥1,（1）X(n)in−1in(X(n)i,n,i≥1)f(s)=∞∑i=0pisiξnnξn,n≥1h(s)=∞∑i=0hisi(X(n)i,n,i≥1)ξn,n≥1i≥0pi,hi<1∞∑i=0ipim10}1Z0=1式中：表示第代的第个个体，在第代产生的后代数，且是独立同分布的（independentandidenticallydistributed，IID），具有共同的母函数;表示第代进入系统的移民数量，且（）也是IID的，具有相同的母函数.此外，假设分枝和移民（）相互独立，为避免平凡的情况，对于任意的，假定，记后代分布的期望=.考虑上临界情形，即.不失一般性，本文假定.假定是非周期函数，即集合的最大公约数为.如无特别声明，总假设过程从一个粒子出发，即.ξn≡0(Zn)(Z0n)(cn,n≥0)在式（1）中，当时，退化为一般的G-W过程，用来表示.Heyde[1]证明了存在一列正常数，使得Wn:=Z0ncna.s.−→W,n→∞（2）WP(W>0)=1P(W<∞)=成立，并且随机变量满足：；1(cn,n≥0)[2].特别地，规范化序列可选择具有如下性质的常数列：c0=1,cn0.（4）nZnn≥1n≥1Zn换个角度来考虑G-W过程的第代总人口数（）.当时，由式（1）定义的具有分解形式Zn=Z0n+Yn,（5）Yn=U(1)n+···+U(n)nU(i)n(1≤i≤n)inZ0nnZ0nYnU(i)n(1≤i≤n)式中：，表示第代到来的移民在第代的后代总数；是初始粒子在第代时所有的后代个数.由假设可知，式（5）的和仍是独立的.显然，也是彼此独立的.ξn≠0∞∑j=1(pjjlnj)=∞(cn)n→∞V当，时，Seneta[3]已经证明：对已知规范化因子，当时，存在非负随机...
